江西省红色七校2019届高三第二次联考数学（理）试题含答案解析

江西省红色七校2019届高三第二次联考数学（理）试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合，则真子集的个数（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求出A,得则真子集个数可求.【详解】由题则0<2-x<4,得-2<x<2,即A=(-2,2), 则真子集的个数为故选：B【点睛】本题考查了集合的交集的运算以及真子集个数的求法；如果一个集合元素有n个，那么它的真子集的个数是2n1个2.若复数在复平面内对应的点在第三象限,其中，为虚数单位，则实数取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简，再由实部与虚部均小于0列不等式组求解【详解】 在复平面内对应的点在第三象限，解得a0故选：B【点睛】本题考查复数代数形式的乘法运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题3.已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出【详解】,故故选：C【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，熟记指对函数的单调性与底的关系是关键，属于基础题4.下图为国家统计局发布的2018年上半年全国居民消费价格指数（CPI）数据折线图，（注：同比是今年第n个月与去年第n个月之比，环比是现在的统计周期和上一个统计周期之比）下列说法错误的是（ ）A. 2018年6月CPI环比下降0.1%，同比上涨1.9%B. 2018年3月CPI环比下降1.1%，同比上涨2.1%C. 2018年2月CPI环比上涨0.6%，同比上涨1.4%D. 2018年6月CPI同比涨幅比上月略微扩大0.1个百分点【答案】C【解析】【分析】对照表中数据逐项检验即可.【详解】观察表中数据知A,B,D正确，对选项C，2018年2月CPI环比上涨2.9%，同比上涨1.2%，故C错误故选：C【点睛】本题考查折线图，准确识图读图理解题意是关键，是基础题.5.的展开式中，常数项为( )A. 15B. 16C. 15D. 16【答案】B【解析】【分析】把按照二项式定理展开，可得的展开式中的常数项【详解】（）（1），故它的展开式中的常数项是1+15=16故选：B【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，项的系数的性质，熟记公式是关键，属于基础题6.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】将三视图还原为直观图，结合三视图中的数据即可求解【详解】将三视图还原成如图所示的几何体：一个长方体（长宽高分别为6,2,4），截去两个相同的小长方体（长宽高分别为2,1,3）和半个圆柱（圆柱半径为1，高为4），则该几何体的体积为 故选：A【点睛】本题考查三视图，长方体及圆柱体积，准确还原图形是关键，是中档题.7.函数的部分图像如图所示，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意求出A，T，利用周期公式求出，利用当x时取得最大值2，求出，即可求解.【详解】由题意可知A2，T，T=2，当x时取得最大值2，所以 22sin（+），所以，故选：D【点睛】本题考查由yAsin（x+）的部分图象确定其解析式，注意函数的周期的求法，考查计算能力,是基础题.8.有一程序框图如图所示，要求运行后输出的值为大于1000的最小数值，则在空白的判断框内可以填入的是A. i6B. i7C. i8D. i9【答案】B【解析】【分析】运行流程图，结合选项确定空白的判断框内可以填入的的内容即可.【详解】程序运行过程如下：首先初始化数据：，此时的值不大于，应执行：，；此时的值不大于，应执行：，；此时的值不大于，应执行：，；此时的值不大于，应执行：，；此时的值不大于，应执行：，；此时的值不大于，应执行：，；此时的值大于，应跳出循环，即时程序不跳出循环，时程序跳出循环，结合选项可知空白的判断框内可以填入的是.本题选择B选项.【点睛】本题主要考查流程图的运行过程，补全流程图的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9.已知点是双曲线的右焦点，直线与双曲C交于两点，且，则该双曲线的离心率为 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设右焦点F（c，0），将直线y2b代入双曲线方程求得A,B的坐标，运用两直线垂直的条件：数量积为0，计算即可得到所求值【详解】设右焦点F（c，0），将直线方程y2b代入双曲线方程可得x±，可得A（，2b），B（a，2b），由90°， 即有（c，2b）（c，2b）0，化简为5a2+c2+4b20，可得5c29a2，e=故选：A【点睛】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用两直线垂直的条件：数量积为0，考查化简整理的运算能力，属于中档题10.杨辉三角，又称帕斯卡三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列.在我国南宋数学家杨辉所著的详解九章算法（1261年）一书中用如图所示的三角形解释二项式乘方展开式的系数规律.现把杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列：1,1,1,1,2,1,1,3,3,1,1,4,6,4,1.记作数列，若数列的前项和为，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】数列an中前78项在杨辉三角的从第一排到第12排，每排的和为二项式系数和, an中最后两项是第13排的1和12全部相加可得结果.【详解】杨辉三角中前12行共有1+2+3+4+1278个数，其和为：20+21+22+21121214095；第13行共有2个位数，它们是1，12，其和为13，故4095+134108，故选：B【点睛】本题考查合情推理，二项式系数和，数列求和，每一排的和转化为二项式系数和是关键，属中档题11.如图，单位正方体的对角面上存在一动点，过点作垂直于平面的直线，与正方体表面相交于两点.则的面积最大值为 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【详解】连接，则当M,N在正方体侧面上（非棱上）运动时，分别过M，N作M面，N面,则MN=,此时面积小于的面积，故当MN在面上时，面积最大，当M,设则MN=BM=MN=为等腰三角形，底边MN上的高为,的面积为,当x=1时取等；同理当M, 设, 则MN=BM=MN=为等腰三角形，底边MN上的高为,的面积为,令f(x)=4x()0,故f(x)单调递增，当x=1 取最大值为故选：A【点睛】本题考查线面垂直性质,解三角形,明确MN在上底面的棱上运动是解题的关键，是中档题.12.已知若有最小值，则实数的取值范围是 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】分情况讨论a>1和a<1两种情况时，函数f(x)在每段解析式的单调性与最值情况，即可求解【详解】由题 当a>1时，当，单调递增，此时;当1<x<a, 单调递减；x>a,单调递增，故x>1时，f(x)的最小值为f(a)=1,故若有最小值，则a>1; 当0<a<1时，当，单调递减，此时 ；当x>1时,单调递增，此时, 故若有最小值，则2a,解得0<a,综上实数的取值范围是故选：C【点睛】本题考查函数的单调性应用，最值，明确分类讨论的标准，准确分析函数每一段的单调性与最值是关键，是中档题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13.已知向量满足,且,则向量与的夹角为_.【答案】【解析】【分析】由向量夹角公式求得向量夹角的余弦，结合向量夹角的范围，即可得解.【详解】由题cos, ,所以故答案为【点睛】本题考查向量夹角公式，准确计算是关键，是基础题.14.已知实数x，y满足，则的取值范围为_【答案】【解析】【分析】画出不等式组表示的可行域，表示（x,y）与（3,1）连线斜率即可求解【详解】由题不等式组表示的可行域如图阴影所示表示（x,y）与M（3,1）连线斜率,当连线过A, 斜率k最小,联立得A(-1,8)，此时k=当连线过B，斜率k最大，联立得B(-1,-1), 此时k=的取值范围为故答案为【点睛】本题考查线性规划问题，转化所求为斜率型是问题的关键，是基础题.15. 某外商计划在4个候选城市中投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有_种【答案】60【解析】试题分析：每个城市投资1个项目有种，有一个城市投资2个有种，投资方案共 种.考点：排列组合.16.在中，角所对的边分别是，若，且，则的周长取值范围为_。【答案】【解析】【分析】由余弦定理将化简为,利用基本不等式求得a+b的范围即可求解.【详解】由余弦定理得,整理得即a+b4当且仅当a=b=2取等，又a+b>c=2,所以a+b+c故答案为【点睛】本题考查基本不等式的应用，余弦定理，准确将原式化简是关键，注意三角形两边之和大于第三边，是中档题.三、解答题：共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.已知数列为等差数列，为的前项和，.数列为等比数列且.（1）求数列和的通项公式；（2）记，其前项和为，求证：.【答案】（1） ； （2）详见解析.【解析】【分析】（1）由题列关于的方程组即可求由得，进而求得（2）将变形为裂项相消求和得，由单调性即可证明.【详解】（1）设公差为，则由得,解得，所以.设的公比， 因为，由且，解得，所以。（2），易知随着的增大而增大，所以.【点睛】本题考查等差数列通项公式，等比数列性质，裂项求和，熟记等差等比通项及性质，准确求和是关键，是中档题18.如图，多面体为正三棱柱沿平面切除部分所得，为的中点，且.(1)若为中点,求证；(2)若二面角大小为，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）见解析； （2）.【解析】【分析】(1) 取中点N，连接MN，证明即可；(2)由（1）得是二面角的平面角，得，建立空间直角坐标系，由线面角的向量公式求解即可.【详解】（1）取中点N，连接MN，则MN为的中位线，, ，又MN=AD,， 。(2) 由可得二面角平面角，由二面角大小为可得，如图建立空间直角坐标系，则，, 设平面的法向量为，所以，所以直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题考查线面平行的判定，线面角的向量求法，熟记线面平行判定定理，准确计算是关键，是基础题.19.当前，以“立德树人”为目标的课程改革正在有序推进.高中联招对初三毕业学生进行体育测试，是激发学生、家长和学校积极开展体育活动，保证学生健康成长的有效措施.程度2019年初中毕业生升学体育考试规定，考生必