立体几何的垂直证明方法小技巧-吴福炬主讲
12页1、 立体几何垂直证明方法技巧平行证明问题授课教师:吴福炬 类型一:线线垂直证明(共面垂直、异面垂直)(1) 共面垂直:掌握几种模型 等腰(等边)三角形中的中线 菱形(正方形)的对角线互相垂直 勾股定理中的三角形 直角梯形利用相似或全等证明直角。例:在正方体中,O为底面ABCD的中心,E为中点,求证:(1) (2) (2) 异面垂直(利用线面垂直来证明)例1 在正四面体ABCD中,求证:变式1 如图,在四棱锥中,底面是矩形,已知证明:;变式2 如图,在边长为的正方形中,点是的中点,点是的中点,将AED,DCF分别沿折起,使两点重合于.求证:;变式3如图,在三棱锥中,是等边三角形,PAC=PBC=90 证明:ABPC类型二:直线与平面垂直证明 方法利用线面垂直的判断定理 例:在正方体中,,求证:变式1:如图:直三棱柱ABCA1B1C1中, AC=BC=AA1=2,ACB=90.E为BB1的中点,D点在AB上且DE=.求证:CD平面A1ABB1;变式2:如图,在四面体ABCD中,O、E分别是BD、BC的中点,求证:平面BCD;变式3 如图,在底面为直角梯形的四棱锥中,平面,求证:平面利用面面垂
2、直的性质定理例3:在三棱锥P-ABC中,,,。变式1, 在四棱锥,底面ABCD是正方形,侧面PAB是等腰三角形,且,求证:ABCDEF类型3:面面垂直的证明。(本质上是证明线面垂直)例:如图,已知平面,平面,为等边三角形,为的中点.(1) 求证:平面;(2) 求证:平面平面;例2 如图,在四棱锥中,底面,是的中点(1)证明; (2)证明平面;变式1已知直四棱柱ABCDABCD的底面是菱形,E、F分别是棱CC与BB上的点,且EC=BC=2FB=2(1)求证:平面AEF平面AACC;类型三:平面与平面垂直证明 1. AB是圆O的直径,PA垂直于圆O所在的平面,M是圆周上任意一点,ANPM,点N为垂足,求证:平面PAM平面PBM2如图,在空间四边形ABCD中,AB=BC,CD=DA,E,F,分别为,和对角线的中点。求证:平面平面.3.在直平行六面体AC1中,四边形ABCD是菱形,DAB60,ACBDO,ABAA1.(1)求证:C1O平面AB1D1;(2)求证:平面AB1D1平面ACC1A1.4. 如下图,正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直,ADCD,ABCD,ABAD2,CD4,M为CE的中点(1)求证:BM平面ADEF;(2)求证:平面BDE平面BEC.
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