江苏省南京市六校联合体2019届高三上学期12月联考（数学）含答案

南京市六校联合体高三年级12月份联考试卷数 学 注意事项：1本试卷共4页，包括填空题（第1题第14题）、解答题（第15题第20题）两部分本试卷满分为160分，考试时间为120分钟2答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内考试结束后，交回答题纸参考公式：样本数据x1，x2，xn的方差s2 (xi)2，其中 xi；锥体的体积公式：VSh，其中S为锥体的底面积，h为锥体的高；圆锥的侧面积公式：，其中为底面半径，为母线长一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1已知集合，集合，则= 2双曲线的渐近线方程是 3复数满足，其中是虚数单位，则复数的模是 第6题图4. 若一组样本数据3，4，8，9，的平均数为6，则该组数据的方差s2 5从1，2，3，4这四个数中一次性随机地取出2个数，则所取2个数的乘积为奇数的概率是_6如图所示的流程图的运行结果是 7若圆锥底面半径为1，侧面积为,则该圆锥的体积是_ 8设直线是曲线的切线，则直线的斜率 的最小值是 9已知，则的值是 10已知函数f (x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，若f (a)4f (a)，则实数a的取值范围是 11中，为边AC中点，则的值为 12已知圆，直线与轴交于点，过上一点作圆的切线，切点为，若，则实数的取值范围是 13已知nN*,， ，其中表示这个数中最大的数数列的前n项和为，若 对任意的nN*恒成立，则实数的最大值是 14已知函数.若对任意的，存在，使得成立，则实数的取值范围是 _.二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内）15(本小题满分14分）在中，角所对的边分别为，且（1）求角； （2）若，求， 16(本小题满分14分）题16图ABCDPOE如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，PC底面ABCD， 点E为侧棱PB的中点求证：(1) PD平面ACE；(2) 平面PAC平面PBD 17. (本小题满分14分）已知椭圆：上一点与两焦点构成的三角形的周长为,离心率为. （1）求椭圆的方程；（2）设椭圆C的右顶点和上顶点分别为A、B，斜率为的直线l与椭圆C交于P、Q两点（点P在第一象限）.若四边形APBQ面积为，求直线l的方程. 18(本小题满分16分） 如图，某公园内有一个以O为圆心，半径为5百米，圆心角为的扇形人工湖OAB，OM、ON是分别由OA、OB延伸而成的两条观光道为便于游客观光，公园的主管部门准备在公园内增建三条观光道，其中一条与相切点F，且与OM、ON分别相交于C、D，另两条是分别和湖岸OA、OB垂直的FG、FH (垂足均不与O重合) (1) 求新增观光道FG、FH长度之和的最大值； (2) 在观光道ON段上距离O为15百米的E处的道路两侧各有一个大型娱乐场，为了不影响娱乐场平时的正常开放，要求新增观光道CD的延长线不能进入以E为圆心，2.5百米为半径的圆形E的区域内则点D应选择在O与E之间的什么位置？请说明理由ABMCDONGFHE19(本小题满分16分）已知数列an各项均不相同，a11，定义，其中n，kN*（1）若，求；（2）若bn1(k)2bn(k)对均成立，数列an的前n项和为Sn（i）求数列an的通项公式；（ii）若k，tN*，且S1，SkS1，StSk成等比数列，求k和t的值20(本小题满分16分）已知函数.(1)求的极大值；(2)当时，不等式恒成立，求的最小值；(3)是否存在实数，使得方程在上有唯一的根，若存在，求出所有的值，若不存在，说明理由.南京市六校联合体高三年级12月份联考试卷数学参考答案及评分标准 2018.12说明：1本解答给出的解法供参考如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数4只给整数分数，填空题不给中间分数一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，计70分.)1 2 3 4 5 6 7 8 4 9 10 11 12 或13 14 二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内）15【解析】（1）在中，由正弦定理，得 2分又因为在中所以 4分法一：因为，所以，因而所以，所以 6分 法二：即， 4分所以，因为，所以 6分（2）由正弦定理得，而，所以， 9分由余弦定理，得，即， 12分把代入得，. 14分题16图ABCDPOE16【解析】证明：(1) 连接OE 因为O为正方形ABCD的对角线的交点， 所以O为BD中点 2分 因为E为PB的中点，所以PDOE 4分 又因为OE面ACE，PB平面ACE， 所以PD平面ACE 6分 (2) 在四棱锥PABCD中， 因为PC底面ABCD，BD面ABCD， 所以BDPC 8分 因为O为正方形ABCD的对角线的交点， 所以BDAC 10分 又PC、AC平面PAC，PCACC， 所以BD平面PAC 12分 因为BD平面PBD， 所以平面PAC平面PBD 14分17. 【解析】（1）由题设得，又，解得,.2分故椭圆的方程为. 4分（2）设直线方程为：代入椭圆并整理得：，设，则. 6分 ， 8分到直线PQ的距离为，到直线PQ的距离为， 10分又因为在第一象限, 所以，所以，所以， 12分解得，所以直线方程为 14分18解： (1) 连结OF，OFCD于点F，则OF5设FOD，则FOC ()，故FH5sin，FG5sin()，2分 则FGFH5sin()5sin5(cossinsin)5(sincos)5sin() 4分 因为，所以，所以当，即时， (FGFH)max5 6分xyEABMCDOGFHN (2) 以O为坐标原点，以ON所在的直线为x轴， 建立如图所示的平面直角坐标系xOy由题意，可知直线CD是以O为圆心，5为半径的圆O的切线，直线CD与圆E相离，且点O在直线CD下方，点E在直线CD上方由OF5，圆E的半径为2.5，因为圆O的方程为x2y225， 圆E的方程为(x15)2y26.25，8分 设直线CD的方程为ykxt (k0，t0)， 即kxyt0，设点D(xD，0) 则 10分 由得t5， 12分 代入得，解得k2> 13分 又由k0，得0k23，故k23，即3 在ykxt中，令y0，解得xD，所以xD1015分答：(1) 新增观光道FG、FH长度之和的最大值是5百米； (2) 点D应选择在O与E之间，且到点O的距离在区间(，10)(单位：百米)内的任何一点处 16分 19.解：（1）因为，所以，所以. 4分（2）（i）因为bn1(k)2bn(k)，得 ， 令k1, ，k2， 6分由得，+得， 8分+得，又，所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，所以 10分（ii）由（i）可知Sn2n1因为S1，SkS1，StSk成等比数列，所以(SkS1)2S1(StSk)，即(2k2)22t2k， 12分所以