高考专题突破二　高考中的三角函数与平面向量问题 讲义

1(2016·全国甲卷)若将函数y2sin 2x的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为()Ax(kZ) Bx(kZ)Cx(kZ) Dx(kZ)答案B解析由题意将函数y2sin 2x的图象向左平移个单位长度后得到函数的解析式为y2sin，由2xk(kZ)得函数的对称轴为x(kZ)，故选B.2在ABC中，AC·cos A3BC·cos B，且cos C，则A等于()A30° B45°C60° D120°答案B解析由题意及正弦定理得sin Bcos A3sin Acos B，tan B3tan A，0°A<90°，0°<B90°，又cos C，故sin C，tan C2，而ABC180°，tan(AB)tan C2，即2，将tan B3tan A代入，得2，tan A1或tan A，而0°A90°，则A45°，故选B.3在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则等于()A2 B4 C5 D10答案D解析将ABC的各边均赋予向量，则642610.4已知函数f(x)sin在0，上有两个零点，则实数m的取值范围为()A，2 B，2)C(，2 D，2答案B解析如图，画出ysin在0，上的图象，当直线y与其有两个交点时，所以m，2)5.若函数yAsin(x)(A>0，>0，|<)在一个周期内的图象如图所示，M，N分别是这段图象的最高点和最低点，且·0(O为坐标原点)，则A_.答案解析由题意知M(，A)，N(，A)，又·×A20，A.题型一三角函数的图象和性质例1已知函数f(x)sin(x)sin(x)2cos2，xR(其中>0)(1)求函数f(x)的值域；(2)若函数yf(x)的图象与直线y1的两个相邻交点间的距离均为，求函数yf(x)的单调增区间解(1)f(x)sin xcos xsin xcos x(cos x1)2(sin xcos x)12sin(x)1.由1sin(x)1，得32sin(x)11，所以函数f(x)的值域为3,1(2)由题设条件及三角函数图象和性质可知，yf(x)的周期为，所以，即2.所以f(x)2sin(2x)1，再由2k2x2k(kZ)，解得kxk(kZ)所以函数yf(x)的单调增区间为k，k(kZ)思维升华三角函数的图象与性质是高考考查的重点，通常先将三角函数化为yAsin(x)k的形式，然后将tx视为一个整体，结合ysin t的图象求解已知函数f(x)5sin xcos x5cos2x(其中xR)，求：(1)函数f(x)的最小正周期；(2)函数f(x)的单调区间；(3)函数f(x)图象的对称轴和对称中心解(1)因为f(x)sin 2x(1cos 2x)5(sin 2xcos 2x)5sin(2x)，所以函数的周期T.(2)由2k2x2k(kZ)，得kxk (kZ)，所以函数f(x)的单调增区间为k，k(kZ)由2k2x2k(kZ)，得kxk(kZ)，所以函数f(x)的单调减区间为k，k(kZ)(3)由2xk(kZ)，得x(kZ)，所以函数f(x)的对称轴方程为x(kZ)由2xk(kZ)，得x(kZ)，所以函数f(x)的对称中心为(，0)(kZ)题型二解三角形例2(2016·江苏)在ABC中，AC6，cos B，C.(1)求AB的长；(2)求cos的值解(1)由cos B，0<B<，则sin B，又C，AC6，由正弦定理，得，即AB5.(2)由(1)得：sin B，cos B，sin Ccos C，则sin Asin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C，cos Acos(BC)(cos Bcos Csin Bsin C)，则coscos Acossin Asin.思维升华根据三角形中的已知条件，选择正弦定理或余弦定理求解；在做有关角的范围问题时，要注意挖掘题目中隐含的条件，正确对结果进行取舍在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a3，cos A，BA.(1)求b的值；(2)求ABC的面积解(1)由题意知，sin A，又因为BA，所以sin Bsin(A)cos A.由正弦定理，得b3.(2)由BA得，cos Bcos(A)sin A.由ABC，得C(AB)所以sin Csin(AB)sin(AB)sin Acos Bcos Asin B×()×.因此ABC的面积Sabsin C×3×3×.题型三三角函数和平面向量的综合应用例3已知向量a，b(cos x，1)(1)当ab时，求cos2xsin 2x的值；(2)设函数f(x)2(ab)·b，已知在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a，b2，sin B，求f(x)4cos的取值范围解(1)因为ab，所以cos xsin x0，所以tan x.cos2xsin 2x.(2)f(x)2(ab)·b2(sin xcos x，)·(cos x，1)sin 2xcos 2xsin.由正弦定理，得sin A，所以A或A.因为ba，所以A.所以f(x)4cossin，因为x，所以2x，所以1f(x)4cos.所以f(x)4cos(2A)(x0，)的取值范围是.思维升华(1)向量是一种解决问题的工具，是一个载体，通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题(2)三角形中的三角函数要结合正弦定理、余弦定理进行转化，注意角的范围对变形过程的影响在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a>c.已知·2，cos B，b3，求：(1)a和c的值；(2)cos(BC)的值解(1)由·2，得c·acos B2.又cos B，所以ac6.由余弦定理，得a2c2b22accos B.又b3，所以a2c292×213.解得a2，c3或a3，c2.因为a>c，所以a3，c2.(2)在ABC中，sin B ，由正弦定理，得sin Csin B×.因为ab>c，所以C为锐角，因此cos C .于是cos(BC)cos Bcos Csin Bsin C××.1已知函数f(x)Asin(x)，xR，且f().(1)求A的值；(2)若f()f()，(0，)，求f()解(1)f()Asin()Asin A，A.(2)由(1)知f(x)sin(x)，故f()f()sin()sin()，(sin cos )(cos sin )，cos ，cos .又(0，)，sin ，f()sin()sin .2(2016·山东)设f(x)2sin(x)sin x(sin xcos x)2.(1)求f(x)的单调递增区间；(2)把yf(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移个单位，得到函数yg(x)的图象，求g的值解(1)f(x)2sin(x)sin x(sin xcos x)22sin2x(12sin xcos x)(1cos 2x)sin 2x1sin 2xcos 2x12sin1.由2k2x2k(kZ)，得kxk(kZ)所以f(x)的单调递增区间是(kZ).(2)由(1)知f(x)2sin1，把yf(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到y2sin1的图象再把得到的图象向左平移个单位，得到y2sin x1的图象，即g(x)2sin x1.所以g2sin 1.3已知ABC的面积为2，且满足0<·4，设和的夹角为.(1)求的取值范围；(2)求函数f()2sin2()cos 2的值域解(1)设在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则由已知bcsin 2,0<bccos 4，可得tan 1，又0，)(2)f()2sin2()cos 21cos(2)cos 2(1sin 2)cos 22sin(2)1，)，2，)22sin(2)13.函数f()的值域是2,34函数f(x)cos(x)的部分图象如图所示(1)求及图中x0的值；(2)设g(x)f(x)f，求函数g(x)在区间上的最大值和最小值解(1)由题图得f(0)，所以cos ，因为0，故.由于f(x)的最小正周期等于2，所以由题图可知1x02，故x0，由f(x0)得cos，所以x0，x0.(2)因为fcoscossin x，所以g(x)f(x)fcossin xcos xcos sin xsin sin xcos xsin xsin xcos xsin xsin.当x时，x.所以sin1，故当x，即x时，g(x)取得最大值；当x，即x时，g(x)取得最小值.5(2016·青岛诊断考试)已知向量a(ksin ，cos2)，b(cos ，k)，实数k为大于零的常数，函数f(x)a·b，xR，且函数f(x)的最大值为.(1)求k的值；(2)在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，若<A<，f(A)0，且a2，求·的最小值解(1)由题意，知f(x)a·b(ksin ，cos2)·(cos ，k)ksin cos kcos2ksin k·