第三章第七讲：三角形等高模型与鸟头模型例题精讲

三角形等高模型与鸟头模型板块一 三角形等高模型我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积底高从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)；如果三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)；这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化比如当高变为原来的3倍，底变为原来的，则三角形面积与原来的一样这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论：等底等高的两个三角形面积相等；两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如左图 夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图；反之，如果，则可知直线平行于等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比【例 1】 你有多少种方法将任意一个三角形分成： 3个面积相等的三角形； 4个面积相等的三角形；6个面积相等的三角形【例 2】 如图，BD长12厘米，DC长4厘米，B、C和D在同一条直线上 求三角形ABC的面积是三角形ABD面积的多少倍？ 求三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍？【例 3】 如右图，和都是矩形，的长是厘米，的长是厘米，那么图中阴影部分的面积是 平方厘米【例 4】 如图，长方形的面积是平方厘米，点、分别是长方形边上的中点，为边上的任意一点，求阴影部分的面积 【例 5】 长方形的面积为36，、为各边中点，为边上任意一点，问阴影部分面积是多少？【例 6】 长方形的面积为36，、为各边中点，为边上任意一点，问阴影部分面积是多少？ 【例 7】 如右图，E在AD上，AD垂直BC，厘米，厘米求三角形ABC的面积是三角形EBC面积的几倍？【例 8】 如图，在平行四边形ABCD中，EF平行AC，连结BE、AE、CF、BF那么与BEC等积的三角形一共有哪几个三角形？【解析】 AEC、AFC、ABF【例 9】 (第四届”迎春杯”试题)如图，三角形的面积为1，其中，三角形 的面积是多少？【例 10】 (2008年四中考题)如右图，已知阴影部分面积为5平方厘米，的面积是 平方厘米 【例 11】 如图ABCD是一个长方形，点E、F和G分别是它们所在边的中点如果长方形的面积是36个平方单位，求三角形EFG的面积是多少个平方单位 【例 12】 如图，大长方形由面积是12平方厘米、24平方厘米、36平方厘米、48平方厘米的四个小长方形组合而成求阴影部分的面积 【例 13】 如图，三角形中，三角形ADE的面积是20平方厘米，三角形的面积是多少？【例 14】 (2009年第七届”希望杯”二试六年级)如图，在三角形中，已知三角形、三角形、三角形的面积分别是89，28，26那么三角形的面积是 【例 15】 (第四届小数报数学竞赛)如图，梯形ABCD被它的一条对角线BD分成了两部分三角形BDC的面积比三角形ABD的面积大10平方分米已知梯形的上底与下底的长度之和是15分米，它们的差是5分米求梯形ABCD的面积 【例 16】 图中AOB的面积为，线段OB的长度为OD的3倍，求梯形ABCD的面积【例 17】 如图，把四边形ABCD改成一个等积的三角形【例 18】 （第三届“华杯赛”初赛试题）一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积占长方形面积的，黄色三角形面积是问：长方形的面积是多少平方厘米？【例 19】 是长方形内一点，已知的面积是，的面积是，求的面积是多少？【例 20】 如右图，过平行四边形内的一点作边的平行线、，若的面积为8平方分米，求平行四边形的面积比平行四边形的面积大多少平方分米？ 【例 21】 如右图，正方形的面积是，正三角形的面积是，求阴影的面积 【例 22】 在长方形内部有一点，形成等腰的面积为16，等腰的面积占长方形面积的，那么阴影的面积是多少？【例 23】 （2008年“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛六年级）如右图所示，在梯形中，、分别是其两腰、的中点，是上的任意一点，已知 的面积为，而的面积恰好是梯形面积的，则梯形的面积是 【例 24】 如图所示，四边形与都是平行四边形，请你证明它们的面积相等 【例 25】 如图，正方形ABCD的边长为6，1.5，2长方形EFGH的面积为 【例 26】 如图，ABCD为平行四边形，EF平行AC，如果ADE的面积为4平方厘米求三角形CDF的面积 【例 27】 图中两个正方形的边长分别是6厘米和4厘米，则图中阴影部分三角形的面积是多少平方厘米【例 28】 如图，有三个正方形的顶点、恰好在同一条直线上，其中正方形的边长为10厘米，求阴影部分的面积【例 29】 (2008年”华杯赛”决赛)右图中，和是两个正方形，和相交于，已知等于的三分之一，三角形的面积等于6平方厘米，求五边形的面积 【例 30】 (第八届小数报数学竞赛决赛试题)如下图，、分别是梯形的下底和腰上的点，并且甲、乙、丙个三角形面积相等已知梯形的面积是平方厘米求图中阴影部分的面积【例 31】 如图，已知长方形的面积，三角形的面积是，三角形的面积是，那么三角形的面积是多少？ 【例 32】 如图，在平行四边形中，求阴影面积与空白面积的比【例 33】 (第七届”小机灵杯”数学竞赛五年级复赛)如图所示，三角形中，是边的中点，是边上的一点，且，为与的交点若的面积为平方厘米，的面积为平方厘米且是平方厘米，那么三角形的面积是 平方厘米【例 34】 如图，在梯形中，且的面积比的面积小10平方厘米梯形的面积是 平方厘米【例 35】 如右图所示，在长方形内画出一些直线，已知边上有三块面积分别是，那么图中阴影部分的面积是多少？【例 36】 图中是一个各条边分别为5厘米、12厘米、13厘米的直角三角形将它的短直角边对折到斜边上去与斜边相重合，那么图中的阴影部分(即未被盖住的部分)的面积是多少平方厘米？ 【例 37】 如图，长方形的面积是2平方厘米，是的中点阴影部分的面积是多少平方厘米？【例 38】 (2007年六年级希望杯二试试题)如图，三角形田地中有两条小路和，交叉处为，张大伯常走这两条小路，他知道,且则两块地和的面积比是_ 【例 39】 (年第一届”学而思杯”综合素质测评六年级试)如图，被分成个面积相等的小三角形，那么 【解析】 由题意可知，所以，；又，所以，同样分析可得，所以【例 40】 、分别为直角梯形两边上的点，且、彼此平行，若，求阴影部分的面积 【例 41】 (2007年人大附中分班考试题)已知为等边三角形，面积为400，、分别为三边的中点，已知甲、乙、丙面积和为143，求阴影五边形的面积(丙是三角形)【例 42】 (2009年四中入学测试题)如图，已知，线段将图形分成两部分，左边部分面积是38，右边部分面积是65，那么三角形的面积是 【例 43】 (2008年仁华考题)如图，正方形的边长为10，四边形的面积为5，那么阴影部分的面积是 【例 44】 (2008年走美六年级初赛)如图所示，长方形内的阴影部分的面积之和为70，四边形的面积为 【例 45】 (清华附中分班考试题)如图，如果长方形的面积是平方厘米，那么四边形的面积是多少平方厘米？ 【例 46】 (2008年日本第12届小学算术奥林匹克大赛初赛)如图，阴影部分四边形的外接图形是边长为的正方形，则阴影部分四边形的面积是 【例 47】 如图，三角形的面积是，、的长度分别为11、3求长方形的面积 【例 48】 (2008年第二届华罗庚金杯数学精英邀请赛)如图，长方形中，、分别是边上的两点，那么，三角形面积的最小值是 【例 49】 (2007首届全国资优生思维能力测试)是边长为12的正方形，如图所示，是内部任意一点，、，那么阴影部分的面积是 【例 50】 如图所示，在四边形中，分别是各边的中点，求阴影部分与四边形的面积之比 【例 51】 如图，四边形中，已知四边形的面积等于4，则四边形的面积 【拓展】如图，对于任意四边形，通过各边三等分点的相应连线，得到中间四边形，求四边形的面积是四边形的几分之几？【例 52】 (2008年日本小学算数奥林匹克大赛决赛)有正三角形，在边、的正中间分别取点、，在边、上分别取点、，使，当和、和、和的相交点分别是、时，使这时，三角形的面积是三角形的面积的几分之几？请写出思考过程【例 53】 如图：已知在梯形中，上底是下底的，其中是边上任意一点，三角形、三角形、三角形的面积分别为、求三角形的面积 【例 54】 如图，已知是梯形，求的面积 【例 55】 （2009年迎春杯决赛高年级组）如图，是一个四边形，、分别是、的中点如果、与的面积分别是6、7和8，且图中所有三角形的面积均为整数，则四边形的面积为 板块二 鸟头模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比如图在中，分别是上的点如图 (或在的延长线上，在上)，则 图 图【例 56】 如图在中，分别是上的点，且，平方厘米，求的面积 【例 57】 如图在中，在的延长线上，在上，且，平方厘米，求的面积 【例 58】 如图所示，在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，三角形AFE(图中阴影部分)的面积为8平方厘米平行四边形的面积是多少平方厘米？【例 59】 已知的面积为平方厘米，求的面积