东北三省三校（ ）2019届高三第一次模拟 数学（理）含答案解析

东北三省三校2019届高三第一次模拟（哈尔滨师大附中、东北师大附中、 辽宁省实验中学）数学（理）试题一、单选题1复数的虚部是（ ）A4B-4C2D-2【答案】D【解析】先将复数进行化简得，得出答案.【详解】复数= 所以虚部为-2故选D【点睛】本题主要考查了复数的化简，属于基础题.2集合，则（ ）ABCD【答案】B【解析】先求出集合，再利用交集的定义得出答案.【详解】因为可得，集合，所以故选B【点睛】本题主要考查了交集的定义，属于基础题.3已知向量的夹角为，则（ ）ABCD【答案】C【解析】由题，先求出，可得结果.【详解】 所以故选C【点睛】本题主要考查了数列的运算，属于基础题.4设，则的大小关系为（ ）ABCD【答案】A【解析】先利用是单调递减的，得出；再利用在是单调递增的，得出求得答案.【详解】因为是单调递减的，且，所以；又因为在是单调递增的，所以综上，故选A【点睛】本题主要考查了指数函数和幂函数的性质，来比较大小，掌握函数的性质是解题的关键.5等差数列的前项和为，且，则（ ）A30B35C42D56【答案】B【解析】先根据题目已知利用公式求出公差 ， ，再利用求和公式得出结果.【详解】因为是等差数列，所以，所以公差 ， 根据求和公式 故选B【点睛】本题主要考查了数列的求和以及性质，对于等差数列的公式的熟练运用是解题的关键，属于基础题.6中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、猪）中的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取礼物都满意，则选法有（ ）A30种B50种C60种D90种【答案】B【解析】先分情况甲选牛共有，甲选马有，得出结果.【详解】若同学甲选牛，那么同学乙只能选狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的10中任意选，所以共有 若同学甲选马，那么同学乙能选牛、狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的10中任意选，所以共有所以共有种故选B【点睛】本题主要考查了排列组合，分情况选择是解题的关键，属于较为基础题.7执行两次下图所示的程序框图，若第一次输入的的值为4，第二次输入的的值为5，记第一次输出的的值为，第二次输出的的值为，则（ ）A2B1C0D-1【答案】D【解析】根据已知的程序框图，模拟程序的执行过程，可的结果.【详解】当输入x的值为4时，第一次不满足 ，但是满足x能被b整除，输出；当输入x的值为5时，第一次不满足 ，也不满足x能被b整除，故b=3第二次满足 ，故输出则-1故选D【点睛】本题主要考查了程序框图，属于较为基础题.8如图，在直角坐标系中，过坐标原点作曲线的切线，切点为分别作轴的垂线，垂足分别为，向矩形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为（ ）ABCD【答案】A【解析】先设出切点，利用切线过原点求出切点P的坐标，再用积分求出阴影部分的面积，最后用几何概型求得结果.【详解】设切点，所以切线方程，又因为过原点所以解得 所以点P 因为与轴在围成的面积是 则阴影部分的面积为 而矩形的面积为 故向矩形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为 故选A【点睛】本题主要考查了几何概型，但是解题的关键是在于对于切点和积分的运用是否熟练，属于中档题.9已知是不重合的平面，是不重合的直线，则的一个充分条件是（ ）A，B，C，D，【答案】C【解析】由题意，分别分析每个答案，容易得出当，得出，再得出，得出答案.【详解】对于答案A：，得出与是相交的或是垂直的，故A错；答案B：，得出与是相交的、平行的都可以，故B错；答案C：，得出，再得出，故C正确；答案D: ，得出与是相交的或是垂直的，故D错故选C【点睛】本题主要考查了线面位置关系的知识点，熟悉平行以及垂直的判定定理和性质定理是我们解题的关键所在，属于较为基础题.10双曲线 的左焦点为，点的坐标为，点为双曲线右支上的动点，且周长的最小值为8，则双曲线的离心率为（ ）ABC2D【答案】D【解析】先根据双曲线的定义求出，然后据题意周长的最小值是当三点共线，求出a的值，再求出离心率即可.【详解】由题易知双曲线的右焦点，即 ， 点P为双曲线右支上的动点，根据双曲线的定义可知 所以周长为： 当点共线是，周长最小即解得 故离心率 故选D【点睛】本题主要考查了双曲线的定义和性质，熟悉性质和图像是解题的关键，属于基础题.11各项均为正数的等比数列的前项和，若，则的最小值为（ ）A4B6C8D12【答案】C【解析】由题意，根据等比中项得出 ，然后求得公比首项，再利用公式求得，通项带入用基本不等式求最值.【详解】因为，且等比数列各项均为正数，所以 公比首项 所以 ，通项 所以 当且紧当所以当时，的最小值为8故选C【点睛】本题考查了等比数列的通项、求和以及性质，最后还用到基本不等式，属于小综合题型，属于中档题，需要注意的是利用基本不等式要有三要素“一正、二定、三相等”.12中，中，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】C【解析】根据题意，建立直角坐标系，设点D的坐标，然后分析点D的位置，利用直线的夹角公式，求得点D的轨迹方程为圆的一部分，然后利用圆的相关知识求出最大最小值即可.【详解】由题，以点B为坐标原点，AB所在直线为x轴，BC所在直线为y轴建立直角坐标系；设点，因为，所以由题易知点D可能在直线AB的上方，也可能在AB的下方；当点D可能在直线AB的上方；直线BD的斜率；直线AD的斜率 由两直线的夹角公式可得： 化简整理的 可得点D的轨迹是以点为圆心，半径的圆，且点D在AB的上方，所以是圆在AB上方的劣弧部分；此时CD的最短距离为： 当当点D可能在直线AB的下方；同理可得点D的轨迹方程：此时点D的轨迹是以点为圆心，半径的圆，且点D在AB的下方，所以是圆在AB下方的劣弧部分；此时CD的最大距离为：所以CD的取值范围为【点睛】本题主要考察了直线与圆的综合知识，建系与直线的夹角公式是解题的关键，属于难题.二、填空题13已知满足约束条件：，则的最大值是_【答案】3【解析】根据约束条件，画出可行域，再求出与的交点，带入求出答案.【详解】满足约束条件：，可行域如图： 解得 由题，当目标函数过点A时取最大值，即 故答案为3【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，画出可行域是解题的关键，属于基础题.14甲、乙、丙三人中，只有一个会弹钢琴，甲说：“我会”，乙说：“我不会”，丙说：“甲不会”，如果这三句话，只有一句是真的，那么会弹钢琴的是_【答案】乙【解析】根据题意，假设结论，根据他们所说的话推出与题意矛盾的即为错误结论，从而得出答案.【详解】假设甲会，那么甲、乙说的都是真话，与题意矛盾，所以甲不会；假设乙会，那么甲、乙说的都是假话，丙说的是真话，符合题意，假设丙会，那么乙、丙说的都是真话，与题意矛盾；故答案是乙【点睛】本题主要考查了推理证明，属于基础题.15已知函数是定义域为的偶函数，且为奇函数，当时，则_【答案】【解析】先由题意，是定义域为的偶函数，且为奇函数，利用函数的奇偶性推出的周期，可得，然后带入求得结果.【详解】因为为奇函数，所以 又因为是定义域为的偶函数，所以 即 所以的周期 因为 所以故答案为【点睛】本题主要考查了函数的性质，函数性质的变形以及公式的熟记是解题的关键，属于中档题.16四面体中，底面，则四面体的外接球的表面积为_【答案】【解析】根据题意，证明出CD平面ABC，从而证明出CDAC，然后取AD的中点O，可得OC=OA=OB=OD，求出O为外接球的球心，然后求得表面积即可.【详解】由题意，可得BCCD，又因为底面，所以ABCD，即CD平面ABC，所以CDAC取AD的中点O，则OC=OA=OB=OD故点O为四面体外接球的球心，因为所以球半径 故外接球的表面积 故答案为【点睛】本题主要考查了三棱锥的外接球知识，找出球心的位置是解题的关键，属于中档题.三、解答题17设函数.（1）当时，求函数的值域；（2）中，角的对边分别为，且，求的面积.【答案】(1) (2) 【解析】（1）先将函数利用和差角、降幂公式、辅助角公式进行化简得，再根据x的取值，求得值域；（2）根据第一问求得角A，再根据正弦定理求得角B，然后再求得角C的正弦值和边b，利用面积公式求得面积.【详解】（） ， 函数的值域为 （），即 由正弦定理， ， ， 【点睛】本题主要考查了三角函数综合和解三角形，解题的关键是在于三角恒等变化公式的利用（和差角、降幂、辅助角公式的合理利用）以及正弦定理的变化应用，属于较为基础题.18世界卫生组织的最新研究报告显示，目前中国近视患者人数多达6亿，高中生和大学生的近视率均已超过七成，为了研究每周累计户外暴露时间（单位：小时）与近视发病率的关系，对某中学一年级200名学生进行不记名问卷调查，得到如下数据：每周累积户外暴露时间（单位：小时）不少于28小时近视人数21393721不近视人数3375253（1）在每周累计户外暴露时间不少于28小时的4名学生中，随机抽取2名，求其中恰有一名学生不近视的概率；（2）若每周累计户外暴露时间少于14个小时被认证为“不足够的户外暴露时间”，根据以上数据完成如下列联表，并根据（2）中的列联表判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为不足够的户外暴露时间与近视有关系？近视不近视足够的户外暴露时间不足够的户外暴露时间附:P0.0500.0100.0013.8416.63510.828【答案】(1) (2)见解析【解析】(1)根据题意，时间不少于28小时的4名学生中，近视1名，不近视3名，所以恰好一名近视：，4名学生抽2名共有：，然后求得其概率.(2)先根据表格得出在户外的时间与近视的人数分别是多少，完成联表，然后根据公式求得的观测值，得出结果.【详解】（）设“随机抽取2名，其中恰有一名学生不近视”为事件，则故随机抽取2名，中恰有一名学生不近视的概率为. （）根据以上数据得到列联表：近视不近视足够的户外暴露时间4060不足够的户外暴露时间60