专题3.3 空间角的求解
13页1、考情速递1真题感悟真题回放1(2018新课标)在正方体ABCDA1B1C1D1中,E为棱CC1的中点,则异面直线AE与CD所成角的正切值为()ABCD【答案】:C【解析】:以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴,建立空间直角坐标系,设正方体ABCDA1B1C1D1棱长为2,则A(2,0,0),E(0,2,1),D(0,0,0),C(0,2,0),=(2,2,1),=(0,2,0),设异面直线AE与CD所成角为,则cos=,sin=,tan=异面直线AE与CD所成角的正切值为故选:C2热点题型题型一:异面直线所成角例1(2018新课标)在长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=,则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为()ABCD【分析】以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出异面直线AD1与DB1所成角的余弦值【答案】:C题型二:求直线与平面所成的 角例2(2018新课标)如图,在三棱锥PABC中,AB=BC=2,PA=PB=PC=AC=4,O为AC的中点(1)证明:PO平面ABC;(2)若点M在棱BC上,且二面
2、角MPAC为30,求PC与平面PAM所成角的正弦值【分析】(1)利用线面垂直的判定定理证明POAC,POOB即可;(2)根据二面角的大小求出平面PAM的法向量,利用向量法即可得到结论=(2,2,0),设=(2,2,0),01则=(2,2,0)(2,2,0)=(22,2+2,0),则平面PAC的法向量为=(1,0,0),设平面MPA的法向量为=(x,y,z),则=(0,2,2),则=2y2z=0,=(22)x+(2+2)y=0,令z=1,则y=,x=,即=(,1),二面角MPAC为30,cos30=|=,即=,解得=或=3(舍),则平面MPA的法向量=(2,1),=(0,2,2),PC与平面PAM所成角的正弦值sin=|cos,|=|=题型三.求二面角例3(2018新课标)如图,边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧所在平面垂直,M是上异于C,D的点(1)证明:平面AMD平面BMC;(2)当三棱锥MABC体积最大时,求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值【分析】(1)根据面面垂直的判定定理证明MC平面ADM即可(2)根据三棱锥的体积最大,确定M的位置,建立空间直角坐标系,求出点的坐标
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