近世代数2-8

2019/5/13 02:53,近世代数,第二章 群论 §8 不变子群和商群,2019/5/13 02:53,一、引理,思考题1：,，,关于子集乘法做成群吗？,引理,，则,仍是左陪集,证明,2019/5/13 02:53,一、引理,思考题1：,，,关于子集乘法做成群吗？,引理,，则,仍是左陪集,答：,且,，则,关于陪集乘法,做成群（,）,2019/5/13 02:53,二、不变子群的定义,定义 1,且,则称,是群,的一个不变子群（或正规子群）,.,，记作,例1 任意群,的两个平凡子群都是不变子群.,例2 任意群,的中心,都是不变子群.,例3 交换群的子群,都是不变子群.,2019/5/13 02:53,例4,因为,，所以,是,因为,不是,，所以,的不变子群.,的不变子群.,解：,2019/5/13 02:53,三、不变子群的性质,性质1 设,，则,是,的不变子群,有,，,性质2 群,的任何两个不变子群的交还是,的不变子群.,有,有,性质3 不变子群与子群的乘积是子群；,不变子群与不变子群的乘积是不变子群.,2019/5/13 02:53,思考题2,我们知道“子群”的概念具有传递性:,，,，那么“正规子群”是否也具有传递性呢？,？,例5,不是,的不变子群.,2019/5/13 02:53,性质4,，且,，则,性质5,，但,未必是,的不变子群，即无传递性.,2019/5/13 02:53,四、商群,关于,有左单位元,有逆元.,做成群.,，故非空；, 有乘法运算,；,，有结合律；,；,证明：,2019/5/13 02:53,四、商群,关于,做成群.,设,，则称,关于,做成的群为,关于,的商群.,定义 2,2019/5/13 02:53,商群有下列常用的性质:,商群,的阶,2)如果,是有限群, 则商群,的阶,3)有限群的商群还是有限群, 且其任一,商群的阶是群阶数的因数.,为商群,的单位元,为,的逆元., 则,4),2019/5/13 02:53,6)交换群的任一子群都是交换群, 且其商群,7)循环群的任一子群为不变子群，任一商群,为循环群, 由于循环群为交换群，且循环群的子群为,所以,为循环群.）,也是交换群.,都是循环群.,（设,循环群，故,2019/5/13 02:53,练习：,1. 设,为整数加群,（1）证明,；（2）求,2.,（1）证明,；（2）求,