dsp理论、技术及其应用-离散信号与lti系统分析的基本方法

2-1 离散时间信号处理系统的基本分析方法,第2章 离散信号与LTI系统分析的基本方法,2-2 离散时间LTI系统频域分析Z变换,2-3 离散时间信号与系统的傅立叶分析,本章将介绍有关数字信号处理系统的基本分析理论，特别 是频域分析理论，这些基本理论是分析和设计数字信号处理 系统的核心理论与技术。,2-1 离散时间信号处理系统的基本分析方法,第2章2-1 离散时间信号处理系统的基本分析方法,2-1-1 离散时间LTI系统的响应与卷积和,2-1-2 离散时间LTI系统的性质,2-1-3 用差分方程描述的系统,讨论有关离散时间信号处理系统的基本特点。,离散时间信号处理系统分析的一般理论和方法， 重点仍然在考察系统的LTI特性。,第2章2-1 离散时间信号处理系统的基本分析方法,一、单位冲激响应,2-1-1 离散时间LTI系统的响应与卷积和,离散时间LTI系统(用f表示)的冲激响应h(t定义： 系统在输入为n时系统的响应，即 hn=fdn,1离散时间LTI系统的响应 输入信号xn可以表示为,hnk=fd n k,第2章2-1 离散时间信号处理系统的基本分析方法,一、单位冲激响应,2-1-1 离散时间LTI系统的响应与卷积和,2卷积,离散时间LTI系统完全可以用其冲激响应hn来表示。,输出是冲激响应hn与输入信号的卷积,第2章2-1 离散时间信号处理系统的基本分析方法,一、单位冲激响应,2-1-1 离散时间LTI系统的响应与卷积和,2卷积,1）交换性,离散卷积的性质,xn* hn = hn* xn,2）关联性,3）分配性,xn*h1n*h2n= xn*h1n*h2n,xn* h1n + h2n= xn* h1n+ xn*h2n,第2章2-1 离散时间信号处理系统的基本分析方法,一、单位冲激响应,2-1-1 离散时间LTI系统的响应与卷积和,3卷积和运算,离散时间卷积运算包括以下4个步骤： 1)将冲激响应hk的时间倒过来得h-k，然后平移n得到 hn-k = h-(k-n)，这是k的函数，其中n为参数。 2)保持n不变，xk与hn-k相乘。 3)对所有的k，求乘积xkhn-k的和，得到一个输出值 yn。 4)使n从-变化到，重复步骤13，得到整个输出yn。,第2章2-1 离散时间信号处理系统的基本分析方法,一、单位冲激响应,2-1-1 离散时间LTI系统的响应与卷积和,3卷积和运算,例2-1-1 设输入信号xn与系统单位冲激响hn应如图所示， 求系统的输出yn。,解：翻转hn，得,第2章2-1 离散时间信号处理系统的基本分析方法,一、单位冲激响应,2-1-1 离散时间LTI系统的响应与卷积和,3卷积和运算,例2-1-1 设输入信号xn与系统单位冲激响hn应如图所示， 求系统的输出yn。,解：翻转hn，得,n=0时， y0=1 n=1时， y1=1+a n=2时， y2=1+a+a2 n=3时， y3=1+a+a2+a3 n=4时， y4=1+a+a2+a3+a4 n=i时， yi=1+a+a2+a3+a4+ai,第2章2-1 离散时间信号处理系统的基本分析方法,二、单位阶跃响应,2-1-1 离散时间LTI系统的响应与卷积和,离散时间LTI系统(用f表示)的单位阶跃响应s(t)定义： 系统在输入为un时系统的响应，即,第2章2-1 离散时间信号处理系统的基本分析方法,一、有记忆和无记忆系统,2-1-2 离散时间LTI系统的性质,无记忆系统： 系统的输出yn仅取决于系统当前的输入xn， 如果系统同时又是LTI系统，则无记忆系统输入-输出的关系只能是 yn=Kxn,有记忆系统： 系统的输出yn不仅与系统当前的输入xn有关， 还与系统过去的输入个输出有关，,第2章2-1 离散时间信号处理系统的基本分析方法,二、系统的因果性,2-1-2 离散时间LTI系统的性质,因果系统,hn=0 n0,因果性离散时间LTI系统可以表示为,第2章2-1 离散时间信号处理系统的基本分析方法,二、系统的因果性,2-1-2 离散时间LTI系统的性质,因果序列,xn=0 n0,非因果序列,xn0 n0,因果性离散时间LTI系统的输入xn也是因果的,第2章2-1 离散时间信号处理系统的基本分析方法,三、离散时间LTI系统的稳定性判别,2-1-2 离散时间LTI系统的性质,如果一个离散时间LTI系统的单位冲激响应是绝对可求和的， 则该系统是BIBO稳定的(有限输入有限输出)，即,第2章2-1 离散时间信号处理系统的基本分析方法,一、线性常系数差分方程,2-1-3 用差分方程描述的系统,N阶常系数差分方程,系数ak和bk是实常数，阶次N指yn的最大延迟,第2章2-1 离散时间信号处理系统的基本分析方法,二、差分方程的迭代求解方法,2-1-3 用差分方程描述的系统,求解N阶常系数差分方程,就是要给出一个明确的输入和输出关系表达式,yn=fyn,根据n1步计算结果和第n步输入计算yn的方法，就叫做的叠代法。,第2章2-1 离散时间信号处理系统的基本分析方法,二、差分方程的迭代求解方法,2-1-3 用差分方程描述的系统,根据n1步计算结果和第n步输入计算yn的方法，就叫做的叠代法。,初始条件： 1)y0已知。 2)yn0和xn0已知。,如果系统是因果的，则叠代法完全可以满足上述条件。 如果系统是非因果的，就必须通过相应的措施满足上述条件。,第2章2-1 离散时间信号处理系统的基本分析方法,二、差分方程的迭代求解方法,2-1-3 用差分方程描述的系统,根据n1步计算结果和第n步输入计算yn的方法，就叫做的叠代法。,初始条件： 1)y0已知。 2)yn0和xn0已知。,无记忆系统：N=0,计算yn时不需要利用初始条件。,第2章2-1 离散时间信号处理系统的基本分析方法,三、单位冲激响应,2-1-3 用差分方程描述的系统,N=0,xn= dn，就可以得到离散时间LTI系统的单位冲激响应hn,第2章2-1 离散时间信号处理系统的基本分析方法,三、单位冲激响应,2-1-3 用差分方程描述的系统,N=0,xn= dn，就可以得到离散时间LTI系统的单位冲激响应hn,2-2 离散时间LTI系统的频域分析方法Z变换,第2章2-2 离散时间LTI系统频域分析Z变换,2-2-1 Z变换,2-2-3 Z变换的性质,2-2-4 Z反变换,2-2-2 常见序列的Z变换,2-2-5 离散时间LTI系统的系统函数,2-2-6 离散时间系统的实现方法,2-2-1 Z变换差分方程的频域代数求解方法,第2章2-2 离散时间LTI系统频域分析Z变换,1. Z变换,X(z) = Zxn,使z变换级数收敛的复变量z的值范围称为Z变换的收敛域。,2. 离散时间系统的系统函数,2-2-1 Z变换差分方程的频域代数求解方法,第2章2-2 离散时间LTI系统频域分析Z变换,例2-2-1求序列xn=anun的Z变换，其中a为实数。 解：,如果序列的Z变换存在，则X(z)必须收敛，即要求,如果|az-1| | a |,2-2-1 Z变换差分方程的频域代数求解方法,第2章2-2 离散时间LTI系统频域分析Z变换,例2-2-2求序列xn=anun1的Z变换及其收敛域， 其中a为实数。 解：对于单为阶跃信号，n10时为1，,2-2-1 Z变换差分方程的频域代数求解方法,第2章2-2 离散时间LTI系统频域分析Z变换,例2-2-2求序列xn=anun1的Z变换及其收敛域， 其中a为实数。 解：对于单为阶跃信号，n10时为1，,2-2-1 Z变换差分方程的频域代数求解方法,第2章2-2 离散时间LTI系统频域分析Z变换,设X(z)是z的有理函数，Z变换收敛域具有如下性质：,性质1 收敛域不包含任何极点。 性质2 如果xn是有界信号，且X(z)在某些z值点收敛， 则收敛域是除z = 0或z = 外的整个z平面。 性质3 如果xn是右边序列(即在 内， xn = 0），且X(z)在某些z值收敛，则收敛域为,或,其中rmax是X(z)极点的最大幅值。这说明收敛域在z平面上圆,之外(不包括z = 点)。,2-2-1 Z变换差分方程的频域代数求解方法,第2章2-2 离散时间LTI系统频域分析Z变换,设X(z)是z的有理函数，Z变换收敛域具有如下性质：,性质4 如果xn是左边信号(即在,内，xn = 0)，且X(z)在某些z值收敛，则收敛域为,或,其中rmin是X(z)极点的最小幅值。这说明收敛域在z平面 上圆,内部(不包括z = 0点)。,2-2-1 Z变换差分方程的频域代数求解方法,第2章2-2 离散时间LTI系统频域分析Z变换,设X(z)是z的有理函数，Z变换收敛域具有如下性质：,性质5 如果xn是双边信号，则收敛域为,其中r1和r2等于X(z)两个极点的幅值。说明收敛域是z平面上两圆周,和,之间的圆环，但不包含任何极点。,2-2-2 常见序列的Z变换,第2章2-2 离散时间LTI系统频域分析Z变换,一、单位冲激序列n,所有z,二、单位阶跃序列un,2-2-3 Z变换的性质,第2章2-2 离散时间LTI系统频域分析Z变换,1线性,如果,则,2-2-3 Z变换的性质,第2章2-2 离散时间LTI系统频域分析Z变换,2时间平移 如果,则,特别地,把z-1叫做单位延迟因子，z称为单位超前因子,2-2-3 Z变换的性质,第2章2-2 离散时间LTI系统频域分析Z变换,3乘,如果,则,时间序列乘以因子,极点就移到z = z0 zk处，这表明收敛域扩大或 缩减|z0|倍。,后，X(z)中z = zk处的,2-2-3 Z变换的性质,第2章2-2 离散时间LTI系统频域分析Z变换,如果,则,4时间翻转,时间翻转之后X(z)的极点(或零点)z = zk移到1/ zk处。,2-2-3 Z变换的性质,第2章2-2 离散时间LTI系统频域分析Z变换,如果,则,5乘n(或z域微分),6累加,如果,则,2-2-3 Z变换的性质,第2章2-2 离散时间LTI系统频域分析Z变换,如果,7卷积,则,卷积性质也叫做卷积定理,2-2-4 Z反变换,第2章2-2 离散时间LTI系统频域分析Z变换,从X(z)中恢复离散序列xn的过程叫做Z反变换,xn = Z-1X(z),一、变换对对比法,2-2-4 Z反变换,第2章2-2 离散时间LTI系统频域分析Z变换,二、幂级数展开,对有理z变换而言，幂级数展开可以用长除法计算。,2-2-4 Z反变换,第2章2-2 离散时间LTI系统频域分析Z变换,二、部分分式展开,设n m，,X(z)为z的有理函数时,2-2-4 Z反变换,第2章2-2 离散时间LTI系统频域分析Z变换,二、部分分式展开,对于m n,若