湖南省、2018-2019学年高二12月联考数学（文）试题（附解析）

- 1 - 浏阳一中、醴陵一中浏阳一中、醴陵一中 2018 年下学期高二年级联考年下学期高二年级联考 数学（文）试题数学（文）试题 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 个小题个小题, ,每小题每小题 5 5 分分, ,共共 6060 分分. .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的题目要求的. . 1.设数列an的前n项和Sn=n3，则a4的值为（ ） A. 15 B. 37 C. 27 D. 64 【答案】B 【解析】 【分析】 利用，求得数列的通项公式，从而求得 . 【详解】当时，故.故选 B. 【点睛】本小题主要考查已知数列的前 项和公式求数列的通项公式.对于已知数列的前 项和公式的表达 式，求数列的通项公式 的题目，往往有两个方向可以考虑，其中一个主要的方向是利用. 另一个方向是如果题目给定的表达式中含有 的话，可以考虑将 转化为，先求得数列的表 达式，再来求 的表达式. 2.椭圆的焦点为 F1，F2，p为椭圆上一点，若，则（） A. 3 B. 5 C. 7 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】 根据椭圆的定义，由此可求得的值. 【详解】根据椭圆的方程可知，根据椭圆的定义，由此可求 ，故选 C. 【点睛】本小题主要考查椭圆的定义，考查椭圆的标准方程.解答时要主要椭圆的焦点是在 轴上.属于基础 - 2 - 题. 3.等差数列an满足，则其前 10 项之和为( ) A. 9 B. 15 C. 15 D. ±15 【答案】D 【解析】 由已知(a4a7)29，所以a4a7±3，从而a1a10±3. 所以S10×10±15. 故选 D. 4.利用独立性检验的方法调查大学生的性别与爱好某项运动是否有关，通过随机询问名不同的大学生是 否爱好某项运动，利用列联表，由计算可得. 参照附表，得到的正确结论是（） A. 有以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” B. 有以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” C. 在犯错误的概率不超过的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关” D. 在犯错误的概率不超过的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” 【答案】B 【解析】 【分析】 根据独立性检验的知识可知有以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”. 【详解】由于计算得，根据独立性检验的知识可知有以上的把握认为“爱好该项运动与性 别有关”.故选 B. 【点睛】本小题主要考查联表，考查独立性检验的知识，根据独立性检验的知识可直接得出结论，属于 基础题. 5.函数在区间上的最小值是（） A. -9 B. -16 C. -12 D. 9 【答案】B - 3 - 【解析】 【分析】 利用导数求得函数在上的单调区间、极值，比较区间端点的函数值和极值，由此求得最小值. 【详解】，故函数在区间上为增函数，在区间上为减函数. ，故最小值为.所以选 B. 【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的最小值.首先利用函数的导数求得函数的单调区间，利用单调区 间得到函数的极值点，然后计算函数在区间端点的函数值，以及函数在极值点的函数值，比较这几个函数值， 其中最大的就是最大值，最小的就是最小值.本小题属于基础题. 6.过抛物线的焦点作直线 交抛物线于两点，若线段中点的横坐标为 3，则等于 （ ） A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 【答案】B 【解析】 抛物线的焦点坐标为。因为线段中点的横坐标为 3，所以直线 斜率存在，设其方程为， 联立有，设坐标分别为，则。因为线 段中点的横坐标为 3，所以，解得。所以，则 ，故选 B 7.如果数列的前 n 项和为，则这个数列的通项公式是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据题意可得，两式相减即可得，可证明数列为等比数列，从而写出通项公式. - 4 - 【详解】由 anSnSn1( an3)( an13)(n2)，得，又 a16， 所以an是以 a16，q3 的等比数列，所以 an2·3n. 【点睛】本题主要考查了根据递推关系求数列的通项公式， ，属于中档题. 8.已知实数 ， 满足：，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 试题分析：可行域为一个三角形 ABC 内部，其中；直线过点 C 取最小值， 过点 B 取最大值 ，所以，选 C. 考点：线性规划 【易错点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作 出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三， 一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得. 9.已知下列四个条件中，使成立的必要而不充分的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 因为 ab,所以 ab-1 成立；反之不成立。ab-1 是 ab 成立的必要不充分条件 10.若函数在区间上单调递减，则实数 t 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 试题分析：，由于在区间上单调递减，则有在上恒成立，即 ，也即在上恒成立，因为在上单调递增，所以，故 选 C 考点：导数的运算、利用导数判断函数的单调性. - 5 - 11.若椭圆与直线交于两点，过原点与线段的中点的直线的斜率为，则 的值 为（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 利用点差法，用中点和斜率列方程，解方程求得 的值. 【详解】设代入椭圆方程得，两式相减得，依题意可知 ，即.故选 B. 【点睛】本小题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查直线和椭圆相交所得弦长的中点有关的问题的解决策 略，即点差法.点差法用在与直线和圆锥曲线相交得到的弦的中点有关的问题，其基本步骤是：首先将点代 入圆锥曲线的方程，作差后化为一边是中点，一边是斜率的形式，再代入已知条件求得所需要的结果. 12.在正项等比数列 中，存在两项，使得且则的最小值是（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用基本元的思想，将题目所给已知条件转化为的形式，化简得出的关系式，将这个关系式乘以 ，再利用换元法求得最小值. 【详解】由于数列是等比数列，依题意有，解得.故 .令， 为正整数.由于在上递减，在上递增 ， 而，故的最小值为 .所以.所以选 A. 【点睛】本小题主要考查利用等比数列的通项公式，以及等比数列基本量的计算，还考查了最小值的求法. 属于中档题. 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 5 分，满分分，满分 2020 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） - 6 - 13.函数 (e 为自然对数的底数）的图像在点（0,1）处的切线方程是_ 【答案】 【解析】 【分析】 对函数求导得到导数f(x)ex2，图像在点(0，1)处的切线斜率ke023，故得到切线方程为 . 【详解】函数f(x)ex2x，导数f(x)ex2，f(x)的图像在点(0，1)处的切线斜率 ke023，图像在点(0，1)处的切线方程为y3x1. 故答案为：. 【点睛】这个题目考查了利用导数求函数在某一点处的切线方程；步骤一般为：一，对函数求导，代入已知 点得到在这一点处的斜率；二，求出这个点的横纵坐标；三，利用点斜式写出直线方程. 14.已知数列中，前 项和为，且点在直线上，则 =_ 【答案】 【解析】 【分析】 将点 坐标代入之先后得到 为等差数列，求出其前 项和，利用裂项求和法求得数列前 项和. 【详解】将 点坐标代入直线方程得，故数列是首项为 ，公差为 的等差数列，故通项公式为 ，前 项和.故 . 【点睛】本小题主要考查点和直线的位置关系，考查等差数列的定义以及等差数列的判断，考查等差数列的 通项公式以及前 项和公式，考查裂项求和法等知识，属于中档题.点在曲线上，那么点的坐标满足曲线方程. 若一个数列满足， 为常数，则这个数列是等差数列， 为公差. 15.若不等式对于任意正整数 n 恒成立，则实数 a 的取值范围是 _ 【答案】 - 7 - 【解析】 【分析】 将 分成奇数和偶数两种情况分类讨论，利用数列的单调性，求得 的取值范围. 【详解】当 为偶数时，原不等式转化为，而单调递增，故，故.当 为奇数时， 原不等式转化为，而单调递增，故，故.综上所述，. 【点睛】本小题考查数列的单调性，考查分类讨论的数学思想方法，考查不等式恒成立问题的求解策略，属 于中档题. 16.椭圆T：1(ab0)的左，右焦点分别为F1，F2，焦距为 2c.若直线y(xc)与椭圆T的一个 交点M满足MF1F22MF2F1，则该椭圆的离心率等于_ 【答案】-1 【解析】 直线 y=(x+c)过点 F1(-c,0)且倾斜角为 60°, 所以MF1F2=60°,MF2F1=30°, 所以F1MF2=90°, 所以 F1MF2M, 在 RtF1MF2中, |MF1|=c,|MF2|=c, 所以 e= =-1. 三、解答题三、解答题 （本大题共（本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分分. .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. .） 17.已知命题，命题方程表示焦点在 轴上的双曲线. - 8 - （1）命题 为真命题，求实数 的取值范围； （2）若命题“”为真，命题“”为假，求实数 的取值范围. 【答案】 （1）（2）或. 【解析】 试题分析：这类问题首先求得命题为真时的 的范围，再根据含有逻辑连接词的命题的真假判断命题的 真假，从而得 的范围 试题解析：由得，即，由得，即 （1）命题 为真，； （2）由题意命题一真一假，因此有或，所以或 考点：复合命题的真假 18.已知函数，若其导函数的 x 的取值范围为（1，3）. （1）判断 f(x)的单调性 （2）若函数 f(x)的极小值为4，求 f(x)的解析式与极大值 【答案】 （1）减区间，增区间；（2），极大值为 . 【解析】 【分析】 （1）对函数求导，根据导函数大于零的解集为，可求得函数的减区间.（2）由（1）知函数的极值点， 由此列方程组，解方程组求得的值，同时求得极大值. 【详解】解：（）由题意知 因此在单调递减,单调递增 单调递减. （2）由（1）可得处取得极小值4，在 x=3 处取得极大值。 ,解得. 则 【点睛】本小题考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数求函数的解析式，还考查了函数与方程的数 学思想方法，属于中档题. 19.某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，下表是该地一建设银行连续五年的储蓄存款（年底余额） ，如 - 9 - 下表 1： 为了研究计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理，得到下表 2： （1）求 关于 的线性回归方程； （2）通过（1）中的方程，求出 关于 的回归方程； （3）用所求回归方程预测到 2010 年年底，该地储蓄存款额可达多少？ （附：对于线性回归方程，其中） 【答案】 （1）；（2）；（3）千亿元. 【解析】 【分析】 （1）利用题目所给数据和回归直线方程计算公式，直接求得回归直线方程.（2）将代入 （1）求得的方程，化简后可得 关于 的回归直线方程.（3）令代入（2）求得的回归直线方程，可 求得预测值. 【详解】解：（1）， ， 所以. （2）， 代入得到：， 即， （3）当时， 所以预测到年年底，该地储蓄存款额可达千亿元 【点睛】本小题主要考查回归直线方程的计算，考查利用回归直线方程进行预测.要注意回归直线方程公式 是，而不是. - 10 - 20.已知等比数列的公