菱形基础知识点及同步练习、含答案
学科：数学 教学内容：菱形【基础知识精讲】 定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形定理1：四边都相等的四边形是菱形定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形【重点难点解析】1菱形的性质(1)菱形具有平行四边形的一切性质；(2)菱形的四条边都相等；(3)菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；(4)菱形是轴对称图形2菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半A重点、难点提示1理解并掌握菱形的概念，性质和判别方法；（这是重点，也是难点，要掌握好）2经历探索菱形的性质和判别条件的过程，在操作活动和观察、分析过程中发展学生的主动探究习惯和初步的审美意识，进一步了解和体会说理的基本方法；3了解菱形的现实应用和常用的判别条件；4体会特殊与一般的关系B考点指要菱形是特殊的平行四边形，其性质和判别方法是中考的重要内容之一一组邻边相等的平行四边形叫做菱形菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的一切性质除具有平行四边形的一切性质外，菱形还具有以下性质：菱形的四条边都相等；两条对角线互相垂直平分；（出现了垂直，常与勾股定理联系在一起）每一条对角线都平分一组内角（出现了相等的角，常与角平分线联系在一起）菱形是轴对称图形，它的两条对角线所在直线是它的两条对称轴（不是对角线，而是其所在直线，因为对称轴是直线，而对角线是线段）菱形的判别方法：（学会利用轴对称的方法研究菱形）一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；四条边都相等的四边形是菱形【难题巧解点拨】例1：如图4-24，在ABC中，BAC=90°，ADBC于D，CE平分ACB，交AD于G，交AB于E，EFBC于F求证：四边形AEFG是菱形思路分析由已知可知，图中有平行线，就可证角相等、线段相等，因此，可先证四边形AEFG是平行四边形，再证一组邻边相等证明：BAC=90°，EFBC，CE平分ACB，AE=EF，CEA=CEF（这是略证，并不是完整的证明过程）ADBC，EFBC，EFAD，（垂直于同一条直线的两条直线互相平行）CEF=AGE，（两直线平行，内错角相等）CEA=AGE，AE=AG，EFAG，且EF=AG，四边形AEFG是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）又AE=EF，平行四边形AEFG是菱形例2：已知菱形的周长为20cm，一条对角线长为5cm，求菱形各个角的度数已知：菱形ABCD中，AB+BC+CD+DA=20cm，对角线AC=5cm求ADC、ABC、BCD、DAB的度数思路分析利用菱形的四条边相等，可求出各边长，从而得到等边三角形，如图4-25解：在菱形ABCD中，AB=BC=CD=DA，又AB+BC+CD+DA=20cm，AB=BC=CD=DA=5cm，又AC=5cm，AB=BC=AC，CD=DA=AC，ABC和DAC都是等边三角形，（本题将边之间的长度关系转化为角的关系）ADC=ABC=60°，BCD=DAB=120°例3：如图4-26，在平行四边形ABCD中，BAE=FAE，FBA=FBE求证：四边形ABEF是菱形证法一：AFBE，FAE=AEB （两直线平行，内错角相等）又BAE=FAE，BAE=AEB，AB=BE（等角对等边）同理，AB=AF，BE=EF，AB=BE=EF=AF，四边形ABEF是菱形（四条边都相等的四边形是菱形）证法二：AFBE，FAE=AEB，又BAE=FAE，BAE=AEB，AB=BE又FBA=FBE，AO=OE，AEFB，（等腰三角形三线合一）同理，BO=OF，四边形ABEF是菱形（对角线互相垂直平分的四边形是菱形）（你还有其他的证明方法吗？不妨试一下）例4：菱形的两邻角之比为1：2，边长为2，则菱形的面积为_思路分析本题主要考查菱形的性质和面积公式的应用：解法一：如图4-27，B：A=1：2，四边形ABCD是菱形，ADBC，A+B=180°，B=60°，A=120°，过A作AEBC于E，BAE=30°，（直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半），（勾股定理）（平行四边形的面积计算方法是：底乘以高）解法二：如图4-28，BA=12，四边形ABCD是菱形，ADBC，A+B=180°，B=60°，A=120°，连结AC、BD交于点O，ACBD（菱形的性质：对角线平分一组对角，对角线互相垂直）在RtABO中，AC=2，答：菱形的面积为【典型热点考题】例1 如图4-13，已知菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且B=EAF=60°，BAE=18°，求CEF的度数点悟：由B=60°知，连接AC得等边ABC与ACD，从而ABEADF，有AE=AF，则AEF为等边三角形，再由外角等于不相邻的两个内角和，可求CEF解：连接AC 四边形ABCD为菱形， B=D= 60°，AB=BC=CD=DA， ABC与CDA为等边三角形 AB=AC，B=ACD=BAC=60°， EAF=60°， BAE=CAF AE=AF又 EAF=60°， EAF为等边三角形 AEF=60°， AEC=B+BAE=AEF+CEF， 60°+18°=60°+CEF， CEF=18°例2 已知如图4-14，在ABC中，BAC=90°，ADBC于D，CE平分ACB，交AD于G，交AB于E，EFBC于F，求证：四边形AEFG为菱形点悟：可先证四边形AEFG为平行四边形，再证邻边相等(或对角线垂直)证明： BAC=90°，EFBC，CE平分BCA， AE=FE，AEC=FEC EFBC，ADBC， EFAD FEC=AGE， AEC=AGE AE=AG， 四边形AEFG为平行四边形又 AE=AG 四边形AEFG为菱形点拨：此题还可以用判定菱形的另两种方法来证例3 已知如图4-15，E为菱形ABCD边BC上一点，且AB=AE，AE交BD于O，且DAE=2BAE求证：EB=OA证明： 四边形ABCD为菱形， ABC=2ABD， ADBC， DAE=AEB， AB=AE， ABC=AEB DAE=2ABD DAE=2BAE， ABD=BAE， OA=OB BOE=ABD+BAE， BOE=2BAE BEA=BOE， OB=BE， AO=BE说明：利用菱形性质证题时，要灵活选用，选不同性质，就会有不同思路例4 已知菱形的一边与两条对角线构成的两角之比为5：4，求菱形的各内角的度数点悟：先作出菱形ABCD和对角线AC、BD(如图4-16)解： 四边形ABCD是菱形， ACBD， 1+2=90°，又 1：2=4：5， 1=40°，2=50°， DCB=DAB=22=100°，故 CBA=CDA=21=80°【同步达纲练习一】一、选择题1已知菱形的一条对角线与边长相等，则菱形的邻角度数分别为 ( )(A)45°， 135° (B)60°， 120°(C)90°， 90° (D)30°， 150°2若菱形的一条对角线长是另一条对角线的2倍，且此菱形的面积为S，则它的边长为( )(A) (B) (c) (D)二、填空题3已知：菱形ABCD中，E、F是BC、CD上的点，且AE=EF=AF=AB，则B=_.4已知：菱形的两条对角线长分别为a、b，则此菱形周长为_，面积为_.5菱形具有而矩形不具有的性质是_.6已知一个菱形的面积为平方厘米，且两条对角线的比为1：，则菱形的边长为_.三、解答题7已知：O为对角线BD的中点，MN过O且垂直BD，分别交CD、AB于M、N求证：四边形DNBM是菱形8如图4-17，已知菱形ABCD的对角线交于点O，AC=16cm，BD=12cm，求菱形的高【同步达纲练习二】1在菱形ABCD中，若ADC=120°，则BD：AC等于( )ABC1：2D2已知菱形的周长为40cm，两对角线的长度之比为3：4，则两对角线的长分别为( )A6cm，8cmB3cm，4cmC12cm，16cmD24cm，32cm3菱形的对角线具有( )A互相平分且不垂直B互相平分且相等C互相平分且垂直D互相平分、垂直且相等（掌握菱形对角线的性质，注意不要增加性质）4已知菱形的面积等于，高等于8cm，则菱形的周长等于_5已知菱形的两条对角线的长分别是6和8，那么它的边长是_6菱形的周长是40cm，两邻角的比是1：2，则较短的对角线长是_cm7如图4-29，在ABC中，BAC=90°，BD平分ABC，AGBC，且BD、AG相交于点E，DFBC于F求证：四边形AEFD是菱形8如图4-30，平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与AD、BC、AC分别交于点E、F、O求证：四边形AFCE是菱形参考答案【同步达纲练习一】一、1B； 2D；二、380°；4，；5对角线互相垂直，各边长相等64厘米三、
