湖北省荆州中学等“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”2019届高三上学期期末考试数学（理）试题（附解析）

“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟” 2019届高三2月联考数学（理）试题一、选择题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知全集,集合,则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：由全集及，求出补集，找出集合的补集与集合的交集即可.详解： ，集合，又，故选B.点睛：研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性. 研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质是求满足属于集合或不属于集合的元素的集合.2.欧拉公式(是自然对数的底,是虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的.它将三角函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里占有非常重要的地位，当时,就有.根据上述背景知识试判断表示的复数在复平面对应的点位于（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】C【解析】【分析】根据欧拉公式可得，通过化简可得到它在复平面对应的点，从而可选出答案。【详解】由题意，则表示的复数在复平面对应的点为，位于第三象限。故答案为C.【点睛】本题考查了复平面知识，考查了三角函数的化简，考查了转化思想，属于基础题。3.向量在正方形网格中的位置如图所示.若向量与共线,则实数（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由图中可知，即可得到答案。【详解】由图中可知，若向量与共线,则.答案为D.【点睛】本题考查了向量的线性运算，考查了向量的共线，属于基础题。4.若数列是公比不为1的等比数列,且,则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先求出，可得，然后利用等比数列的性质可求出的值。【详解】由题意，则，设等比数列的公比为，则，故.故答案为C.【点睛】本题考查了等比数列的性质，考查了定积分的几何意义，考查了逻辑推理能力与计算求解能力，属于基础题。5.设,定义符号函数,则下列等式正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】结合正弦函数及符号函数的性质，对四个选项逐个分析即可选出答案。【详解】取，对于A，故A不正确；对于B，故B不正确；对于C，故C不正确；对于D，当时，当时，当时，即，故D正确。【点睛】本题考查了正弦函数的性质，考查了学生分析问题、解决问题的能力，属于基础题。6.运行如图所示的程序框图,设输出的数据构成集合A,从集合A中任取一个元素a,则函数yxa在（0,+）上是增函数的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】 执行如图所示的程序框图，可知： 第一次循环：满足，输出；第二次循环：满足，；第三次循环：满足， 此时终止循环，所以输出的集合，所以从集合中任取一个元素，则函数在是增函数的概率为,故选C7.已知函数 的导函数为,的解集为,若的极小值等于-98,则a的值是（ ）A. - B. C. 2 D. 5【答案】C【解析】【分析】对函数求导，利用二次函数的性质可得到的关系，然后结合的极小值等于-98，可求出的值。【详解】由题意，因为的解集为,所以，且，则，的极小值为，解得，故答案为C.【点睛】本题考查了函数的导数与极值，考查了二次函数的性质，考查了学生的逻辑推理能力与计算求解能力，属于中档题。8.已知的展开式中常数项为,则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：首先写出展开式的通项公式，然后结合题意得到关于实数a的方程，解方程即可求得最终结果.详解：展开式的通项公式为：，令可得：，结合题意可得：，即.本题选择C选项.点睛：本题主要考查二项式定理的通项公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9.已知函数在区间上是增函数,且在区间上存在唯一的使得,则的取值不可能为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由函数是奇函数，可知在上是增函数，从而得到，即，又因为函数在区间上存在唯一的使得，可得到，结合，可得到，从而得到，即可选出答案。【详解】函数在区间上是增函数,又因为是R上奇函数，根据对称性可知函数在上是增函数,则，解得，因为，所以，因为函数在区间上存在唯一的使得,所以，则，则，解得，只有当时，满足题意，故，所以只有选项A不可能取到。【点睛】本题考查了奇函数的性质，考查了正弦函数的单调性、周期性、最值，考查了学生的逻辑思维能力与计算求解能力，属于难题。10.直线与双曲线C：的渐近线交于A、B两点,设P为双曲线C上的任意一点,若 (a、bÎR,O为坐标原点),则下列不等式恒成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求出A、B两点坐标，利用可以得到点的坐标，代入双曲线方程可得，然后利用基本不等式可选出答案。【详解】双曲线C：的渐近线为，与直线交于，设，则，因为，所以，由于点在双曲线上，故，解得，则（当且仅当时取“=”）。故答案为B.【点睛】本题考查了双曲线的渐近线，考查了向量的坐标表示，考查了利用基本不等式求最值，考查了计算能力，属于中档题。11.如图，在正方体ABCDA¢B¢C¢D¢中,平面垂直于对角线AC¢,且平面截得正方体的六个表面得到截面六边形,记此截面六边形的面积为S,周长为l,则（ ）A. S为定值,l不为定值 B. S不为定值,l为定值C. S与l均为定值 D. S与l均不为定值【答案】B【解析】【分析】将正方体切去两个正三棱锥和，得到一个几何体，是以平行平面和为上下底，每个侧面都是直角等腰三角形，截面多边形的每一条边分别与的底面上的一条边平行，设正方体棱长为，可求得六边形的周长为与无关，即周长为定值；当都在对应棱的中点时，是正六边形，计算可得面积，当无限趋近于时，的面积无限趋近于，从而可知的面积一定会发生变化。【详解】设平面截得正方体的六个表面得到截面六边形为，与正方体的棱的交点分别为（如下图），将正方体切去两个正三棱锥和，得到一个几何体，是以平行平面和为上下底，每个侧面都是直角等腰三角形，截面多边形的每一条边分别与的底面上的一条边平行，设正方体棱长为，则，故，同理可证明，故六边形的周长为，即周长为定值；当都在对应棱的中点时，是正六边形，计算可得面积，三角形的面积为，当无限趋近于时，的面积无限趋近于，故的面积一定会发生变化，不为定值。故答案为B.【点睛】本题考查了正方体的结构特征，考查了截面的周长及表面积，考查了学生的空间想象能力，属于难题。12.设函数，,若当0当时,不等式恒成立,则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意，构造函数，是上的单调递增函数，又是奇函数，当，从而可得到，利用这一性质可解决本题。【详解】由题意，令，则而是上的单调递增函数，又是奇函数，于是.故不等式恒成立，可得到，则，即，因为，所以，则，故.【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，考查了函数单调性与奇偶性的应用，构造函数是解决本题的关键点，属于难题。二.填空题。13.实数满足,则的最大值是_.【答案】21【解析】【分析】画出满足的可行域，当目标函数经过点时，取得最大值，求解即可。【详解】画出满足的可行域，由解得点，则目标函数经过点时，取得最大值为.【点睛】本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想。需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得。14.现有编号为、的三个三棱锥（底面水平放置）,俯视图分别为图1、图2、图3,则至少存在一个侧面与此底面互相垂直的三棱锥的所有编号是_ 【答案】【解析】【分析】根据题意，判断顶点的投影在不在底面边上，可判断是否存在一个侧面与此底面互相垂直。【详解】编号为的三棱锥，其直观图可能是，侧棱底面，则侧面底面，满足题意；编号为的三棱锥，其直观图可能是，侧面底面，满足题意；编号为的三棱锥，顶点的投影不在底面边上（如图），不存在侧面与底面垂直。故答案为.【点睛】本题考查了三棱锥的三视图，考查了学生的空间想象能力，属于中档题。15.已知抛物线：的焦点为,准线与轴的交点为,是抛物线上的点,且轴.若以为直径的圆截直线所得的弦长为,则实数的值_.【答案】【解析】【分析】由题意，先表示出的坐标，然后可得到直线的方程，求出圆心到直线的距离为，圆的半径为，再结合弦长为，求解即可。【详解】由题意，设在第一象限，则，则直线的方程为，以为直径的圆的圆心为，半径为，则到直线的距离为，则圆截直线所得的弦长为，解得.【点睛】本题考查了抛物线的性质，考查了圆的性质，考查了圆中弦长的计算，属于中档题。16.设数列的前项和为满足：，则_【答案】【解析】【分析】时，从而可以得到，即是等比数列，即可求出的表达式。【详解】由题意，时，即，时，所以，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，则，所以，故.【点睛】本题考查了数列的递推关系的运用，考查了等比数列的通项公式，考查了学生的逻辑推理能力与计算能力，属于中档题。三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.如图, 四点共圆,为钝角且,（1）求;（2）设,求的值.【答案】(1)4(2)【解析】【分析】（1）由可求出，在中，由余弦定理，可求出；（2）连接，由，即，从而可知与互补，可知，由正弦定理，即可求出.【详解】（1），且角为钝角，.在中，由余弦定理得，解得或（舍），故. （2）连接，则,，则，即，故，则与互补，于是在中由正弦定理.【点睛】本题考查了圆的性质，考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的运用，考查了学生的逻辑推理能力与计算能力，属于中档题。18.已知分别为椭圆的左、右焦点.（1）当时,若是椭圆上一点,且位于第一象限,求点的坐标;（2）当椭圆的焦距为2时,若直线与椭圆相交于两点,且,试求的面积.【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1) 设，由可得解出即可；(2)将直线方程与椭圆方程联立，得到一元二次方程，结合根与系数关系与，可求出，然后求出弦长及点到直线的距离，利用三角形的面积公式即可得到答案。【详解】（1）设，则于是（2），椭圆方程为，联立直线,解得满足， 则于是 .【点睛】本题考查了椭圆的性质，考查了直线与椭圆的位置关系，考查了弦长公式及点到直线的距离公式的运用，考查了三角形的面积计算，属于中档题。19.在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为的正方形,平面PAC底面ABCD，PA=PC=（1）求证：PB=PD;（2）若点M,N分别是棱PA,PC的中点