江苏省南通、扬州、泰州、苏北四市七市2019届高三第一次（2月）模拟数学试题（附解析）

南通、扬州、泰州、苏北四市七市2019届高三第一次模拟数学试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分1.已知集合，则集合=_【答案】【解析】【分析】直接由并集的定义可得结论.【详解】根据题意，并集是属于A或属于B的元素，所以，故答案为：【点睛】本题考查了并集的概念及运算，属于基础题.2.已知复数（i为虚数单位），则复数z的模为_.【答案】【解析】【分析】直接利用复数代数形式的四则运算化简复数z，再由复数模的公式计算得答案【详解】，则复数z的模为故答案为：【点睛】本题考查了复数代数形式的运算，考查了复数模的求法，是基础题3.某中学组织学生参加社会实践活动，高二（1）班50名学生参加活动的次数统计如下：次数2345人数2015105则平均每人参加活动的次数为_.【答案】3【解析】【分析】根据平均数的定义计算即可【详解】根据题意，计算这组数据的平均数为：3，故答案为：3.【点睛】本题考查了平均数的定义与计算问题，是基础题4.如图是一个算法流程图，则输出的b的值为_【答案】7【解析】【分析】由已知的程序框图可知，该程序的功能是利用循环计算b的值，并输出满足a<15的b的值，模拟程序的运行过程可得答案【详解】第1步：a1，b3；满足a<15；第2步：a5，b5；满足a<15；第3步：a21，b7，不满足a<15；退出循环，所以，b7.故答案为：7【点睛】本题考查的知识点是程序框图，由于循环的次数不多，故可采用模拟程序运行的方法进行5.有数学、物理、化学三个兴趣小组，甲、乙两位同学各随机参加一个，则这两位同学参加不同兴趣小组的概率为_【答案】【解析】【分析】基本事件总数n3×39，这两位同学参加不同兴趣小组包含的基本事件个数m3×26，由此能求出这两位同学参加不同兴趣小组的概率【详解】有数学、物理、化学三个兴趣小组，甲、乙两位同学各随机参加一个，基本事件总数n3×39，这两位同学参加不同兴趣小组包含的基本事件个数m3×26，则这两位同学参加不同兴趣小组的概率为p故答案为：【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题6.已知正四棱柱的底面边长为，侧面的对角线长是，则这个正四棱柱的体积是_【答案】【解析】Aa设正四棱柱的高为h得到故得到正四棱柱的体积为故答案为：54.7.若实数满足，则的最小值为_【答案】【解析】【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，结合函数图象求出z的最小值即可【详解】画出实数x，y满足xy2x+3的平面区域，如图示：由，解得A（3，3），由zx+y得：yx+z，显然直线过A时z最小，z的最小值是6，故答案为：6【点睛】本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道中档题8.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的准线为l，直线l与双曲线的两条渐近线分别交于A，B两点，则的值为_【答案】【解析】【分析】求得抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，联立求得A，B的坐标，可得|AB|，解方程可得p的值【详解】抛物线y22px（p0）的准线为l：x，双曲线的两条渐近线方程为y±x，可得A（，），B（，），|AB|，可得p2故答案为：2【点睛】本题考查抛物线和双曲线的方程和性质，主要是准线方程和渐近线方程，考查方程思想和运算能力，属于基础题9.在平面直角坐标系xOy中，已知直线与曲线相切于点，则的值为_【答案】【解析】【分析】运用导数求出切线的斜率，结合切点同时在直线和曲线上可解决此问题【详解】，切线的斜率为k3，即=3，又切点同时在直线和曲线上，有：，所以4.故答案为4【点睛】本题考查导数的几何意义，考查了曲线在某点的切线问题，属于基础题10.已知数列是等比数列，有下列四个命题：数列是等比数列； 数列是等比数列； 数列是等比数列； 数列是等比数列 其中正确的命题有_个【答案】【解析】【分析】由an是等比数列可得是常数，根据等比数列的判断方法，分别检验即可判断【详解】数列是等比数列，所以，对于，所以，数列是等比数列，正确；对于，所以，数列是等比数列； 对于，所以，数列是等比数列；对于，不是常数，所以，错误共有3个命题正确.故答案为:3.【点睛】要判断一个数列是否是等比数列常用的方法，可以利用等比数列的定义，只需判断数列的任意一项与它的前一项的比是否是常数，本题属于中档题11.已知函数是定义在上的奇函数，且当时， ，则实数a的值为_【答案】2【解析】【分析】利用奇偶性与周期性得到，代入解析式可得a.【详解】函数是定义在上的奇函数，所以，又因为，所以，即，即，所以，解得：.故答案为：2.【点睛】本题考查了奇偶性与周期性的应用，当函数是定义在上的奇函数，且为周期函数，则半周期处的函数值必为0，运用此结论可以解决很多求值或找零点的问题.12.在平面四边形中，则的最小值为_【答案】【解析】【分析】建立平面直角坐标系，写出点A、B的坐标，设出C、D的坐标，利用条件求得等量关系，再利用模长公式及基本不等式，求得最小值.【详解】如图，以A为原点，建立平面直角坐标系，则A（0,0），B（1,0），因为DADB，可设D（，m），因为，AB1，由数量积的几何意义知在方向的投影为3，可设C（3，n），又所以，即，当且仅当，即n1，m时，取等号，故答案为.【点睛】本题考查了向量的数量积及模长的坐标运算，考查了向量数量积的几何意义的应用，涉及到基本不等式求最值，其中建立坐标系可简化数量积运算，考查了转化思想，数形结合思想，属于难题13.在平面直角坐标系xOy中，圆，圆若存在过点的直线l，l被两圆截得的弦长相等，则实数m的取值范围是_【答案】 【解析】【分析】根据弦长相等得有解，即，得到，根据0，结合1可解得m的范围【详解】直线l的斜率k不存在或0时均不成立，设直线l的方程为：，圆O（0，0）到直线l的距离，圆C（4，0）到直线l的距离，l被两圆截得的弦长相等，所以，即，所以，3，化为：0，得：又1即，解得：,故答案为:.【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，考查了圆中弦长的求法，考查了运算能力，属于难题14.已知函数若，则满足的的值为_【答案】337【解析】【分析】由已知得 0，结合，得到，求得a，利用x的范围去绝对值解方程即可.【详解】则，又因为：，因此， 0所以，函数关于点对称，所以，解得：，2019，显然有：，即所以，2019，1，解得：x337，故答案为：337.【点睛】本题考查函数对称性的证明与应用，考查了含绝对值方程的解法，解题时要注意函数性质的合理运用，属于难题.二、解答题：本大题共6小题，共计90分15.如图，在四棱锥中，M，N分别为棱PA，PD的中点已知侧面PAD底面ABCD，底面ABCD是矩形，DA=DP求证：（1）MN平面PBC；（2）MD平面PAB【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）由M，N分别为棱PA，PD的中点，MNAD，由底面ABCD是矩形，BCAD，从而MNBC，由此能证明MN平面PBC（2）由底面ABCD是矩形，得到ABAD，从而AB侧面PAD，ABMD，由DADP，M为AP的中点，得到MDPA，由此能证明MD平面PAB【详解】（1）在四棱锥中，M，N分别为棱PA，PD的中点，所以MNAD 又底面ABCD是矩形，所以BCAD所以MNBC 又平面平面所以MN平面PBC （2）因为底面ABCD是矩形，所以ABAD又侧面PAD底面ABCD，侧面PAD底面ABCD=AD，AB底面ABCD，所以AB侧面PAD 又MD侧面PAD，所以ABMD 因为DA=DP，又M为AP的中点，从而MD 又，AB在平面PAB内，所以MD平面PAB【点睛】本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题16.在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对边的长，（1）求角的值；（2）若，求ABC的面积【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinA，由正弦定理化简已知等式可求，结合范围0B，可求B的值（2）由（1）及正弦定理可求b的值，利用两角和的正弦函数公式可求sinC的值，根据三角形面积公式即可计算得解【详解】（1）在ABC中，因为，所以 因为，由正弦定理，得所以 若，则，与矛盾，故于是又因为，所以 （2）因为，由（1）及正弦定理，得，所以 又= 所以的面积为.【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题17.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆 的左焦点为，右顶点为，上顶点为（1）已知椭圆的离心率为，线段中点的横坐标为，求椭圆的标准方程；（2）已知外接圆的圆心在直线上，求椭圆的离心率的值【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用椭圆的离心率以及已知条件转化求解a，b即可得到椭圆方程（2）A（a，0），F（c，0），求出线段AF的中垂线方程为：推出，求出线段AB的中垂线方程，推出bc，然后求解椭圆的离心率即可【详解】（1）因为椭圆 的离心率为，所以，则因为线段中点的横坐标为，所以所以，则，所以椭圆的标准方程为 （2）因为，所以线段的中垂线方程为：又因为外接圆的圆心C在直线上，所以因为，所以线段的中垂线方程为：由C在线段的中垂线上，得，整理得， 即 因为，所以所以椭圆的离心率【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆的离心率以及椭圆方程的求法，考查计算能力18.如图1，一艺术拱门由两部分组成，下部为矩形，的长分别为和，上部是圆心为的劣弧，（1）求图1中拱门最高点到地面的距离；（2）现欲以B点为支点将拱门放倒，放倒过程中矩形所在的平面始终与地面垂直，如图2、图3、图4所示设与地面水平线所成的角为记拱门上的点到地面的最大距离为，试用的函数表示，并求出的最大值【答案】（1）拱门最高点到地面的距离为（2），其最大值为【解析】【分析】（1）求出圆的半径，结合圆和RT的性质求出拱门最高点到地面的距离即可；（2）通过讨论P