河南省安阳市2019届高三高考数学一模试卷（理科）数学试题（解析版）

1 河南省安阳市河南省安阳市 20192019 届高三高考数学一模试卷（理科）数学试题届高三高考数学一模试卷（理科）数学试题 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的 1.已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 可解出集合A，B，然后进行交集的运算即可 【详解】，； 故选：A 【点睛】考查描述法、区间的定义，对数函数的定义域，以及交集的运算，属于简单题目. 2.已知复数：，则 z 在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】 对复数z进行化简，从而求出其所在的象限即可 【详解】， 故z在复平面内对应的点位于第二象限， 故选：B 【点睛】本题考查了复数的运算，考查复数的几何意义，是一道基础题 3.已知一组数据的茎叶图如图所示，则该组数据的平均数为（ ） A. 85B. 84C. 83D. 81 【答案】A 【解析】 2 【分析】 利用茎叶图、平均数的性质直接求解 【详解】由一组数据的茎叶图得： 该组数据的平均数为： 故选：A 【点睛】本题考查平均数的求法，考查茎叶图、平均数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 4.已知向量，则（ ） A. 2B. 3C. 6D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】 将两边平方可得 【详解】， 故选：B 【点睛】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属基础题 5.已知抛物线的焦点为 F，线段 OF（O 为坐标原点）的垂直平分线交抛物线于 M，N 两点， 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 求出M的坐标，得到p，然后求解|MF| 【详解】抛物线的焦点为， 线段 OF（O 为坐标原点）的垂直平分线交抛物线于，两点， 若，可得：，可得， 所以， 故选：C 3 【点睛】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查 6.设，,则 a，b，c 的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 利用幂函数的性质比较b与c的大小，利用指数函数的性质比较b与 1 的大小，利用对数式的运算性质得到 c大于 1，从而得到结论 【详解】因为在上是为增函数，且， 所以，即 ，而 所以 故选：B 【点睛】本题考查了不等关系与不等式，考查了基本初等函数的单调性，是基础题 7.的最小值为（ ） A. 18B. 16C. 8D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】 直接利用三角函数关系式的变换和基本不等式的应用求出结果 【详解】 ， 故选：B 【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转 化能力，属于基础题型 8.在的展开式中，x 的系数为（ ） A. 32B. 40C. 80D. 80 【答案】C 【解析】 4 【分析】 写出二项展开式的通项，由x的指数为 1 求得r值，则答案可求 【详解】的展开式的通项为 ， 令，得 r1 x 的系数为， 故选：C 【点睛】本题考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，二项式系数的性质，属基础题 9.已知函数的部分图象如图所示，则下列区间使函数单调递减的是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据图象求出三角函数的解析式，再由正弦函数的单调性求出其单调区间即可。 【详解】通过图象可知， 即 所以 由图象可知，当时， 解得 所以 令 解得 5 当 k=0 时，函数单调递减区间为，即 所以选 D 【点睛】本题考查了正弦函数图象与性质的综合应用，根据部分函数图象求解析式，运用整体法求单调区间， 属于基础题。 10.已知某几何体的三视图如图所示，若该几何体的外接球体积为，则 h（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由三视图知几何体为三棱锥，且三棱锥的一个侧棱与底面垂直，画出其直观图，根据正视图、 俯视图都是等腰直角三角形，通过外接球的体积，求出半径，然后求解棱锥的高h. 【详解】由三视图知几何体为三棱锥，且三棱锥的一个侧面与底面垂直，其直观图如图： O 为 AC 的中点， 正视图和俯视图都是等腰直角三角形，FO底面 ABC， ，几何体的外接球的球心为 E 是的外心，半径为 r，该几何体的外接球体积为， 外接球的体积， 故选：C 6 【点睛】本题考查了由三视图求几何体外接球的体积，解题的关键是根据三视图判断几何体的性质，求 得外接球的半径 11.若函数（）仅在处有极值，则 a 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 求导函数，要保证函数仅在处有极值，必须满足在两侧异号 【详解】由题意， 要保证函数仅在 x0 处有极值，必须满足在 x0 两侧异号， 所以要恒成立， 由判别式有：， ， a 的取值范围是 故选：A 【点睛】本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题 12.已知双曲线的一个焦点恰为圆 ：的圆心，且双曲线 C 的渐近 线方程为点 P 在双曲线 C 的右支上，分别为双曲线 C 的左、右焦点，则当取得最小 值时，（ ） A. 2B. 4C. 6D. 8 【答案】B 【解析】 7 【分析】 求得圆心可得焦点，由渐近线方程，可得a，b的方程，解得，设，运用双 曲线的定义，化简所求式子，利用基本不等式的性质即可得出最小值时所求值 【详解】由圆 ：的圆心（2，0） ，可得焦点， 双曲线 C 的近线方程为，可得， 且， 解得， 设，可得， ，当且仅当时取等号， 可得 故选：B 【点睛】本题考查双曲线的定义、标准方程与几何性质、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力， 属于中档题 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分 13.在区间上随机取一个数 x，则的概率为_ 【答案】 【解析】 【分析】 由条件知，然后解不等式的解，根据几何概型的概率公式即可得到结论 【详解】在区间之间随机抽取一个数 x，则， 由得， 根据几何概型的概率公式可知满足的概率为， 故答案为： 【点睛】本题主要考查几何概型的概率的计算，根据不等式的性质解出不等式的是解决本题的关键，比较基 础 14.已知 x，y 满足约束条件则的最小值是_ 【答案】-7 8 【解析】 【分析】 作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移求出最优解，代入即可求z的最小值 【详解】作出 x，y 满足约束条件 对应的平面区域如图： ，得， 平移直线，由图象可知当直线经过点 B 时， 直线的截距最大，此时 z 最小 由解得， 此时 z 的最小值为 故答案为：7 【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法注意目标函数 的几何意义 15.在正方体中，O 是 BD 的中点，点 P 在线段 OB 上移动（不与点 O，B 重合） ，异面直线 与所成的角为 ，则的取值范围是_ 【答案】 【解析】 【分析】 以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果 【详解】以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，为 z 轴，建立空间直角坐标系， 设正方体中棱长为 2， 9 则 A1（2，0，2） ，D（0，0，0） ，设 P（a，a，0） ，C1（0，2，2） ， ， 异面直线 A1D 与 C1P 所成的角为 ， ， ， 故答案为： 【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的取值范围的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置 关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题 16.如图，平面四边形 MNPQ 中，则 NP 的最小值为_ 【答案】 【解析】 【分析】 设，由正弦定理可得，在中，设，由余弦定理得 ，根据二次函数的性质即可求出最小值 【详解】设， 则在中，,， 10 由正弦定理可得，则 在中，设， 由余弦定理得 ， 当时，NP 最小，则 故答案为： 【点睛】本题考查了正余弦定理的应用，考查了转化思想、函数思想，属于中档题 三、解答题：共三、解答题：共 6060 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.已知数列为等差数列，且满足，数列满足， （）求数列的通项公式； （）若，求数列的前 n 项和 【答案】 （I）； （）. 【解析】 【分析】 （I）由等差数列的性质可得：，解得利用等比数列的通项公式即可得 出 （），利用错位相减法与等比数列的求和公式即可得出 【详解】 （I）由等差数列的性质可得：， 解得 数列满足， 可得：数列是等比数列，公比为 2 ，解得 （）若， 数列的前 n 项和， 11 ， ， 可得 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式性质与求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力， 属于中档题 18.如图，在三棱柱中，平面平面 ABC，侧面是 菱形，点 D，E 分别为，AC 的中点 （1）证明：平面； （）求直线与平面所成角的正弦值 【答案】 （I）见解析； （）. 【解析】 【分析】 （）取的中点F，证得AEFD为平行四边形，进而得AD，EF平行，得证； （）利用平行把转化为，只需作于M，可证得平面，从而确定为所求角， 结合正弦，余弦定理不难求解 【详解】 （1）证明：取的中点 F，连接 FD，FE， D 为的中点， 又 E 为 AC 中点， 四边形 AEFD 为平行四边形， 又 AD平面，EF平面，AD平面； （2）在三棱柱中，只需求与平面所成角， 在平面内作于 M， 平面平面 ABC，平面 ACC1A1， ，平面，即为与平面所成角， ， 12 侧面是菱形，CE，ECC1120°， 由余弦定理可得， 再由正弦定理得，得 故直线与平面所成角的正弦值为 【点睛】此题考查了线面平行，直线与平面所成角等，难度适中 19.为了应对日益严重的交通压力和空气质量问题，某城市准备出台新的交通限行政策，为了了解市民对 “汽车限行”的态度，在当地市民中随机选取 100 人进行调查，调查情况如表： 年龄段15，25）25，35）35，45）45，55）55，65）65，75 调查人数 51520n2010 赞成人数 3121718162 （）求出表格中 n 的值，并完成参与调查的市民年龄的频率分布直方图； （）从这 100 人中任选 1 人，若这个人赞成汽车限行，求其年龄在35，45）的概率； （）若从年龄在45，55）的参与调查的市民中按照是否赞成汽车限行进行分层抽样，从中抽取 10 人参与 某项调查，然后再从这 10 人中随机抽取 3 人参加座谈会，记这 3 人中赞成汽车限行的人数为随机变量 X， 求 X 的分布列及数学期望 13 【答案】 （I）见解析； （） ；（） . 【解析】 【分析】 （）由样本容量求出n的值，填写频率分布表，画出频率分布直方图； （）利用条件概率公式计算所求的概率值； （）利用分层抽样求出抽取的人数，得出随机变量X的可能取值，计算对应的频率值，写出分布列，求出 数学期望值 【详解】 （）由题意知，填写频率分布表如下； 年龄段 调查人数 51520302010 频率 0.050.150.200.300.200.10 0.0050.0150.0