专题3.3 空间角的求解
考情速递1真题感悟真题回放1（2018新课标）在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为（）ABCD【答案】：C【解析】：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCDA1B1C1D1棱长为2，则A（2，0，0），E（0，2，1），D（0，0，0），C（0，2，0），=（2，2，1），=（0，2，0），设异面直线AE与CD所成角为，则cos=，sin=，tan=异面直线AE与CD所成角的正切值为故选：C2热点题型题型一：异面直线所成角例1（2018新课标）在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为（）ABCD【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AD1与DB1所成角的余弦值【答案】：C题型二：求直线与平面所成的 角例2（2018新课标）如图，在三棱锥PABC中，AB=BC=2，PA=PB=PC=AC=4，O为AC的中点（1）证明：PO平面ABC；（2）若点M在棱BC上，且二面角MPAC为30°，求PC与平面PAM所成角的正弦值【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明POAC，POOB即可；（2）根据二面角的大小求出平面PAM的法向量，利用向量法即可得到结论=（2，2，0），设=（2，2，0），01则=（2，2，0）（2，2，0）=（22，2+2，0），则平面PAC的法向量为=（1，0，0），设平面MPA的法向量为=（x，y，z），则=（0，2，2），则=2y2z=0，=（22）x+（2+2）y=0，令z=1，则y=，x=，即=（，1），二面角MPAC为30°，cos30°=|=，即=，解得=或=3（舍），则平面MPA的法向量=（2，1），=（0，2，2），PC与平面PAM所成角的正弦值sin=|cos，|=|=题型三.求二面角例3（2018新课标）如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C，D的点（1）证明：平面AMD平面BMC；（2）当三棱锥MABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值【分析】（1）根据面面垂直的判定定理证明MC平面ADM即可（2）根据三棱锥的体积最大，确定M的位置，建立空间直角坐标系，求出点的坐标，利用向量法进行求解即可（2）ABC的面积为定值，要使三棱锥MABC体积最大，则三棱锥的高最大，此时M为圆弧的中点，建立以O为坐标原点，如图所示的空间直角坐标系如图正方形ABCD的边长为2，A（2，1，0），B（2，1，0），M（0，0，1），则平面MCD的法向量=（1，0，0），设平面MAB的法向量为=（x，y，z）则=（0，2，0），=（2，1，1），由=2y=0，=2x+y+z=0，令x=1，则y=0，z=2，即=（1，0，2），则cos，=，则面MAB与面MCD所成二面角的正弦值sin=变式训练4（2018北京）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，CC1平面ABC，D，E，F，G分别为AA1，AC，A1C1，BB1的中点，AB=BC=，AC=AA1=2（）求证：AC平面BEF；（）求二面角BCDC1的余弦值；（）证明：直线FG与平面BCD相交（II）解：以E为原点，以EB，EC，EF为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示：则B（2，0，0），C（0，1，0），D（0，1，1），=（2，1，0），=（0，2，1），（III）证明：F（0，0，2），（2，0，1），=（2，0，1），=2+04=20，与不垂直，FG与平面BCD不平行，又FG平面BCD，FG与平面BCD相交3新题预测1.在三棱锥PABC中，ABC和PBC均为等边三角形，且二面角PBCA的大小为120°，则异面直线PB和AC所成角的余弦值为（）ABCD【答案】：A2.在斜三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1平面AB1C1，且AB1C1为等边三角形，B1C1=2AA1=2，则直线AB与平面B1C1CB所成角的正切值为（）ABCD【答案】：D【解析】：取B1C1的中点D，连结AD、BD，AA1平面AB1C1，AA1BB1，BB1平面AB1C1，BB1AD，又AB1C1是等边三角形，B1C1AD，又B1C1BB1=B1，AD平面B1C1CB，ABD是AB与平面B1C1CB所成角，AB1C1为等边三角形，B1C1=2AA1=2，AD=，BD=，tan故直线AB与平面B1C1CB所成角的正切值为故选：D专项训练题1.（2018东莞市模拟）如图，圆锥的底面直径AB=2，高，D为底面圆周上的一点，AOD=120°，则空间中两条直线AD与BC所成的角为（）A30°B60°C75°D90°【答案】：B设空间中两条直线AD与BC所成的角为，cos=，=60°，空间中两条直线AD与BC所成的角为60°故选：B2.（2018城中区校级模拟）我国古代九章算术里，记载了一个例子：今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺，问积几何？该问题中的羡除是如图所示的五面体ABCDEF，其三个侧面皆为等腰梯形，两个底面为直角三角形，其中AB=6尺，CD=10尺，EF=8尺，AB，CD间的距离为3尺，CD，EF间的距离为7尺，则异面直线DF与AB所成的角的正弦值为（）ABCD【答案】：B【解析】：如图，五面体EFABCD中，四边形ABEF，ABCD，EFCD均为等腰梯形，EFABCD，ADE，BCF均为直角三角形，ADDE，BCCF，CD=10，AD=，DE=CF=5，=，解得sinDCF=，cosDCF=，DF=，ABCD，CDF是异面直线DF与AB所成的角，cosCDF=，cosCDF=，异面直线DF与AB所成的角的正弦值为故选：B3.（2018台州一模）如图，在直角梯形ABCD中，ABCD，ABC=90°，AB=1，AC=CD=DA=2，动点M在边DC上（不同于D点），P为边AB上任意一点，沿AM将ADM翻折成AD'M，当平面AD'M垂直于平面ABC时，线段PD'长度的最小值为【答案】：；4. （2018烟台一模）如图，梯形ABCD中，AD=BC，ABCD，ACBD，平面BDEF平面ABCD，EFBD，BEBD（1）求证：平面AFC平面BDFE；（2）若AB=2CD=2，BE=EF=2，求BF与平面DFC所成角的正弦值以O为原点，向量的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则B（0，2，0），D（0，1，0），F（0，0，2），C（1，0，0），=（0，1，2），=（1，1，0），=（0，2，2），设平面DFC的一个法向量为=（x，y，z），则有，即，不妨设z=1，得x=y=2即=（2，2，1），于是cos，=设BF与平面DFC所成角为，则sin=|cos，|=BF与平面DFC所成角的正弦值为13
