2017春九年级数学下册1.2二次函数的图象及性质课件新版湘教版2017031833

第一章 二次函数,1.2 二次函数的图象与性质,学习目标,1.进一步熟悉作函数图象的方法与步骤，会画二次函数图象.,2.逐步提高从函数图象中获取信息的能力，探索并掌握二次函数的主要性质.,3.能够根据函数图象判断该函数的一些性质，如：根据二次函数图象判断其开口方向，对称轴以及其增减性等.,情景导入,正比例函数，反比例函数，一次函数的图象是怎么样的？,二次函数的图象是什么形状呢？通常怎样画一个函数的图象？,画函数图象的步骤（描点法）：列表、描点、连线.,思考1：观察右图，点A与点A，点B与点B，它们有什么关系？取更多的点试试，你能得出函数y=x2的图象关于y轴对称吗？,画二次函数y=x2的图象,1.列表,9,4,1,9,0,1,4,2.描点,A,A,B,B,y=x2,3.连线,思考2：观察右图，y轴右边描出的各点，当横坐标增大时，纵坐标有什么变化？y轴右边的所有点都具有纵坐标随着横坐标的增大而增大的特点吗？,可以证明y=x2的图象关于y轴对称；图象在y轴右边的部分，函数值随自变量取值的增大而增大，简称为“右升”.,观察发现 1,我们已经正确画出了y=x2的图象，因此，现在可以从图象（见图）看出 y=x2 的其他一些性质（除了上面已经知道的关于y轴对称和“右升”外）：,对称轴与图象的交点是_；,图象的开口向_；,图象在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的增大而_，简称为“左降”；,当 x =_时，函数值最_,O (0,0),上,减小,0,小,类似地，当a0时，y=ax2的图象也具有上述性质，于是我们在画y=ax2(a0)的图象时，可以先画出图象在y轴右边的部分，然后利用对称性，画出图象在y轴左边的部分，在画右边部分时，只要“列表、描点、连线”三个步骤就可以了（因为我们知道了图象的性质）,【例1】画二次函数 的图象,解：因为二次函数的图像关于y轴对称，因此列表时，自变量x应该从原点的横坐标0开始取值.,0,0.5,2,4.5,描点：在平面直角坐标系内，以x取的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，如右图.,连线： 根据上述分析，我们可以用一条光滑曲线把原点和y轴右边各点顺次连接起来；然后利用对称性，画出图象在y轴左边的部分（把y轴左边的对应点和原点用一条光滑曲线顺次连接起来），这样就得到了 的图象如右图.,A,A,B,B,1.抛物线y=6x2的顶点坐标是 ，对称轴是 ，在对称轴 侧，y随着x的增大而增大；在对称轴 侧，y随着x的增大而减小，当x= 时，函数y的值最小，最小值是 ，抛物线y=6x2在x轴的 方(除顶点外).,（0,0）,y轴,右,左,0,0,上,根据右图可以看出： 共同点：开口方向一致，均向上；对称轴都是直线x=0；顶点坐标都是（0,0）；当x0时，y都随着x增大而增大，当x0时，y都随着x增大而减小. 不同点：图象的开口大小不同，y=2x2图象开口较小.,2.在同一坐标系中画出二次函数y=2x2及 的图象并比较它们的共同点和不同点.,解：列表 描点：先描出对称轴左侧的点，再利用对称性描出对称轴右侧的点. 连线,y=2x2,我们已经会画 的图象，能不能从它得出函数 的图像呢？,P,Q,1.在 的图象上任取一点P（ ），它关于x轴的对称点Q的坐标是（ ）.,2.从点Q的坐标可以看出，点Q在 的图象上.所以 的图象与 的图象关于x轴对称.,3.把 的图象沿着x轴翻折并将图象“复制”出来，就可以得到 的图象.,观察发现 2,我们已经正确画出了 的图象，因此，现在可以从图象（见图）看出 的其他一些性质：,对称轴是 轴，对称轴与图象的交点是_；,图象的开口向_；,图象在对称轴右边的部分，函数值随自变量取值的增大而_，简称为“右降”；图象在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的增大而_，简称为“左升”；,当 x =_时，函数值最_,O (0,0),下,减小,0,大,y,增大,【例2】画二次函数y=x2和y=-x2的图象,描点法,列表,描点,连线,注意：列表时自变量 取值要均匀和对称.,推论,3.抛物线y=-6x2的顶点坐标是 ，对称轴是 ，在对称轴 侧，y随着x的增大而增大；在对称轴 侧，y随着x的增大而减小， 当x= 时，函数y的值最大，最小值是 ，抛物线y=-6x2在x轴的 方(除顶点外).,（0,0）,y轴,左,右,0,0,下,4.在同一坐标系中画出二次函数y=-2x2及 的图象并比较它们的共同点和不同点.,解：列表 描点 连线,y=-2x2,根据右图可以看出： 共同点：开口方向一致，均向上；对称轴都是直线x=0；顶点坐标都是（0,0）；当x0时，y都随着x增大而减小，当x0时，y都随着x增大而增大. 不同点：图象的开口大小不同，y=2x2图象开口较小. 根据练习2、4可以看出丨a丨大的，开口较小.,联系实际,以铅球在空中经过 的路线的最高点为原点建立直 角坐标系，x轴的正方向水平向右，y 轴的正方向竖直向上，则可以看出铅球在 空中经过的路程是形如y=ax2（a0）的图象的一段.由此受到启发，我们把二次函数y=ax2的图象这样的曲线叫做抛物线，简称抛物线y=ax2.,意大利著名科学家伽利略将炮弹发射 经过的路线命名为“抛物线”.,把二次函数 的图象E向右平移1个单位，得到图形F，如下图所示： 抛物线F是哪个函数的图象呢？,E,F,由于平移不改变图形的形状和大小，因此在向左平移1个单位后：,记b=a+1，则a=b-1，从而点Q的坐标为 这表明：点Q在函数 的图象上.由此得出，抛物线F是函数 的图象. 函数 的图象是抛物线F，它的开口向上，顶点是 O'（1,0），对称轴是过点O'（1,0）且平行于y轴的直线l'.直线l'是由横坐标为1的所有点组合成的，我们把直线l'记作直线x=1.,观察发现 3,二次函数y=a(x-h)2的图象是抛物线，它的对称轴是直线 ，它的顶点坐标是 .当a0时，抛物线的开口向 ；当a0时，抛物线的开口向 .,x=h,(h,0),上,下,【例3】画函数y=(x-2)2的图象,解：抛物线y=(x-2)2的对称轴是直线x=2， 顶点坐标是(2,0). 列表：自变量x从顶点的横坐标2开始取值.,描点和连线： 先描对称轴右半部分的点，利用对称性描左半部分的点，用平滑的曲线进行连线，即可得到y=(x-2)2的图象.,5.说出下列二次函数的图象的对称轴、顶点坐标和开口方向.,6.画二次函数 y= -(x-1)2的图象.,如何画二次函数 的图象？,我们先来探究 与 之间的关系.,从表中可以看出：对于每一个给定的x值，函数 的值都要比 的值大3，由此可见函数 的图象可由函数 的图象平移三个单位得到.,二次函数 的图象也是抛物线，它的对称轴为直线x=1（与抛物线 的对称轴一样），顶点坐标为（1,3）（它是由抛物线 的顶点（1,0）向上平移3个单位得到的），它的开口向上.,观察发现 4,一般地，二次函数y=a(x-h)2+k的图象是抛物线.,画y=a(x-h)2+k图象的步骤：,1.写出对称轴和顶点坐标，并在平面直角坐标系内画出对称轴，描出顶点； 2.列表（自变量x从顶点的横坐标开始取值），描点和连线，画出图象在对称轴右边的部分； 3.利用对称性，画出图象在对称轴左边的部分（只要先把对称轴左边的对称点描出来，然后用光滑的曲线顺次连接它们和顶点）.,【例4】画二次函数 的图象,解：对称轴是x= -1，顶点坐标为（-1，-3）.,列表：自变量x从顶点的横坐标-1开始取值.,描点和连线：,利用对称性画出图象在对称轴左边的部分.,画出图象在对称轴右边的部分.,【例5】已知某抛物线的顶点坐标为（-2,1）且与y轴相交于点（0,4）求这个抛物线所表示二次函数的表达式.,解：由于点(-2,1)是该抛物线的顶点，可设这个抛物线所表示的二次函数表达式为y=a(x+2)2+1. 由函数图象过点(0,4)，可得 4=a(0+2)2+1， 解得 因此，所求的二次函数表达式为,y=ax2,y=a(x-h)2,y=ax2+k,y=a(x-h)2+k,上加下减,向上（k0）、下（k0）平移|k|个单位,上加下减,向上（k0）、下（k0）平移|k|个单位,左加右减,左加右减,平移|h|个单位 向右(h 0)、左（h 0）,平移|h|个单位 向右(h 0)、左（h 0）,总结归纳,7.说出下列二次函数的图象的对称轴、顶点坐标和开口方向.,8.怎样由y=2x2的图象得到y=-2(x-2)2+3的图象.,答：先将y=2x2的图象关于x轴对称得到 y=-2x2的图象.再将y=-2x2的图象向右平移两个单位得到y=-2(x-2)2的图象.再将y=-2(x-2)2的图象向上平移三个单位即可得到y=-2(x-2)2+3的图象.,答：先将y=2x2的图象向右平移两个单位得到y=2(x-2)2的图象.再将y=2(x-2)2的图象向上平移三个单位得到y=2(x-2)2+3的图象.再将y=2(x-2)2+3的图象关于x轴对称即可得到y=-2(x-2)2+3的图象.,同学们还有其他方法吗？,9.已知抛物线的顶点坐标为（-3,2），且经过点（-1,0），求这个抛物线所表示的二次函数表达式.,解：由于点（-3,2）是该抛物线的顶点，可设这个抛物线所表示的二次函数的表达式为y=a(x+3)2+2. 由函数图象过点（-1,0），可得 0=a(-1+3)2+2， 解得 a= 因此，所求二次函数表达式为,思路,如何画二次函数y=-2x2+6x-1的图象？,我们已经会画y=a(x-h)2+k的图象了，因此只需把-2x2+6x-1配方成-2(x-h)2+k的形式就可以了.,配方：y,对称轴是直线 ， 顶点坐标是 .,列表：自变量x从顶 点的横坐标 开始取值.,描点和连线：画出图象在对称轴右边的部分.,利用对称性，画出图象在对称轴左边的部分.,当x等于多少时，函数 y= -2x2+6x-1的值最大？这个值是多少？,当x等于顶点的横坐标 时，函数值最大，这个最大值等于顶点的横坐标 .,观察发现 5,一般地，二次函数y=ax2+bx+c，当x等于顶点的横坐标时，达到最大值(a0)或最小值(a0)，这个最大（小）值等于顶点的纵坐标.,【例6】求二次函数 的最大值.,解：配方：y 顶点坐标是（2,1），于是当x=2时，y达到最大值为1.,总结归纳,一般地，对于二次函数y=ax2+bx+c进行配方：,顶点坐标是：,当 时，函数达到最大值（a0）或最小值（a0）： .,二次函数系数a,b,c与图象的关系,1.a的作用：决定开口