广东省广州市实验中学、2018届高三10月联考数学（理）试题（解析版）

1 广东省实验中学广东省实验中学 2018 届高三上学期届高三上学期 10 月段测试月段测试 数学（理科）数学（理科） 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，每小题的四个选项中，只有一项是符分，每小题的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的）合题目要求的） 1.复数（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 由题可知故本题答案选 2.等差数列中，为等比数列，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据题意，利用等差数列的定义与性质，求出的值，再利用等比数列的性质求出的值 【详解】等差数列中，又， 所以， 解得或（舍去） ， 所以， 所以 故选 【点睛】本题考查了等差与等比数列的性质与应用问题，考查了计算能力，是基础题目 3.已知， “函数有零点”是“函数在上是减函数”的（ ） A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 即不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 试题分析：由题意得，由函数有零点可得，而由函数在上为减函 数可得，因此是必要不充分条件，故选 B 2 考点：1.指数函数的单调性；2.对数函数的单调性；3.充分必要条件. 4.下面给出四种说法： 设 、 、 分别表示数据、的平均数、中位数、众数，则 ； 在线性回归模型中，相关指数表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，越接近于 ，表示回归的效 果越好； 绘制频率分布直方图时，各小长方形的面积等于相应各组的组距； 设随机变量 服从正态分布，则 其中不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 对于 A，根据数据求出的平均数，众数和中位数即可判断； 对于 B，相关指数 R2越接近 1，表示回归的效果越好； 对于 C，根据频率分布直方图判定； 对于 D，设随机变量 服从正态分布 N（4，22） ，利用对称性可得结论； 【详解】解：将数据按从小到大的顺序排列为： 、， 中位数：； ； 这组数据的平均数是 因为此组数据中出现次数最多的数是， 所以是此组数据的众数； 则； 越接近于 ，表示回归的效果越好，正确； 根据频率分布直方图的意义，因为小矩形的面积之和等于 ，频率之和也为 ， 所以有各小长方形的面积等于相应各组的频率；故错； 随机变量 服从正态分布， 正态曲线的对称轴是， 3 故正确 故选 【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及统计的基础知识：频率分布直方图和线性回归及分类变量 X，Y 的关系，属于基础题 5.如图，网格纸上小正方形的边长为 ，粗实线画出的是该几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截 去一部分后所得，则该几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由三视图可得，直观图为一个完整的圆柱减去一个高为 6 的圆柱的一半，即可求出几何体的体积 【详解】由三视图可得，直观图为一个完整的圆柱减去一个高为 的圆柱的一半， 故选 【点睛】本题考查了由三视图还原几何体，体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 6.对于实数，若函数图象上存在点满足约束条件，则实数的最小值为（ ） 4 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 作出不等式组表示的平面区域，观察图形可得函数的图象与直线 xy+30 交于点（1，2） ，当点 A 与该点重合时图象上存在点（x，y）满足不等式组，且此时 m 达到最小值，由此即可得到 m 的最小值 【详解】作出不等式组表示的平面区域，得到如图的三角形， 其中，再作出指数函数的图象， 可得该图象与直线交于点， 因此，当 点与重合时，图象上存在点满足不等式组， 且此时达到最小值，即的最小值为 故选 【点睛】本题给出二元一次不等式组，求能使不等式成立的 m 的最小值，着重考查了二元一次不等式组表 示的平面区域和函数图象的作法等知识，属于中档题 7.有一个球的内接圆锥，其底面圆周和顶点均在球面上，且底面积为已知球的半径，则此圆锥的 侧面积为（ ） A. B. C. 或D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意列方程求出圆锥的高 h，再求出圆锥的母线长 l，即可求出圆锥的侧面积 【详解】圆锥， 是底面圆心， 为球心， ， 如图， 在上， 5 ， 如图， ， 故选 【点睛】本题考查了丁球内接圆锥的侧面积问题，求出圆锥的高是关键，考查空间想象能力与计算能力，属 于中档题 8.已知双曲线，过点的直线 与 相交于 ， 两点，且的中点为，则 双曲线 的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由中点坐标公式，将 A 和 B 点代入双曲线的方程，两式相减即可求得直线的斜率，由直线 AB 的斜率 k= =1，即可求得= ，根据双曲线的离心率公式，即可求得双曲线 C 的离心率 【详解】设 A（x1，y1），B（x2，y2）， 由 AB 的中点为 N（12，15） ，则 x1+x2=24，y1+y2=30， 6 由，两式相减得：=， 则=， 由直线 AB 的斜率 k=1， =1，则= ， 双曲线的离心率 e= = ， 双曲线 C 的离心率为 ， 故选：B 【点睛】本题考查双曲线的离心率公式，考查中点坐标公式，考查点差法的应用，考查直线的斜率，考查计 算能力，属于中档题 9.在正方体中， ， 分别是棱，的中点， 是与的交点，面与面 相交于，面与面相交于 ，则直线， 的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 画出图象，可得 m 即为 CF，进而根据线面平行的判定定理和性质定理可得 mn 【详解】如图所示： ， 分别是棱，的中点，故， 则面即为平面与平面相交于，即直线， 7 由，可得平面，故面与面相交于 时， 必有，即，即直线， 的夹角为 故选 【点睛】本题考查的知识点是空间直线的夹角，线面平行的判定定理及性质定理，难度中档 10.已知函数，给出下列四个命题： 函数的图象关于直线对称； 函数 在区间上单调递增； 函数 的最小正周期为 ； 函数 的值域为 其中真命题的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 利用三角函数的周期性、单调性、值域以及它的图象的对称性，判断各个选项是否正确，从而得出结论 【详解】解：对于函数，由于， ， 故的图象不关于直线对称，故排除 在区间上，单调递增，故正确 函数，故函数的最小正周期不是 ，故错误 当时， 故它的最大值为 ，最小值为；当时， ， 综合可得，函数的最大值为 ，最小值为，故正确 故选 【点睛】本题主要考查三角函数的周期性、单调性、值域以及它的图象的对称性，属于中档题 11.在抛物线与直线围成的封闭图形内任取一点 ， 为坐标原点，则直线被该封闭图形解得的 线段长小于的概率是（ ） A. B. C. D. 8 【答案】C 【解析】 如图圆的方程为，由圆方程，直线方程，抛物线方程知， 整个密闭区域的面积为，满足条件的区域面积为 由几何概型知所求概率为故本题答案选 12.若函数在上存在两个极值点，则 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 函数在(0,2)上存在两个极值点， 等价于 在(0,2)上有两个零点， 令 f(x)=0,则 ， 即 ， x1=0 或 ， x=1 满足条件,且 (其中 x1 且 x(0,2)； ,其中 x(0,1)(1,2)； 设 t(x)=exx2,其中 x(0,1)(1,2)； 则 t(x)=(x2+2x)ex0， 函数 t(x)是单调增函数， 9 t(x)(0,e)(e,4e2)， a. 本题选择 D 选项. 点睛：点睛：2求极值、最值时，要求步骤规范、表格齐全，区分极值点与导数为 0 的点；含参数 时，要讨论参数的大小 3求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论一个 函数在其定义域内最值是唯一的，可以在区间的端点取得 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13.已知，则 ， ， 的大小是_ 【答案】 【解析】 【分析】 根据指数函数与对数函数的单调性可得：ab，clog67即可 得出 【详解】解：ab，clog67 cab 故答案为：cab 【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 14.已知平面向量 ， 的夹角为，且，若平面向量满足，则 _ 【答案】 【解析】 由题可设,设,由题,解得，. 15.展开式中，常数项是_ 【答案】60 【解析】 10 解：因为展开式中，通项公式为，令 x 的次数为零可知常数项为 60. 16.设数列满足，且，若表示不超过 的最大整数，则 _ 【答案】 【解析】 构造，则 由题意可得： 故数列是 为首项， 为公差的等差数列 ， 以上个式子相加可得 解得 ， 则 点睛：本题考查了等差数列的通项公式及数列的递推式的应用，考查了累加求和的方法，裂项求和方法的应 用，解答本题的关键是熟练掌握通项公式的求法，考查了学生的推理能力和计算能力，属于中档题。 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，满分小题，满分 70 分解答应写出文字说明、演算步骤和推证过程）分解答应写出文字说明、演算步骤和推证过程） 17.已知函数 （ ）若，求的值 （ ）在中，角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，且满足，求的取值范围 【答案】 （1）；（2）. 【解析】 试题分析：（1）先进行三角恒等变形，使化为的形式，求出的值，再 11 利用 与的关系进行求值；（2）先利用余弦定理求出角 A,化简，利用 B 的范围进行求解. 试题解析： （1）f（x）sin cos cos2 sin cos sin . 由 f（x）1，可得 sin . coscos（ x）cos（ x） 2sin2（ ）1 . （2）由 acos C cb，得 a· cb， 即 b2c2a2bc，所以 cos A . 因为 A（0，） ，所以 A ，BC， 所以 0B，所以 ， 所以 f（B）sin 考点：1.三角恒等变形；2.余弦定理；3.三角函数的图像与性质 18.某大学生从全校学生中随机选取名统计他们的鞋码大小，得到如下数据： 鞋 码 合 计 男 生 女 生 以各性别各鞋码出现的频率为概率 （ ）从该校随机挑选一名学生，求他（她）的鞋码为奇数的概率 （ ）为了解该校学生考试作弊的情况，从该校随机挑选名学生进行抽样调查每位学生从装有除颜色 外无差别的 个红球和 个白球的口袋中，随机摸出两个球，若同色，则如实回答其鞋码是否为奇数；若不同 12 色，则如实回答是否曾在考试中作弊这里的回答，是指在纸上写下“是”或“否”若调查人员回收到张 “是”的小纸条，试估计该校学生在考试中曾有作弊行为的概率 【答案】 （1）（2） 【解析】 【分析】 （1）由题意知样本中鞋码为奇数的同学共 55 人，由此能求从该校随机挑选一名学生，他（她）的鞋码为奇 数的概率； （2）摸球实验中，求出两球同色的概率为，两球异色的概率为，设所求概率为 p，利用互斥事件概率 加法公式、相互独立事件概率乘法公式列出方程，能求出结果 【详解】解： （ ）由题意知，样本中鞋码为奇数的同学共人， 故所求概率即