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湖北省荆州中学等“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”2019届高三上学期期末考试数学(理)试题(附解析)

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  • 文档编号:88212350
  • 上传时间:2019-04-20
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    • 1、“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟” 2019届高三2月联考数学(理)试题一、选择题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知全集,集合,则( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析:由全集及,求出补集,找出集合的补集与集合的交集即可.详解: ,集合,又,故选B.点睛:研究集合问题,一定要抓住元素,看元素应满足的属性. 研究两集合的关系时,关键是将两集合的关系转化为元素间的关系,本题实质是求满足属于集合或不属于集合的元素的集合.2.欧拉公式(是自然对数的底,是虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的.它将三角函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里占有非常重要的地位,当时,就有.根据上述背景知识试判断表示的复数在复平面对应的点位于( )A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】C【解析】【分析】根据欧拉公式可得,通过化简可得到它在复平面对应的点,从而可选出答案。【详解】由题意,则表示的复数在复平面对应的点为,位于第三象限。故答案为C.【点睛】本题考查了复平面知识,考查了三角函数的化简,考查了转化思想,

      2、属于基础题。3.向量在正方形网格中的位置如图所示.若向量与共线,则实数( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由图中可知,即可得到答案。【详解】由图中可知,若向量与共线,则.答案为D.【点睛】本题考查了向量的线性运算,考查了向量的共线,属于基础题。4.若数列是公比不为1的等比数列,且,则( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先求出,可得,然后利用等比数列的性质可求出的值。【详解】由题意,则,设等比数列的公比为,则,故.故答案为C.【点睛】本题考查了等比数列的性质,考查了定积分的几何意义,考查了逻辑推理能力与计算求解能力,属于基础题。5.设,定义符号函数,则下列等式正确的是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】结合正弦函数及符号函数的性质,对四个选项逐个分析即可选出答案。【详解】取,对于A,故A不正确;对于B,故B不正确;对于C,故C不正确;对于D,当时,当时,当时,即,故D正确。【点睛】本题考查了正弦函数的性质,考查了学生分析问题、解决问题的能力,属于基础题。6.运行如图所示的程序框图,设输出的数据构成集合A,从集合A中任取一个元素a

      3、,则函数yxa在(0,+)上是增函数的概率为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】 执行如图所示的程序框图,可知: 第一次循环:满足,输出;第二次循环:满足,;第三次循环:满足, 此时终止循环,所以输出的集合,所以从集合中任取一个元素,则函数在是增函数的概率为,故选C7.已知函数 的导函数为,的解集为,若的极小值等于-98,则a的值是( )A. - B. C. 2 D. 5【答案】C【解析】【分析】对函数求导,利用二次函数的性质可得到的关系,然后结合的极小值等于-98,可求出的值。【详解】由题意,因为的解集为,所以,且,则,的极小值为,解得,故答案为C.【点睛】本题考查了函数的导数与极值,考查了二次函数的性质,考查了学生的逻辑推理能力与计算求解能力,属于中档题。8.已知的展开式中常数项为,则的值为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析:首先写出展开式的通项公式,然后结合题意得到关于实数a的方程,解方程即可求得最终结果.详解:展开式的通项公式为:,令可得:,结合题意可得:,即.本题选择C选项.点睛:本题主要考查二项式定理的通项公式及其应用等知识,意在考查学生的转化

      4、能力和计算求解能力.9.已知函数在区间上是增函数,且在区间上存在唯一的使得,则的取值不可能为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由函数是奇函数,可知在上是增函数,从而得到,即,又因为函数在区间上存在唯一的使得,可得到,结合,可得到,从而得到,即可选出答案。【详解】函数在区间上是增函数,又因为是R上奇函数,根据对称性可知函数在上是增函数,则,解得,因为,所以,因为函数在区间上存在唯一的使得,所以,则,则,解得,只有当时,满足题意,故,所以只有选项A不可能取到。【点睛】本题考查了奇函数的性质,考查了正弦函数的单调性、周期性、最值,考查了学生的逻辑思维能力与计算求解能力,属于难题。10.直线与双曲线C:的渐近线交于A、B两点,设P为双曲线C上的任意一点,若 (a、bR,O为坐标原点),则下列不等式恒成立的是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求出A、B两点坐标,利用可以得到点的坐标,代入双曲线方程可得,然后利用基本不等式可选出答案。【详解】双曲线C:的渐近线为,与直线交于,设,则,因为,所以,由于点在双曲线上,故,解得,则(当且仅当时取“=”)。故答

      5、案为B.【点睛】本题考查了双曲线的渐近线,考查了向量的坐标表示,考查了利用基本不等式求最值,考查了计算能力,属于中档题。11.如图,在正方体ABCDABCD中,平面垂直于对角线AC,且平面截得正方体的六个表面得到截面六边形,记此截面六边形的面积为S,周长为l,则( )A. S为定值,l不为定值 B. S不为定值,l为定值C. S与l均为定值 D. S与l均不为定值【答案】B【解析】【分析】将正方体切去两个正三棱锥和,得到一个几何体,是以平行平面和为上下底,每个侧面都是直角等腰三角形,截面多边形的每一条边分别与的底面上的一条边平行,设正方体棱长为,可求得六边形的周长为与无关,即周长为定值;当都在对应棱的中点时,是正六边形,计算可得面积,当无限趋近于时,的面积无限趋近于,从而可知的面积一定会发生变化。【详解】设平面截得正方体的六个表面得到截面六边形为,与正方体的棱的交点分别为(如下图),将正方体切去两个正三棱锥和,得到一个几何体,是以平行平面和为上下底,每个侧面都是直角等腰三角形,截面多边形的每一条边分别与的底面上的一条边平行,设正方体棱长为,则,故,同理可证明,故六边形的周长为,即周长为

      6、定值;当都在对应棱的中点时,是正六边形,计算可得面积,三角形的面积为,当无限趋近于时,的面积无限趋近于,故的面积一定会发生变化,不为定值。故答案为B.【点睛】本题考查了正方体的结构特征,考查了截面的周长及表面积,考查了学生的空间想象能力,属于难题。12.设函数,,若当0当时,不等式恒成立,则实数的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意,构造函数,是上的单调递增函数,又是奇函数,当,从而可得到,利用这一性质可解决本题。【详解】由题意,令,则而是上的单调递增函数,又是奇函数,于是.故不等式恒成立,可得到,则,即,因为,所以,则,故.【点睛】本题考查了不等式恒成立问题,考查了函数单调性与奇偶性的应用,构造函数是解决本题的关键点,属于难题。二.填空题。13.实数满足,则的最大值是_.【答案】21【解析】【分析】画出满足的可行域,当目标函数经过点时,取得最大值,求解即可。【详解】画出满足的可行域,由解得点,则目标函数经过点时,取得最大值为.【点睛】本题考查的是线性规划问题,解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化,即数形结合思想。需要注意的是:一,准确无误地作出

      7、可行域;二,画目标函数所对应的直线时,要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较,避免出错;三,一般情况下,目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得。14.现有编号为、的三个三棱锥(底面水平放置),俯视图分别为图1、图2、图3,则至少存在一个侧面与此底面互相垂直的三棱锥的所有编号是_ 【答案】【解析】【分析】根据题意,判断顶点的投影在不在底面边上,可判断是否存在一个侧面与此底面互相垂直。【详解】编号为的三棱锥,其直观图可能是,侧棱底面,则侧面底面,满足题意;编号为的三棱锥,其直观图可能是,侧面底面,满足题意;编号为的三棱锥,顶点的投影不在底面边上(如图),不存在侧面与底面垂直。故答案为.【点睛】本题考查了三棱锥的三视图,考查了学生的空间想象能力,属于中档题。15.已知抛物线:的焦点为,准线与轴的交点为,是抛物线上的点,且轴.若以为直径的圆截直线所得的弦长为,则实数的值_.【答案】【解析】【分析】由题意,先表示出的坐标,然后可得到直线的方程,求出圆心到直线的距离为,圆的半径为,再结合弦长为,求解即可。【详解】由题意,设在第一象限,则,则直线的方程为,以为直径的圆的圆心为,

      8、半径为,则到直线的距离为,则圆截直线所得的弦长为,解得.【点睛】本题考查了抛物线的性质,考查了圆的性质,考查了圆中弦长的计算,属于中档题。16.设数列的前项和为满足:,则_【答案】【解析】【分析】时,从而可以得到,即是等比数列,即可求出的表达式。【详解】由题意,时,即,时,所以,所以数列是以为首项,为公比的等比数列,则,所以,故.【点睛】本题考查了数列的递推关系的运用,考查了等比数列的通项公式,考查了学生的逻辑推理能力与计算能力,属于中档题。三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.如图, 四点共圆,为钝角且,(1)求;(2)设,求的值.【答案】(1)4(2)【解析】【分析】(1)由可求出,在中,由余弦定理,可求出;(2)连接,由,即,从而可知与互补,可知,由正弦定理,即可求出.【详解】(1),且角为钝角,.在中,由余弦定理得,解得或(舍),故. (2)连接,则,,则,即,故,则与互补,于是在中由正弦定理.【点睛】本题考查了圆的性质,考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的运用,考查了学生的逻辑推理能力与计算能力,属于中档题。18.已知分别为椭圆的左、右焦点.(1)当时,若是椭圆上一点,且位于第一象限,求点的坐标;(2)当椭圆的焦距为2时,若直线与椭圆相交于两点,且,试求的面积.【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1) 设,由可得解出即可;(2)将直线方程与椭圆方程联立,得到一元二次方程,结合根与系数关系与,可求出,然后求出弦长及点到直线的距离,利用三角形的面积公式即可得到答案。【详解】(1)设,则于是(2),椭圆方程为,联立直线,解得满足, 则于是 .【点睛】本题考查了椭圆的性质,考查了直线与椭圆的位置关系,考查了弦长公式及点到直线的距离公式的运用,考查了三角形的面积计算,属于中档题。19.在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为的正方形,平面PAC底面ABCD,PA=PC=(1)求证:PB=PD;(2)若点M,N分别是棱PA,PC的中点

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