专题1.3 函数和方程

2019年高考数学二轮复习创新课堂1：（2018新课标）函数f（x）=的图象大致为（）ABCD答案：B;解：函数f（x）=f（x），则函数f（x）为奇函数，图象关于原点对称，排除A，当x=1时，f（1）=e0，排除D当x+时，f（x）+，排除C，故选：B2：（2018新课标）已知函数f（x）=，g（x）=f（x）+x+a若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是（）A1，0）B0，+）C1，+）D1，+）答案：C例1（2018浙江）函数y=2|x|sin2x的图象可能是（）ABCD【分析】直接利用函数的图象和性质求出结果解：根据函数的解析式y=2|x|sin2x，得到：函数的图象为奇函数，故排除A和B当x=时，函数的值也为0，故排除C故选：D1（2018新课标）函数y=x4+x2+2的图象大致为（）ABCD答案：D2修订为（2018红谷滩二模）函数y=的图象大致是（）ABCD答案：D；解：函数y=是偶函数，排除B当x=10时，y=1000，对应点在x轴上方，排除A，当x0时，y=x3lgx，y=3x2lgx+x2lge，可知x=是函数的一个极值点，排除C故选：D例2（2018天津）已知a0，函数f（x）=若关于x的方程f（x）=ax恰有2个互异的实数解，则a的取值范围是【分析】分别讨论当x0和x0时，利用参数分离法进行求解即可解：当x0时，由f（x）=ax得x2+2ax+a=ax，得x2+ax+a=0，得a（x+1）=x2，得a=，得a（x2）=x2，当x=2时，方程不成立，当x2时，a=设h（x）=，则h（x）=，由h（x）0得x4，此时递增，由h（x）0得0x2或2x4，此时递减，即当x=4时，h（x）取得极小值为h（4）=8，要使f（x）=ax恰有2个互异的实数解，则由图象知4a8，故答案为：（4，8）1：（2018聊城模拟）已知函数f（x）=exax有两个零点x1x2，则下列说法错误的是（）Aae Bx1+x22Cx1x21D有极小值点x0，且x1+x22x0答案：C；解：f（x）=exax，f（x）=exa，令f（x）=exa0，x1+x2=ln（a2x1x2）=2lna+ln（x1x2）2+ln（x1x2），取a=，f（2）=e22a=0，x2=2，f（0）=10，0x11，x1+x22，B正确；f（0）=10，0x11，x1x21不一定，C不正确；f（x）在（，lna）单调递减，在（lna，+）单调递增，有极小值点x0=lna，由图象观察可得x1+x22x0=2lna，D正确故选：C例3（2018新课标）已知函数f（x）=exax2（1）若a=1，证明：当x0时，f（x）1；（2）若f（x）在（0，+）只有一个零点，求a【分析】（1）通过两次求导，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可证明，（2）方法一、分离参数可得a=在（0，+）只有一个根，即函数y=a与G（x）=的图象在（0，+）只有一个交点结合图象即可求得a方法二、：当a0时，f（x）=exax20，f（x）在（0，+）没有零点当a0时，设函数h（x）=1ax2exf（x）在（0，+）只有一个零点h（x）在（0，+）只有一个零点利用 h（x）=x（x2）ex，可得h（x）在（0，2）递减，在（2，+）递增，结合函数h（x）图象即可求得a解：（2）方法一、，f（x）在（0，+）只有一个零点方程exax2=0在（0，+）只有一个根，a=在（0，+）只有一个根，即函数y=a与G（x）=的图象在（0，+）只有一个交点G，当x（0，2）时，G（x）0，当（2，+）时，G（x）0，G（x）在（0，2）递减，在（2，+）递增，当0时，G（x）+，当+时，G（x）+，f（x）在（0，+）只有一个零点时，a=G（2）=方法二：当a0时，f（x）=exax20，f（x）在（0，+）没有零点当a0时，设函数h（x）=1ax2exf（x）在（0，+）只有一个零点h（x）在（0，+）只有一个零点 h（x）=x（x2）ex，当x（0，2）时，h（x）0，当x（2，+）时，h（x）0，h（x）在（0，2）递减，在（2，+）递增，（x0）当h（2）0时，即a，由于h（0）=1，且当x0时，exx2，可得h（4a）=1=10h（x）在（0，+）有2个零点当h（2）0时，即，h（x）在（0，+）没有零点，当h（2）=0时，即a=，h（x）在（0，+）只有一个零点，综上，f（x）在（0，+）只有一个零点时，a=1：2018淄博二模）函数f（x）=x2cosx在的图象大致是（）ABCD答案：B故选：B2（2018浙江）已知R，函数f（x）=，当=2时，不等式f（x）0的解集是若函数f（x）恰有2个零点，则的取值范围是答案：x|1x4；（1，3（4， +）3（2018安顺三模）设函数（1）当m=1时，求函数f（x）零点的个数；（2）当m=1时，证明解析：（1）解：当m=1时，f（x）=lnx，f（x）=，由f（x）=0，得x=（舍），或x=1当x（0，1）时，f（x）0，当x（1，+）时，f（x）0，则f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减，则f（x）的极大值为f（1）=0函数f（x）零点的个数为1；h（x）在（1，+）上的最小值为h（2）=1而当x1时，ln（x1）+（x1）则当m=1时，函数与方程测试题1. （2018郴州三模）已知R上的奇函数f（x）满足：当x0时，f（x）=log2（1x），则f（f（1）=（）A1B2C1D2答案：C；解：设x0，x0，f（x）为R上的奇函数，且x0时，f（x）=log2（1x），则：f（x）=log2（1+x）=f（x）；f（x）=log2（1+x）；f（1）=1；f（f（1）=f（1）=log22=1故选：C2. （2018通州区三模）设f（x）为定义在R上的偶函数，且f（x）在0，+）上为增函数，则f（2），f（），f（3）的大小顺序是（）Af（）f（2）f（3）Bf（2）f（3）f（）Cf（）f（3）f（2）Df（3）f（2）f（）答案：B；3. （2018河南一模）已知函数y=f（x），满足y=f（x）和y=f（x+2）是偶函数，且f（1）=，设F（x）=f（x）+f（x），则F（3）=（）ABCD答案：B；解：由题意得：f（x）=f（x），f（x+2）=f（x+2）=f（x2），故f（x）=f（x+4），则F（3）=f（3）+f（3）=2f（3）=2f（1）=2f（1）=，故选：B4. 【2018全国三卷7】函数的图像大致为答案：D5（2018合肥二模）已知函数是奇函数，则f（a）的值等于（）AB3C或3D或3答案：C;解：f（x）是奇函数；整理得：（2a22）2x=0；2a22=0；a=±1；a=1时，；a=1时，故选：C5. （2018濮阳二模）若是奇函数，则f（g（2）的值为（）ABC1D1答案：C；解：是奇函数，x0时，g（x）=+3，g（2）=+3=1，f（g（2）=f（1）=g（1）=+3=1故选：C6. （2018长沙一模）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且当x0时，f（x）=x2x，则不等式f（x+2）6 的解集是（）Ax|5x1Bx|4x0Cx|1x5Dx|0x4答案：A;7. （2018南昌二模）已知函数f（x）=，设g（x）=kf（x）+x2+x（k为常数），若g（10）=2018，则g（10）等于（）A1998B2038C1818D2218答案：A;解：函数f（x）=，设g（x）=kf（x）+x2+x（k为常数），g（10）=2018，g（10）=kf（10）+100+10=k（2101）+110=2018，k（2101）=1908，g（10）=kf（10）+10010=k（2101）+90=1908+90=1998故选：A8. （2018赤峰模拟）已知b0，a0且a1，则“（a1）（b1）0”是“logab0”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案：C；解：b0，a0且a1，则“（a1）（b1）0”或，logab0，b0，a0且a1，则“（a1）（b1）0”是“logab0”的充要条件故选：C9. .(2018湖南、江西十四校第二次联考)已知函数f(x)=(ex-e-x)x2,若实数m满足f(log3m)-f2f(1),则实数m的取值范围为()A.(0,3B.C.(0,9D.(3,+)答案：A解析：由题意得函数的定义域为R,f(-x)=(e-x-ex)(-x)2=-f(x),函数f(x)为奇函数.又当x0时,f'(x)=(ex+e-x)x2+(ex-e-x)·2x0,函数f(x)在0,+)上单调递增,则在R上奇函数f(x)为增函数,f(log3m)- =f(log3m)-f(-log3m)=2f(log3m)2f(1),即f(log3m)f(1),log3m1,解得0<m3,故选A.10. .(2018全国·3)函数f(x)= 的图象大致为()答案：B解析：f(-x)= =-f(x),f(x)为奇函数,排除A,令x=10,则f(10)=>1,排除C、D,故选B.11. (2017全国·8)函数y=的部分图象大致为()答案：C12. .(2018山东烟台一模)已知函数y=f(x)对任意的x(0,)满足f'(x)sin x>f(x)cos x(其中f'(x)为函数f(x)的导函数),则下列不等式成立的是()A.f4<2f6B.f4>2f6C.f6>2f4D.f6<2f4答案：B解析：令F(x)=f(x)sinx,x(0,),则F'(x)=f'(x)sinx-f(x)cosxsin2x,f'(x)s