自动控制原理 第七章 采样控制系统

连续系统： 控制系统中的所有信号都是时间变量的连续函数。 离散系统： 控制系统中有一处或几处信号是间断的脉冲或数码。 采样控制系统(脉冲控制系统)： 系统中的离散信号以脉冲序列形式出现。 数字控制系统(计算机控制系统)： 系统中的离散信号以数码形式出现。,第七章 采样系统分析,例：炉温采样控制系统,第一节 采样基本概念,连续控制方式：由于炉温上升有惰性，阀门敏感, 造成炉温大幅度震荡。 采样控制方式：只有检流计指针与电位器接触时，电动机才旋转。间隔T时 间, 接通时间, 等待炉温变化, 避免振荡。,炉,燃料 供应阀,放大器与 执行电机,给定炉温,误差 信号,离散误 差信号,电机 转速,阀门 开度,炉温,-,T,误差信号,离散误差信号,采样系统典型结构图,1. 青藏铁路环境监测系统 2. 微机监测 3. 日本新干线综合安全监测系统 4. 计算机控制系统,其它典型采样控制系统,一. 采样过程 连续信号变换为脉冲信号。,输出为宽度等于的调幅脉冲系列，在采样瞬时nT(n= 0,1,2,)时出现。,第二节 采样过程与采样定理,非常小，通常为毫秒到微秒级，一般远小于采样周期T。 e*(t) = e(t) T(t） 其中: (t-nT)是时刻t=nT时强度为1的单位脉冲 e(t)只有在采样瞬间才有意义.,理想采样器(单位脉冲序列),幅值调制过程,连续信号,二.采样过程的数学描述,采样过程的拉氏变换,有:,根据拉氏变换的位移定理,设 ，试求采样拉氏变换E*(s),解：,上式是 eTs 的有理函数. 但 eTs是含变量S的超越函数，不便进行分析和运算，因此常用Z变换代替拉氏变换。,举例,从理论上指明了从采样信号中不失真的复现原连续信号 所必需的理论上的最小采样周期T.,香农采样定理：,如果采样器的输入信号e(t)具有有限带宽，并且最高角频率为 Wmax ,则只要采样频率满足Ws2Wmax，则采样后的脉冲序列中将包含了连续信号的全部信息。,三. 采样定理,第三节 信号复现与零阶保持器,一. 信号保持 把离散信号转换为连续信号，称为信号保持，该装置称 保持器。 保持器：用离散时刻信号复现连续时刻信号。,二. 零阶保持器,作用：把采样信号e*(t) 每一个采样瞬时值e(kT)一直保持到下一个采样瞬间e(k+1)T, 从而使采样信号 e*(t)变成 阶梯信号eh(t)。,2. 名称由来：处在每个采样区间内的信号值为常数，导数为零，故得名。,将阶梯信号eh(t) 的每个区间中点连接起来，可得到与e(t)形状一致时间上落后T/2的曲线e(t-T/2)。,3.零阶保持器的传递函数和频率特性,r(t)=(t) , R(s)=1 理想单位脉冲,gh(t)=1(t)-1(t-T) 单位脉冲响应,传递函数,幅频特性： 相频特性: 其中: S=2/T,频率特性:,零阶保持器的频率特性,低通特征： 幅频特性中幅值随频率值的增大而迅速衰减. 相角滞后特性： w = ws 处，相角滞后可达180° 零阶保持器可以用无源网络近似代替.,|G0(j)|,S,2S,3S,-,零阶保持器的频率特性,信号e(t)在t = nT 及t = (n+1)T 之间的数值可以用一个级数来描述 外推法: 用采样点数值外推求得采样点之间的数值. 只取第一项 - 零阶保持器. 只取前两项 - 一阶保持器. 一阶保持器比零阶保持器信号恢复更 精确, 但相位滞后增加, 对稳定性不利.,第四节 Z变换理论,各项均含有 esT 因子，为S的超越函数。为便于应用，对离散系统的分析一般采用Z变换.,同拉氏变换一样, 是一种数学变换. 离散信号e*(t)的 拉氏变换为:,一.Z变换,1. Z变换定义： 代入 e(kT)表征采样脉冲的幅值，Z的幂次表征采样脉冲出现的时刻。 Z变换可写为:,2.典型信号的Z变换,（1）单位脉冲函数 E(z)=1,由此可见，只要e*(t)相同，E(z)就相同，无论e(t)是否相同。,（3）单位理想脉冲序列,（2） 单位阶跃信号,（4）单位斜坡序列 e(t)=t,常用Z变换可查表。,例1:求指数函数 e -at (a 0)的Z 变换。 解： 指数函数采样后所得的脉冲序列如下所示 e(nT) = e -anT (n = 0, 1, ) 代入Z变换的定义式可得 E(z) = 1 + e -aTz -1 + e -2aTz -2 + e -3aTz -3 + 若|e aT z -1| 1，该级数收敛，利用等比级数求和公式，其Z变换 的闭合形式为: (级数求和法),举例,设 , 求e*(t)的Z变换。,注意：不可将 直接代入E(s)求E(z)，因为E(s)是连续信号e(t) 的拉氏变换，而Z 变换是对离散的e*(t)而言的。,解：,举例,求正弦函数e(t) = sint 的Z 变换 解：对e(t) = sint取拉氏变换得 展开为部分分式，即 求拉氏反变换得 分别求各部分的Z变换，得 化简后得,举例,（1）线性定理,（2）时移定理 实数位移的含义是指整个采样序列在时间轴上左右平移若干采样周期 . 左移为超前, 右移为延迟.,3. Z变换的基本定理,例: 试计算 e - a ( t T ) 的Z 变换，其中a为常数。 解：由时移定理 例: 已知e(t) = t -T，求E(z)。 解：由时移定理,举例,（3）复数位移定理 复数位移定理的含义是：函数e(t)乘以指数序列eaT 的 Z 变 换，就等于在E(z) 中，以 ze + aT 取代原算子z。,（4）终值定理,E(z)= Ze(t)，且E(z)在Z平面的单位圆上除1之外没有极点，在单位圆外解析, 则有:,Z变换的基本定理,例: 已知 e(t)=te-at，求E（z）。 解：由复数位移定理,举例,例: 设Z 变换函数为 试利用终值定理确定e(nT)的终值。 解： 由终值定理,举例,二. Z反变换,Z反变换 已知Z 变换表达式 E(z)，求相应离散序列 e(nT) 的过程 ,例：,E(z)/z 展开部分分式，然后所得每一项都乘以z，即得E(z)展开式。,1. 部分分式展开法,2. 幂级数法（综合除法）,分子分母同时除以分母得,根据Z变换定义: E(Z)=e(KT)Z -K e(KT)表征采样脉冲的幅值，Z的幂次表征采样脉冲出现的时刻。,举例,例：,用Z 变换法求解差分方程,用Z 变换法解差分方程的实质和用拉氏变换解微分方程 类似，对差分方程两端取 Z 变换，并利用Z 变换的实数位 移定理，得到以 Z 为变量的代数方程，然后对代数方程的 解C(z)取 Z 反变换，求得输出序列c(k)。,例：试用Z 变换法解下列二阶差分方程 c(k+2) + 3c(k+1) + 2c(k) = 0 设初始条件为： c(0) = 0, c(1) = 1 解：对差分方程的每一项，进行Z变换，根据实数位移定理 Zc(k+2) = z2c(k) - z2c(0) zc(1) = z2C(z) z Z3c(k+1) = 3zC(z) - 3c(0) = 3z C(z) Z2c(k) = 2C(z) 于是差分方程转换为Z 的代数方程： (z2 + 3z + 2) C(z) = z,举例,举例,查Z变换表，求出Z反变换 即 c(k) = (-1)K (-2)K （K = 0，1，2，）,第五节 脉冲传递函数,说明：（1）零初始条件：t0，输入脉冲序列各采样值r(-T)，r(-2T) 及输出脉冲序列各采样值C(-T)，C(-2T), 均为零。,零初始条件下，输出采样信号的Z变换与输入量C采样信号的Z变换之比。,一 脉冲传递函数定义,（2）输出的采样信号为: c*(t) = z -1C(z) = z -1 G(z) R(z) ,（3）实际系统的输出可能是连续信号，此时可以想象输出端虚设一采 样开关，与输入采样开关同步工作，并具有相同的采样周期。,只由系数及方程结构决定。 分母为脉冲传递函数的特征方程。,（4）脉冲传递函数与差分方程式一一对应,说明,（1）由定义出发 （2）由S变换Z变换关系求得,例: 设某环节的差分方程为 c(nT) = r (n-k)T 试求其脉冲传递函数G(z)。 解：对差分方程取Z 变换，并由实数位移定理得 C(z) = z -k R(z) 由脉冲传递函数的定义,二 脉冲传递函数的求法,例：,举例,单位脉冲响应-单位脉冲作用下的输出,单位脉冲作用下输出采样信号的Z变换-输出的Z变换,单位脉冲(输入)Z变换=1 单位脉冲传递函数=输出的Z变换.,过程,如果已知连续系统或元件的传递函数G(s)， g(t) = L-1G(s) 取其离散值得 g*(t)，则 G(z) = Zg*(t),2.串联连续环节的脉冲传递函数,例：,ZG1(S)G2(S) ZG1(S) ZG2(S),（1）串联环节之间有采样开关,由脉冲传递函数定义 D(z) = R(z)·G1(z) C(z) = D(z)·G2(z) 所以 C(z) = R(z)·G1(z)G2(z) 即开环系统脉冲传递函数 G(z) = G1(z)G2(z) 上式表明，有理想采样开关隔开的两个线性环节串联时的脉冲传递函 数,等于这两个环节各自的脉冲传递函数之积。,G1(z),G2(z),G(z),D(z),R(z),（2）串联环节之间无采样开关,D(s) = R*(s)·G1(s) C(s) = D(s)·G2(s) C(s) = R*(s)·G1(s)G2(s) 对C(s)取离散化，并由采样拉氏变换的性质 C*(s) = R*(z)·G1G2(s)* 取Z 变换，得 C(z) = R(z)·G1G2(z) 即 G(z) = G1G2(z) 上式表明，没有理想采样开关隔开的两个线性连续环节串联时的脉冲 传递函数，等于这两个环节传递函数乘积后的Z 变换 。,G(z),R(z),D(s),R(s),C(s),3.有零阶保持器的开环脉冲传递函数,f*(t-T)为其采样后信号，比f*(t)延时一个周期T, 由Z变换的时移定理,例: 设如图所示离散系统，求系统的脉 冲传递函数G(z)。其中 解:,举例,举例,加入零阶保持器，不会影响脉冲传递函数的分母，从而也不会影响 采样系统的稳定性.,三 闭环系统脉冲传递函数,说明: （1）无确定公式，采样开关位置不同，则(z)不同； （2）(z)有可能无法求出，而只能得到C(z)。,例1：,举例,结论：闭环离散系统的特征方程 D(z) = 1 + HG(z)相同,举例,例2：设闭环离散系统结构如图，试证其输出采样信号的Z变换函数:,证： C(s) = G(s)E(s) E(s) = R(s) - H(s)C*(s) C(s) = G(s)R(s) - G(s)H(s)C*(s) C*(s) = GR*(s) - GH*(s)C*(s),举例,例3: 如图所示的多环系统， 求系统的输出的表达式。 解： 整理得 又 代入得,举例,举例,作Z 变换并整理得,第六节 采样系统的性能分析,1. 离散系统稳定性的充分必要条件 若离散系统在有界输入序列作用下，其输出序列也是有界的，则称该 离散系统是稳定的。,一 稳定性分析,2. 时域中离散系统稳定的充要条件 当差分方程所有特征根的模 时，相应的线性定常离散系统是稳 定的。,对于连续系统来说，其在S域稳定的充要条件是系统传递函数的极点均 严格位于S左半平面，并由劳斯