第01讲 2009年全国高中数学联赛一试二试试题及详细解析（解析版）

2009全国高中数学联赛一试试题参考答案一、填空（本大题共8题，每小题7分，共56分）1.若函数且，则 来源:学*科*网【答案】来源:学。科。网Z。X。X。K【解析】，故z学xx科k网2.已知直线和圆，点在直线上，为圆上两点，在中，过圆心，则点横坐标范围为 【答案】3.在坐标平面上有两个区域和，为，是随变化的区域，它由不等式所确定，的取值范围是，则和的公共面积是函数 【答案】【解析】由题意知 4.使不等式对一切正整数都成立的最小正整数的值为 【答案】【解析】设显然单调递减，则由的最大值，可得5.椭圆上任意两点，若，则乘积的最小值为 【答案】于是当时，达到最小值z学xx科k网6若方程仅有一个实根，那么的取值范围是 【答案】或【解析】当且仅当对由求根公式得， 或()当时，由得，所以，同为负根又由知，所以原方程有一个解()当时，原方程有一个解()当时，由得，所以，同为正根，且，不合题意，舍去综上可得或为所求7.一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和，最后一行仅有一个数，第一行是前个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是 （可以用指数表示）【答案】【解析】易知：()该数表共有100行；z学xx科k网()每一行构成一个等差数列，且公差依次为， 8.某车站每天，都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间是相互独立的，其规律为到站时刻概率一旅客到车站，则它候车时间的数学期望为 （精确到分）【答案】27【解析】旅客候车的分布列为候车时间（分）1030507090概率候车时间的数学期望为二、解答题（本大题共3个小题，共44分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）9.（本小题满分14分）设直线（其中，为整数）与椭圆交于不同两点，与双曲线交于不同两点，问是否存在直线，使得向量，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由【解析】由消去化简整理得设，则 z学xx科k网由消去化简整理得设，则10.（本小题满分15分）已知，是实数，方程有两个实根，数列满足，来源:学§科§网Z§X§X§K()求数列的通项公式（用，表示）；()若，求的前项和【解析】方法一：()由韦达定理知，又，所以，整理得令，则所以是公比为的等比数列数列的首项为：所以，即所以 整理得，z学xx科k网所以，数列成公比为的等比数列，其首项为所以于是数列的通项公式为()若，则，此时由第()步的结果得，数列的通项公式为，所以，的前项和为以上两式相减，整理得所以方法二：()由韦达定理知，又，所以，特征方程的两个根为，当时，通项由，得， 解得故 当时，通项由，得 ， 解得，故 z学xx科k网 ()同方法一11.（本小题满分15分）求函数的最大和最小值 12、（本题满分50分）如图，分别为锐角三角形（）的外接圆上弧、的中点过点作交圆于点，为的内心，连接并延长交圆于求证：；在弧（不含点）上任取一点（，），记，的内心分别为，求证：，四点共圆【解析】连，由于，共圆，故是等腰梯形因此，z学xx科k网因为，所以，同理由得来源:Zxxk.Com由所证，故又因，有故，从而因此，四点共圆z学xx科k网13、（本题满分50分）求证不等式：，2，令，则， 因此又因为从而 14、（本题满分50分）设，是给定的两个正整数证明：有无穷多个正整数，使得与互素【解析】证法一：对任意正整数，令我们证明设是的任一素因子，只要证明：p/ |z学xx科k网 即不整除上式，故p/ | 若，设使，但故由 ,及，且p+1/ |k!，知且/ |从而p/ |15、（本题满分50分）在非负数构成的数表 中每行的数互不相同，前6列中每列的三数之和为1，均大于如果的前三列构成的数表 满足下面的性质：对于数表中的任意一列（，2，9）均存在某个使得求证：（）最小值，2，3一定自数表的不同列（）存在数表中唯一的一列，2，3使得数表来源:学*科*网仍然具有性质（）由抽届原理知，中至少有两个值取在同一列不妨设，由前面的结论知数表的第一列一定含有某个，所以只能是同样，第二列中也必含某个，2不妨设于是，即是数表中的对角线上数字z学xx科k网 记，令集合显然且1，2因为，所以故于是存在使得显然，2，3下面证明数表 具有性质从上面的选法可知，这说明 ，又由满足性质在中取，推得，于是下 具有性质，不失一般性，我们假定 z学xx科k网 由于，及（），有又由（）知：或者，或者如果成立，由数表具有性质，则 ， ， 由数表满足性质，则对于至少存在一个使得由及和式知，于是只能有类似地，由满足性质及可推得从而12