竞赛辅导-材料力学-基本变形与组合变形

航天航空学院航天航空学院-力学中心力学中心 周培源杯力学竞赛辅导周培源杯力学竞赛辅导 材料力学部分 基本变形与组合变形 材料力学部分 基本变形与组合变形 殷民主讲殷民主讲 周培源杯力学竞赛辅导周培源杯力学竞赛辅导材料力学材料力学 后两周基本安排后两周基本安排 本周一：基本变形与组合变形（1），殷民老师本周一：基本变形与组合变形（1），殷民老师 本周二：基本变形与组合变形（2），殷民老师本周二：基本变形与组合变形（2），殷民老师 本周四：能量法与超静定（1），王一兵老师本周四：能量法与超静定（1），王一兵老师 本周六：能量法与超静定（2），王一兵老师本周六：能量法与超静定（2），王一兵老师 下周一：往年竞赛试题分析（1），凌伟老师下周一：往年竞赛试题分析（1），凌伟老师 下周二：往年竞赛试题分析（2），凌伟老师下周二：往年竞赛试题分析（2），凌伟老师 下周四：材料力学专题讨论，王一兵老师下周四：材料力学专题讨论，王一兵老师 下周六：模拟自测。下周六：模拟自测。 周培源杯力学竞赛辅导周培源杯力学竞赛辅导材料力学材料力学 基本变形之一：轴向拉伸与压缩基本变形之一：轴向拉伸与压缩 N F A N F l l EA n 0 max E 可能的考点：可能的考点： 杆件考虑自重：杆件考虑自重：取微段分析取微段分析 多杆连接的变形计算：多杆连接的变形计算：切线代圆弧；总变形分解切线代圆弧；总变形分解 高阶拉压超静定问题：高阶拉压超静定问题：寻找几何条件，对称性寻找几何条件，对称性 拉压弹性模量不等：拉压弹性模量不等：分区域用胡克定律分区域用胡克定律 周培源杯力学竞赛辅导周培源杯力学竞赛辅导材料力学材料力学 基本变形之一：轴向拉伸与压缩基本变形之一：轴向拉伸与压缩 A l l1 l2 1 2 A A l x y 1 2 A 新位置向原杆作垂线， 可以得到杆件伸长量或 缩短量。 新位置向原杆作垂线， 可以得到杆件伸长量或 缩短量。 将总位移分解为水平位 移和铅垂位移后，再分 别向原杆作垂线，得到 杆件伸长量或缩短量， 此时几何关系较简单。 将总位移分解为水平位 移和铅垂位移后，再分 别向原杆作垂线，得到 杆件伸长量或缩短量， 此时几何关系较简单。 周培源杯力学竞赛辅导周培源杯力学竞赛辅导材料力学材料力学 例：例：设计一长度为设计一长度为L=30m的桥墩，有轴向载荷的桥墩，有轴向载荷 F=3000kN，材料比重，材料比重 =2.5kN/m3，材料的许用 应力 ，材料的许用 应力 =1MPa。用三种设计方案进行设计：等 直杆、三段等长阶梯杆、等强度杆。 。用三种设计方案进行设计：等 直杆、三段等长阶梯杆、等强度杆。 解：解：一、等直杆：一、等直杆： F max FLA A 2 12m F A L 9000kNGAL 二、阶梯杆：二、阶梯杆： F 2 1 4m /3 F A L 2 1 2 /3 5.33m /3 FAL A L 2 12 3 /3/3 5.78m /3 FALA L A L 123 ()3777.5kN 3 L GAAA F 三、等强度杆：三、等强度杆： 2 0 3m F A A(x) (A(x)+dA) d ( )dAA xx 00 dd ( ) xx Ax A x 0.025 0 ( )3 x x A xA ee 0 ( )d3350kN L GA xx 取微段：取微段： 例：例：图示结构，两杆的抗拉刚度均为图示结构，两杆的抗拉刚度均为EA，试证明：当，试证明：当 =45° 时， ° 时，A点的总位移总与外力点的总位移总与外力F共线。共线。 解：解：1、平衡方程：、平衡方程： N1N2 N1N2 cos()cos0 sin()sin0 FFF FFF N1 N2 cossin () 2 cossin cossin () 2 cossin F F F F 2、几何方程：、几何方程： 1 2 cossin cossin luv luv 12 21 1 () 2cos 1 () 2sin ull vll 3、物理方程：、物理方程： N1N2 12 F lF l ll EAEA 4、联立求解：、联立求解： 2 tancottan v u 当当=45°时，°时，=，得证！，得证！ F A B C 周培源杯力学竞赛辅导周培源杯力学竞赛辅导材料力学材料力学 A l2 l1 u v 例：例：一刚性梁（自重不计）由一刚性梁（自重不计）由n 根等间距的吊杆支承，各杆的长度和抗拉刚 度 根等间距的吊杆支承，各杆的长度和抗拉刚 度EA均相等。梁上作用了若干铅垂向下的载荷，各载荷的大小和间距可任 意确定，试确定各杆内力。 均相等。梁上作用了若干铅垂向下的载荷，各载荷的大小和间距可任 意确定，试确定各杆内力。 解：解： 1、将载荷向刚性梁中点简化、将载荷向刚性梁中点简化 2、当力、当力F单独作用时：单独作用时： 3、当力偶、当力偶M单独作用时，静力学平衡方程：单独作用时，静力学平衡方程： l 1 2 3n-1 n F1F2FkF3 l/2 1 2 3n-1 n F l/2 M 4、考虑到各杆变形成比例，则轴力也成比例：、考虑到各杆变形成比例，则轴力也成比例： 5、当力、当力F和力偶和力偶M共同作用时：共同作用时： N (1,2, ) k F Fkn n 12 NNN N (1) () 22121 () 2 i n lllll i FFF nn l FM 1 NN (1) : 212 i ll il FF n 1 N 2 2 2(1) 1 1 M F i l n N 2 2(1) 1 2 1 (1,2, ) 2(1) 1 1 i i M n Fin i l n N 2 2(1) 1 2 1 (1,2, ) 2(1) 1 1 i i FM n Fin i nl n 周培源杯力学竞赛辅导周培源杯力学竞赛辅导材料力学材料力学 例：例：图示对称桁架，三杆材料面积均相同，受到 力 图示对称桁架，三杆材料面积均相同，受到 力F 作用。已知杆作用。已知杆3有装配误差有装配误差 ，试计算三杆的 内力。当误差 ，试计算三杆的 内力。当误差 为多少时，该结构的强度最好？为多少时，该结构的强度最好？ 解：解：1、平衡方程：、平衡方程： 2、几何方程（假设杆、几何方程（假设杆3短了短了 ）：）： 3、物理方程：、物理方程： 4、联立求解：、联立求解： 5、最佳强度：、最佳强度： 负号表示 杆 负号表示 杆3伸长！伸长！ 6、讨论：、讨论： N1N3 2cosFFF 13 ()cosll N1N3 13 cos F lF l ll EAEA 22 N1 3 coscos 2 cos FlEA F ll 3 N3 3 2cos 2 cos FlEA F ll N1N3 FF 2 tan (1 2cos ) Fl EA l 1 23 F A 123 A A 周培源杯力学竞赛辅导周培源杯力学竞赛辅导材料力学材料力学 N1N3 ?FF 塑性材料？脆性材料？塑性材料？脆性材料？ 例：例：等截面杆等截面杆AB在未受力时长在未受力时长L，截面面积为，截面面积为A，弹性模量为，弹性模量为E + 和和 E -， 比重为 ， 比重为 。将它竖起后上下端固定，固定端距离为。将它竖起后上下端固定，固定端距离为L，求在自重作用下：，求在自重作用下： (1)应力表达式；应力表达式；(2)受拉区和受压区的位移表达式。受拉区和受压区的位移表达式。 L A B x RB 解：解：1、解除、解除B端约束：端约束： ( )() B N xRA Lx ( )() B R xLx A 2、设、设x = c 处为拉压分界线：处为拉压分界线： ()0 B R Lc A B R cL A ( )0c 3、拉伸区和压缩区总位移：、拉伸区和压缩区总位移： 2 11 ( ) () 2 B R xxLxx udxCxc EE AEE 2 22 ( ) () 2 B R xxLxx udxCxc EE AEE 边界、连续条件：边界、连续条件： 2 1 12 0,0 ,0 , xu xL u xc uu 2 0C 2 1 111 () () 2 B R CL AEE 4、最终：、最终： 1 (1) 1/ B RAL EE 周培源杯力学竞赛辅导周培源杯力学竞赛辅导材料力学材料力学 5、若、若E += E ：/2 B RAL / 2cL h1 F h2 例：例：图示长方体容器（忽略自重），一端铰支，一端用钢 绳约束，钢绳的抗拉刚度为 图示长方体容器（忽略自重），一端铰支，一端用钢 绳约束，钢绳的抗拉刚度为EA。倒入。倒入一半容积的水一半容积的水后，水 的比重为 后，水 的比重为 ，在水没有溢出的前提下，试求钢绳的伸长量，在水没有溢出的前提下，试求钢绳的伸长量 （小变形条件下）。（小变形条件下）。 解：解：1、几何条件：、几何条件： 12 () 22 hhabhab 21 hh 2、物理条件：、物理条件： FL EA 3、平衡条件：、平衡条件： 21 1 2 223 hhaa h ababFa 4、联立求解：、联立求解： 3 12 abhL EAabL 周培源杯力学竞赛辅导周培源杯力学竞赛辅导材料力学材料力学 h a b L h/2 航天航空学院航天航空学院-力学中心力学中心 周培源杯力学竞赛辅导周培源杯力学竞赛辅导 材料力学部分 基本变形与组合变形 材料力学部分 基本变形与组合变形 殷民主讲殷民主讲 周培源杯力学竞赛辅导周培源杯力学竞赛辅导材料力学材料力学 基本变形之二：扭转基本变形之二：扭转 可能的考点：可能的考点： 纵向截面应力分析：纵向截面应力分析：切应力互等定律，平衡条件切应力互等定律，平衡条件 扭转超静定问题：扭转超静定问题：几何条件几何条件 p T I 0 max p T Wn p Tl GI 180 p T GI 4 4 1 32 p D I 3 4 1 16 p D w 周培源杯力学竞赛辅导周培源杯力学竞赛辅导材料力学材料力学 T T A B C D l 例：例：受扭矩受扭矩T作用的实心圆轴，长度为作用的实心圆轴，长度为l，直 径为 ，直 径为D，试确定水平纵截面上切应力的合力 偶矩，该合力偶与杆件上的什么力偶平衡。 ，试确定水平纵截面上切应力的合力 偶矩，该合力偶与杆件上的什么力偶平衡。 解：解：1、沿水平纵截面取分离体、沿水平纵截面取分离体 A B C