平面的法向量与平面的向量表示 原理推导及练习题

3.2.2 平面的法向量与 平面的向量表示,已知平面，如果向量 的基线与平面垂直，则向量 叫做平面的法向量或说向量 与平面正交。,由平面法向量的定义可知，平面的一个法向量垂直于与平面共面的所有向量。 由于同时垂直于同一平面的两条直线平行，可以推知，一个平面的所有法向量互相平行。 由平面法向量的性质，很容易通过向量运算证明直线与平面垂直的判定定理。,直线与平面垂直的判定定理,如果一条直线和平面的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。,已知: a、b是平面内的两条相交直线，且直线na，nb， 求证：n.,由直线与平面垂直的判定定理，就可以推知，在平面AM1M2内的任一点M都满足条件式， 又知满足条件的所有点M都在平面AM1M2内。 这就说明，我们可以用式表述通过空间内一点并且与一个向量垂直的平面。式通常称为一个平面的向量表示式。,例1.设 分别是平面,的法向量,根据下列条件,判断,的位置关系.,垂直,平行,相交,例2、设平面的法向量为(1, 2, 2),平面的法向量为(2, 4, k), 若/，则k= ； 若, 则 k= 。,4,5,1、已知l/，且l的方向向量为(2, m, 1)，平面的法向量为(1, , 2), 则m= .,8,2、已知l，且l的方向向量为(2, 1, m),平面的法向量为(1, , 2), 则m= .,4,练 习,例3已知点A(a，0，0)，B(0，b，0)，C(0，0，c)，其中abc0，如图，求平面ABC的一个法向量。,=(bc，ac，ab),例4已知：AB，AC分别是平面的垂线和斜线，BC是AC在内的射影，l 且lBC，求证：lAC.,三垂线定理,三垂线定理: 如果在平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，则它和这条斜线垂直。 类似地可以证明 三垂线定理的逆定理： 如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它和这条斜线在平面内的射影垂直。,1已知平面内有一个点M(1, 1, 2)，平面的一个法向量是 (6,3, 6)，则下列点P中在平面内的是( ) AP(2, 3, 3) BP(2, 0, 1) CP(4, 4, 0) DP(3,3, 4),A,2正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为( ) A75° B60° C45° D30°,C,3正四棱锥SABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SOOD，则直线BC与平面PAC所成的角是_,30°,D,7在正方体ABCDA1B1C1D1中, E, F分别是BB1, CD中点，求证：D1F平面ADE.,8如图，在底面是菱形的四棱锥PAB CD中, ABC=60°,PA=AC=a, PB=PD= a, 点E在PD上, 且PE:ED= 2: 1. 在棱PC上是否存在一点F, 使BF平面AEC ? 证明你的结论。,