立体几何的垂直证明方法小技巧-吴福炬主讲

立体几何垂直证明方法技巧平行证明问题授课教师：吴福炬 类型一：线线垂直证明（共面垂直、异面垂直）（1） 共面垂直：掌握几种模型 等腰（等边）三角形中的中线 菱形（正方形）的对角线互相垂直 勾股定理中的三角形 直角梯形利用相似或全等证明直角。例：在正方体中，O为底面ABCD的中心，E为中点,求证：(1) (2) （2） 异面垂直（利用线面垂直来证明）例1 在正四面体ABCD中，求证：变式1 如图，在四棱锥中，底面是矩形，已知证明：；变式2 如图，在边长为的正方形中，点是的中点，点是的中点，将AED,DCF分别沿折起，使两点重合于.求证:；变式3如图，在三棱锥中，是等边三角形，PAC=PBC=90 º证明：ABPC类型二：直线与平面垂直证明 方法利用线面垂直的判断定理 例：在正方体中，,求证：变式1：如图：直三棱柱ABCA1B1C1中， AC=BC=AA1=2，ACB=90°.E为BB1的中点，D点在AB上且DE=.求证：CD平面A1ABB1；变式2：如图，在四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，求证：平面BCD；变式3 如图，在底面为直角梯形的四棱锥中，平面，求证：平面利用面面垂直的性质定理例3：在三棱锥P-ABC中，,，。变式1, 在四棱锥，底面ABCD是正方形，侧面PAB是等腰三角形，且,求证：ABCDEF类型3：面面垂直的证明。(本质上是证明线面垂直)例:如图，已知平面，平面，为等边三角形，为的中点.(1) 求证：平面；(2) 求证：平面平面；例2 如图，在四棱锥中，底面，是的中点（1）证明； （2）证明平面；变式1已知直四棱柱ABCDABCD的底面是菱形，E、F分别是棱CC与BB上的点，且EC=BC=2FB=2（1）求证：平面AEF平面AACC；类型三：平面与平面垂直证明 1. AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，M是圆周上任意一点，ANPM，点N为垂足，求证：平面PAM平面PBM2如图，在空间四边形ABCD中，AB=BC，CD=DA，E，F，分别为，和对角线的中点。求证：平面平面.3.在直平行六面体AC1中，四边形ABCD是菱形，DAB60°，ACBDO，ABAA1.(1)求证：C1O平面AB1D1；(2)求证：平面AB1D1平面ACC1A1.4. 如下图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，ADCD，ABCD，ABAD2，CD4，M为CE的中点(1)求证：BM平面ADEF；(2)求证：平面BDE平面BEC.