湖南省湘东六校2019届高三12月联考（数学理）含答案

- 1 - 湖南省湘东六校湖南省湘东六校 2018 年下期高三联考年下期高三联考 理科数学试题理科数学试题 总分:150 时量：120 分钟 考试时间：2018 年 12 月 8 日 第第 I 卷卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分分. .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的）要求的） 1.若复数 iZiZ2,3 21 ，则 21 ZZ 在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.若集合，则 01|xxA0)1 (log| 2 xxBBA A. B. C. D. 11|xx11|xx011|xx 3.函数的图象大致为 xx ee xx y sin A B C D 4.已知向量 )2 , 1 (AB ， )21(，AC ，则 ABC 的面积为 A.5 3 B.4 C.2 3 D.2 5.已知函数，则下列说法不正确的是 A.的图象关于直线对称 B.的周期为 )(xf 2 x )(xf 2 C.是的一个对称中心 D.在区间上单调递减 ) 0 , ()(xf)(xf 2 , 4 6.在中，的对边分别为，其中，且，则其最小角的余 ABCCBA、cba、acb 2 BCsin2sin 弦值为 A. B. C. D. 4 2 4 2 8 25 4 3 - 2 - 7.执行如图所示的程序框图，为使输出的数据为 63， 则判断框中应填入的条件为 A. B. 4i 5i C. D. 6i 7i 8.过抛物线的焦点 F 的直线交抛物线于两点， 2 4yx,A B 且，则直线的斜率为 BFAF 2 1 AB A. B. 2 22 3 C.或 D. 或 （第 7 题图） 2 22 22 32 3 9.右图为一个正四面体的侧面展开图，G 为 BF 的中点，则 在原正四面体中，直线 EG 与直线 BC 所成角的余弦值为 A. B. 3 3 3 6 C. D. （第 9 题图） 6 3 6 33 10.如图，在平面直角坐标系中，为正十边形 xOy O 的中心，在轴正半轴上，任取不同的 10321 AAAA 1 A x 两点、（其中，且）， i A j A 10,1jiNjNi, 点 P 满足，则点 P 落在第二象限 02 ji OAOAOP 的概率是 A. B. 45 7 45 8 C. D. （第 10 题图） 5 1 9 2 11.己知函数，若关于的方程恰有 3 个不同的实数解，则实数 x e x xf 2 )( x 01)()( 2 mxmfxf 的取值范围是 m A. B. C. D. )2 , 0( )2 , 1 1 ( e 1 , 4 1 2 e ) 1 , 4 1 ( 2 e 结束 开始 否 是 输出S S i i i i= =i i+ +1 1 S S =S S + +2 2 S S =1,i=1 G G F FE ED D C C B BA A - 3 - 12.已知双曲线的两顶点分别为，为双曲线的一个焦点，为虚轴的一个 )0, 0(1 2 2 2 2 ba b y a x 21, A A FB 端点,若在线段上（不含端点）存在两点，使得，则双曲线的渐近线 BF21,P P 221211 APAAPA 2 斜率的平方的取值范围是 k A. B. C. D. ) 2 15 , 1 ( ) 2 13 , 1 ( ) 2 15 , 0( ) 2 13 , 2 3 ( 第第 IIII 卷卷 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分）分） 13.已知曲线，则曲线在(0,)处的切线与坐标轴围成的图形面积为 . 2 xexf x )()(0f 14.若变量 x，y 满足，且的最小值为，则实数的值为 . 310 3110 2 xy xy y yaxz 1a 15.在平面直角坐标系中，点在单位圆上，设，且 xOy),( 00 yxP OxOP ) 4 3 , 4 ( 若，则的值为 13 12 ) 4 cos( 0 x 16. 如图，四棱锥中，矩形的 ABCDP1APABCD 周长为 8，当三棱锥的体积最大时，该三棱锥 PCDA- 的外接球半径与内切球半径分别为R和r，则 r R 1 的值为 . （第 16 题图） 三、解答题（本大题共解答题（本大题共 7 7 小题共小题共 7070 分，其中第分，其中第 2222，2323 题为选做题，解答应写出必要的文字说明、证明过程题为选做题，解答应写出必要的文字说明、证明过程 或演算步骤）或演算步骤） （一）必做题：共（一）必做题：共 6060 分分. . 17.（本小题 12 分）已知数列的前项和满足 )2( 1 1 NnnSS nn ， ，且。 n a nn S 1 1 a （）求数列的通项公式； n a （）记，为的前项和，求使成立的的最小值. 1 1 nn n aa b n T n b nn Tn 2 n 图 3 P P D D C CB B A A - 4 - 18.（本小题 12 分）如图，为多面体，平面与平面垂直，点在线段上， ABEDFCABEDACFDOAD ，都是正三角形。 1,2,OAOD OABOACODEODF （）证明：直线面； BCOEF （）在线段上是否存在一点，使得二面角 DFM 的余弦值是，若不存在请说明 DOEM13 133 理由，若存在请求出点所在的位置。 M （第 18 题图） 19.（本小题 12 分）某市教育部门为研究高中学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该市某校 200 名高中学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间进行调查，数据如下表：(平均每天锻炼的时间单位：分 钟) 将学生日均课外体育运动时间在40，60)上的学生评价为“课外体育达标”. ()请根据上述表格中的统计数据填写下面 2×2 列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超 过 0.01 的前提下认为“课外体育达标”与性别有关？ （）从上述课外体育不达标的学生中，按性别用分层抽样的方法抽取 10 名学生，再从这 10 名学生中 随机抽取 3 人了解他们锻炼时间偏少的原因，记所抽取的 3 人中男生的人数为随机变量为，求的分 XX 布列和数学期望。 ()将上述调查所得到的频率视为概率来估计全市的情况，现在从该市所有高中学生中，抽取 4 名学生， 求其中恰好有 2 名学生是课外体育达标的概率。 平均每天锻炼的 时间(分钟) 0，10)10，20)20，30) 30，40 ) 40，50 ) 50，60 总人数 203644504010 课外体育不达标课外体育达标合计 男 女 20110 合计 O O F F E E D D C C B B A A - 5 - 参考公式：，其中 )()()( )( 2 2 dbcadcba bcadn K dcban 参考数据： 来源:学优高考网 20.（本小题 12 分）已知椭圆C： 1 2 2 2 2 b y a x )0( ba 的离心率 2 1 e ，点 ) 0 , (bA ，点 分别为 FB、 椭圆的上顶点和左焦点，且. 62| BABF （）求椭圆C的方程； （）若过定点的直线 与椭圆交于两点（在之间）设直线 的斜率， )2 , 0(M lC HG, G HM, l0k 在轴上是否存在点，使得以为邻边的平行四边形为菱形？如果存在，求出的取值范 x ) 0 , (mPPHPG, m 围？如果不存在，请说明理由 21.（本小题 12 分）已知函数. xax a xxf) 1( 2 ln)( 2 ()当时，求在区间的最大值； 0a )(xf 1 , 0( ()若函数有两个极值点,求证：. xxfxg)()()( 2121 xxxx、 a a xgxgln 2 )()( 21 )( 0 2 kKP0.10来源:学优 高考网 0.050.0250.0100.0050.001 0 k 2.7063.8415.0246.6357.87910.828 - 6 - （二）选做题（请考生在第（二）选做题（请考生在第 2222、2323 题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第一题计分）题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第一题计分） 22.（本小题 10 分）在直角坐标系中，直线 的参数方程为( 为参数)在以坐标原点为极 xOy l ty tx 2 7 t 点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线：. xC ) 4 sin(24 ()求直线 的普通方程和曲线的直角坐标方程； lC ()设曲线与直线 的交点为是曲线上的动点，求面积的最大值 Cl QBA, C ABQ 23.（本小题 10 分）已知函数. Raaxxxf|,2| 1| ()当时，解不等式； 3a 2xf ()当时，恒成立，求的取值范围. ) 1 ,(x0)(xf a - 7 - 湖南省湘东六校 2018 年下期高三联考 理科数学答案 一、选择题一、选择题 AABDC CBCCB DA 二、填空题二、填空题 13. 14.2 15. 16. 2 1 26 27 3 2 52 第 15 题：【解析】点在单位圆上，且， ),( 00 yxP OxOP0 cosx 0 siny 又，且，则， ) 4 3 , 4 ( 13 12 ) 4 cos( 13 5 ) 4 sin( . 26 27 4 sin) 4 sin( 4 cos) 4 cos( 4 ) 4 cos(cos 0 x 三 解答题解答题 17.解：（）由已知有，数列为等差数列，且， 1 1 nn SS n S1 11 aS ，即，3 分 nSn 2 nSn 当时， 2n 12) 1( 22 1 nnnSSa nnn 又也满足上式，；6 分 1 1 a12 nan （）由（1）知， ) 12 1 12 1 ( 2 1 ) 12)(12( 1 nnnn bn ，9 分 12 ) 12 1 1 ( 2 1 ) 12 1 12 1 5 1 3 1 3 1 1 ( 2 1 n n nnn Tn 由有，有，所以， n Tn 2 24 2 nn 6)2(