专题31 点直线与圆的位置关系

点直线与圆的位置关系一、选择题1. （2016·湖北鄂州） 如图所示，AB是O的直径，AM、BN是O的两条切线，D、C分别在AM、BN上，DC切O于点E，连接OD、OC、BE、AE，BE与OC相交于点P，AE与OD相交于点Q，已知AD=4，BC=9. 以下结论：O的半径为 ODBE PB= tanCEP=其中正确的结论有（ ）A. 1个 B. 2个 C.3个 D. 4个【考点】直线与圆的位置关系（直线与圆的相交，直线与圆的相切），平行线的判定，矩形的判定和性质，直角三角形的性质及判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，三角函数等.【分析】连接OE，则OEDC，易证明四边形ABCD是梯形，则其中位线长等于（4+9）=，而梯形ABCD的中位线平行于两底，显而易见，中位线的长（斜边）大于直角边（或运用垂线段最短判定），故可判断错误；另外的方法是直接计算出O的半径的长（做选择题时，不宜）；先证明AODEOD，得出AOD=EOD=AOE，再运用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半证明AOD=ABE，从而得出ODBE，故正确；由知OB=6，根据勾股定理示出OC，再证明OPBOBC，则=，可得出PB的长.易知CEPECP，所以CPPE，故tanCEP=错误.【解答】解法一：易知四边形ABCD是梯形，则其中位线长等于（4+9）=，OE为O的半径，且OEDC，而梯形ABCD的中位线平行于两底，显而易见，中位线的长（斜边）大于直角边的长（或运用垂线段最短判定），故可判断错误；解法二：过点D作DFBC于点F，AM，BN分别切O于点A，B，ABAD，ABBC，四边形ABFD是矩形，AD=BF，AB=DF，又AD=4，BC=9，FC=94=5，AM，BN，DC分别切O于点A，B，E，DA=DE，CB=CE，DC=AD+BC=4+9=13，在RTDFC中，DC2=DF2+FC2，DF=12，AB=12，O的半径R是6故错误；连接OE，AM、DE是O的切线，DA=DE，OAD=OED=90°，又OD=OD，在AOD和EOD中，DA=DEOD=ODAODEOD，AOD=EOD=AOE，ABE=AOE，AOD=ABE，ODBE.故正确；根据勾股定理，OC=3；由知OB=6，易知OPBOBC，则=，PB=.故正确；易知CEPECP，所以CPPE，故tanCEP=错误.综上，正确的答案为：B【点评】在解决切线的问题中，一般先连接切点和圆心，再证明垂直；同时熟记切线垂直于经过切点的半径. 在做判断题时，不需要计算出结果时，一定要灵活运用多种方法，以节约时间.2(2016安徽，10，4分)如图，RtABC中，ABBC，AB=6，BC=4，P是ABC内部的一个动点，且满足PAB=PBC，则线段CP长的最小值为（）AB2CD【考点】点与圆的位置关系；圆周角定理【分析】首先证明点P在以AB为直径的O上，连接OC与O交于点P，此时PC最小，利用勾股定理求出OC即可解决问题【解答】解：ABC=90°，ABP+PBC=90°，PAB=PBC，BAP+ABP=90°，APB=90°，点P在以AB为直径的O上，连接OC交O于点P，此时PC最小，在RTBCO中，OBC=90°，BC=4，OB=3，OC=5，PC=OC=OP=53=2PC最小值为2故选B3. （2016,湖北宜昌，13，3分）在公园的O处附近有E、F、G、H四棵树，位置如图所示（图中小正方形的边长均相等）现计划修建一座以O为圆心，OA为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则E、F、G、H四棵树中需要被移除的为（）AE、F、G BF、G、H CG、H、E DH、E、F【考点】点与圆的位置关系【专题】应用题【分析】根据网格中两点间的距离分别求出，OE，OF，OG，OH然后和OA比较大小最后得到哪些树需要移除【解答】解：OA=，OE=2OA，所以点E在O内，OF=2OA，所以点E在O内，OG=1OA，所以点E在O内，OH=2OA，所以点E在O外，故选A【点评】此题是点与圆的位置关系，主要考查了网格中计算两点间的距离，比较线段长短的方法，计算距离是解本题的关键点到圆心的距离小于半径，点在圆内，点到圆心的距离大于半径，点在圆外，点到圆心的距离大于半径，点在圆内4. （2016年浙江省衢州市）如图，AB是O的直径，C是O上的点，过点C作O的切线交AB的延长线于点E，若A=30°，则sinE的值为（）ABCD【考点】切线的性质【分析】首先连接OC，由CE是O切线，可证得OCCE，又由圆周角定理，求得BOC的度数，继而求得E的度数，然后由特殊角的三角函数值，求得答案【解答】解：连接OC，CE是O切线，OCCE，A=30°，BOC=2A=60°，E=90°BOC=30°，sinE=sin30°=故选A5. （2016年浙江省台州市）如图，在ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切，点P，Q分别是边BC和半圆上的动点，连接PQ，则PQ长的最大值与最小值的和是（）A6B2+1C9D【考点】切线的性质【分析】如图，设O与AC相切于点E，连接OE，作OP1BC垂足为P1交O于Q1，此时垂线段OP1最短，P1Q1最小值为OP1OQ1，求出OP1，如图当Q2在AB边上时，P2与B重合时，P2Q2最大值=5+3=8，由此不难解决问题【解答】解：如图，设O与AC相切于点E，连接OE，作OP1BC垂足为P1交O于Q1，此时垂线段OP1最短，P1Q1最小值为OP1OQ1，AB=10，AC=8，BC=6，AB2=AC2+BC2，C=90°，OP1B=90°，OP1ACAO=OB，P1C=P1B，OP1=AC=4，P1Q1最小值为OP1OQ1=1，如图，当Q2在AB边上时，P2与B重合时，P2Q2最大值=5+3=8，PQ长的最大值与最小值的和是9故选C6（2016·山西）如图，在ABCD中，AB为的直径，与DC相切于点E，与AD相交于点F，已知AB=12，则的长为（ C ）A B C D 考点：切线的性质，求弧长分析：如图连接OF，OE 由切线可知，故由平行可知 由OF=OA，且，所以所以OFA为等 边三角形， 从而可以得出所对的圆心角然后根据弧长公式即可求出解答： r=12÷2=6 = 故选C7（2016·上海）如图，在RtABC中，C=90°，AC=4，BC=7，点D在边BC上，CD=3，A的半径长为3，D与A相交，且点B在D外，那么D的半径长r的取值范围是（）A1r4 B2r4 C1r8 D2r8【考点】圆与圆的位置关系；点与圆的位置关系【分析】连接AD，根据勾股定理得到AD=5，根据圆与圆的位置关系得到r53=2，由点B在D外，于是得到r4，即可得到结论【解答】解：连接AD，AC=4，CD=3，C=90°，AD=5，A的半径长为3，D与A相交，r53=2，BC=7，BD=4，点B在D外，r4，D的半径长r的取值范围是2r4，故选B【点评】本题考查了圆与圆的位置关系，点与圆的位置关系，设点到圆心的距离为d，则当d=r时，点在圆上；当dr时，点在圆外；当dr时，点在圆内8（2016·江苏连云港）如图，在网格中（每个小正方形的边长均为1个单位）选取9个格点（格线的交点称为格点）如果以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，则r的取值范围为（）A2rBr3Cr5D5r【分析】如图求出AD、AB、AE、AF即可解决问题【解答】解：如图，AD=2，AE=AF=，AB=3，ABAEAD，r3时，以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，故选B【点评】本题考查点由圆的位置关系、勾股定理等知识，解题的关键是正确画出图形，理解题意，属于中考常考题型9（2016·江苏无锡）如图，AB是O的直径，AC切O于A，BC交O于点D，若C=70°，则AOD的度数为（）A70°B35°C20°D40°【考点】切线的性质；圆周角定理【分析】先依据切线的性质求得CAB的度数，然后依据直角三角形两锐角互余的性质得到CBA的度数，然后由圆周角定理可求得AOD的度数【解答】解：AC是圆O的切线，AB是圆O的直径，ABACCAB=90°又C=70°，CBA=20°DOA=40°故选：D二、填空题1. （2016·四川成都·5分）如图，ABC内接于O，AHBC于点H，若AC=24，AH=18，O的半径OC=13，则AB=【考点】三角形的外接圆与外心【分析】首先作直径AE，连接CE，易证得ABHAEC，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得O半径【解答】解：作直径AE，连接CE，ACE=90°，AHBC，AHB=90°，ACE=ADB，B=E，ABHAEC，=，AB=，AC=24，AH=18，AE=2OC=26，AB=，故答案为：2. （2016·四川凉山州·5分）如图，四边形ABCD中，BAD=DC=90°，AB=AD=，CD=，点P是四边形ABCD四条边上的一个动点，若P到BD的距离为，则满足条件的点P有2个【考点】点到直线的距离【分析】首先作出AB、AD边上的点P（点A）到BD的垂线段AE，即点P到BD的最长距离，作出BC、CD的点P（点C）到BD的垂线段CF，即点P到BD的最长距离，由已知计算出AE、CF的长为，比较得出答案【解答】解：过点A作AEBD于E，过点C作CFBD于F，BAD=ADC=90°，AB=AD=，CD=2，ABD=ADB=45°，CDF=90°ADB=45°，sinABD=，AE=ABsinABD=3sin45°=3，CF=2，所以在AB和AD边上有符合P到B