经济数学微积分 第二版第三章 第五节函数的微分

,一、微分的定义,二、微分的几何意义,三、基本初等函数的微分公式 与微分运算法则,五、小结 思考题,第七节 函数的微分,四、微分在近似计算中的应用,一、微分的定义(differential),1.实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.,再例如,既容易计算又是较好的近似值,问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?,2. 定义,(微分的实质),由定义知:,3. 可微(differentiable)的条件,定理,证,(1) 必要性,(2) 充分性,例1,解,二、微分的几何意义,M,N,）,几何意义:(如图),( geometrical meaning of the differential ),三、基本初等函数的微分公式 与微分运算法则,求法: 计算函数的导数, 乘以自变量的微分.,1.基本初等函数的微分公式,2. 函数和、差、积、商的微分法则,结论：,微分形式的不变性,3. 复合函数的微分法则,例2,解,例3,解,例5,解,例4,解,例6,解,在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使等式成立.,四、微分在近似计算中的应用,例7,解,解,例8,常用近似公式,证明,例9,解,五、小结 思考题,微分学所要解决的两类问题:,函数的变化率问题,函数的增量问题,微分的概念,导数的概念,求导数与微分的方法,叫做微分法.,研究微分法与导数理论及其应用的科学,叫做微分学.,导数与微分的联系:,导数与微分的区别:,近似计算的基本公式,思考题,思考题解答,说法不对.,从概念上讲，微分是从求函数增量引出线性主部而得到的，导数是从函数变化率问题归纳出函数增量与自变量增量之比的极限，它们是完全不同的概念.,思考题,某家有一机械挂钟, 钟摆的周期为1秒. 在冬季, 摆长缩短了0.01厘米, 这只钟每天大约快多少?,解：,据题设, 摆的周期是1秒, 由此可知摆的原长为,的改变量为,也就是说, 由于摆长缩短了0.01cm, 钟摆的周期便相应缩短了大约0.0002秒, 即每秒约快0.0002秒, 从而每天约快,练 习 题 一,练习题一答案,练 习 题 二,练习题二答案,