安徽省蚌埠市2019届高三下学期第二次教学质量检查考试（理）数学试题（解析版）

蚌埠市2019届高三年级第二次教学质量检查考试数 学（理工类）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.复数满足，其中是虚数单位，则（ ）A. 1B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用复数的四则运算计算出后可得其模.【详解】因为，所以，所以，故选B.【点睛】本题考查复数的四则运算及复数的模，属于基础题.2.集合，.若，则满足条件的实数组成的集合为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】就、分别讨论，后者再利用得到相应的值.【详解】当时，符合；当时，因，故或者，故或，综上，故选C.【点睛】集合中的包含关系，要考虑含参数的集合为空集（或全集）的特殊情况，此处分类的标准是所讨论的集合何时为空集，不为空集时还要考虑集合中的元素是否是确定的，若不确定，还要进一步分类讨论.3.已知两个非零单位向量，的夹角为，则下列结论不正确的是（ ）A. 在方向上的投影为B. C. ，D. ，使【答案】D【解析】【分析】利用数量积的运算性质和投影的定义检验各选项可得正确的结果.【详解】对于A，在方向上的投影为，故A正确；因为是单位向量，故，故B正确；对于C，有，故C正确；对于D，故不存在使得.综上，选D.【点睛】向量数量积的运算满足分配律即 ，但不满足结合律，如一般情况下是不成立，另外，注意，其中为的夹角，其范围为，从这个定义我们可以得到.4.已知等差数列的前项和为，且满足，则（ ）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】B【解析】设等差数列的公差为,联立解得，则，故选B.5.函数，图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据函数的奇偶性和函数图像上的特殊点对选项进行排除，由此得出正确选项.【详解】，故函数为奇函数，图像关于原点对称，排除选项.由排除选项.由，排除C选项，故本小题选D.【点睛】本小题主要考查函数图像的识别，考查函数的奇偶性的判断方法，属于基础题.6.已知平面，两两垂直，直线，满足：，则直线，的位置关系不可能是（ ）A. 两两平行B. 两两垂直C. 两两相交D. 两两异面【答案】A【解析】【分析】在正方体中可找到实例满足B、C、D，可用反证法证明A不成立.【详解】如图，在正方体，平面、平面、平面两两垂直，则在这三个平面中，它们两两相交且两两垂直，故B,C正确.也在这三个平面中，它们彼此异面，故D正确；如下图所示，设，.在平面内任取一点（），过作，垂足分别为.因为，平面，故，因为，所以，同理，因，故，同理.若两两平行，因，故或者，若前者，因，则，故，而， 故，与矛盾；若后者，则，因，故，与矛盾.所以两两平行不成立，故A错，综上，选A.【点睛】立体几何中关于点、线、面之间位置关系的命题的真假问题，可在正方体中考虑它们成立与否，因为正方体中涵盖了点、线、面的所有位置关系，注意有时需要动态地考虑位置关系.7.安徽某景区每半小时会有一趟缆车从山上发车到山下，某人下午在山上，准备乘坐缆车下山，则他等待时间不多于5分钟的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意分析在何区间内等待时间可以控制在5分钟之内，再由概率计算公式即可求出结果.【详解】此人在25分到30分或55分到60分之间的5分钟内到达，等待时间不多于5分钟，所以他等待时间不多于分钟的概率为.故选B【点睛】本题主要考查几何概型，熟记公式即可求解，属于基础题型.8.设，若与的二项展开式中的常数项相等，则（ ）A. 4B. -4C. 2D. -2【答案】A【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式分别计算展开式中的常数项可得的大小.【详解】的展开式的通项公式为，令得到，故该展开式中的常数项为.的展开式的通项公式为，令得到，故该展开式中的常数项为.因常数项相等，故，解得，故选A.【点睛】二项展开式中指定项的计算，通常利用通项公式来处理，此类问题为基础题.注意通项公式的特点（指组合数的形式及其意义、各项的幂指数的形式与关系）.9.已知函数，先将图象上所有点的横坐标缩小到原来的（纵坐标不变），再将得到的图象上所有点向右平移个单位长度，得到的图象关于轴对称，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用辅助角公式得到，再利用周期变换得到对应的解析式为，结合该函数的对称轴可得向右的最小平移，使得得到的图像关于轴对称.【详解】，把图象上所有点的横坐标缩小到原来的，得到的解析式为，考虑该函数在轴左侧且最靠近轴的对称轴，该对称轴为，故只需把的图像向右平移个单位，所得的函数的图像关于轴对称，此时平移为最小平移.【点睛】三角函数的图像往往涉及振幅变换、周期变换和平移变换，注意周期变换和平移变换（左右平移）的次序对函数解析式的影响，比如，它可以由先向左平移个单位，再纵坐标不变，横坐标变为原来的，也可以先保持纵坐标不变，横坐标变为原来的，再向左平移.另外，求最小平移时，可结合图像的对称轴和对称中心来得到最小平移的长度.10.九章算术中描述的“羡除”是一个五面体，其中有三个面是梯形，另两个面是三角形.已知一个羡除的三视图如图粗线所示，其中小正方形网格的边长为1，则该羡除的体积为（ ）A. 20B. 24C. 28D. 32【答案】B【解析】【分析】画出五面体的直观图，利用割补法求其体积.【详解】五面体对应的直观图为：由三视图可得：，三个梯形均为等腰梯形且平面平面到底面的距离为，间的距离为.如下图所示，将五面体分割成三个几何体，其中为体积相等的四棱锥，且，则棱柱为直棱柱，为直角三角形.又；，故五面体的体积为.故选A.【点睛】本题考查三视图，要求根据三视图复原几何体，注意复原前后点、线、面的关系而不规则几何体的体积的计算，可将其分割成体积容易计算的规则的几何体.11.已知为抛物线的焦点，为原点，点是抛物线准线上一动点，若点在抛物线上，且，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用焦半径公式计算的横坐标后可得的坐标，求出关于准线的对称点后可得距离和的最小值.【详解】不妨为第一象限中的点，设（）.由抛物线的方程得，则，故，所以， 关于准线的对称点为，故，当且仅当 三点共线时等号成立，故选D.【点睛】在坐标平面中，定直线上的动点到两个定点的距离和的最小（或距离差的最大值），常常利用对称性把距离和的最值问题转化为三点共线的问题来处理.12.定义在上的函数满足，且，不等式有解，则正实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用已知条件求出，再用参变分离法求出的取值范围.【详解】因为，故，因，所以即.不等式有解可化为即在有解.令，则，当时，在上为增函数；当时，在上为减函数；故，所以，故选C.【点睛】不等式的恒成立问题，应优先考虑参变分离的方法，把恒成立问题转化为函数的最值（或最值的范围）问题来处理，有时新函数的最值点（极值点）不易求得，可采用设而不求的思想方法，利用最值点（极值点）满足的等式化简函数的最值可以求得相应的最值范围二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知实数，满足，则目标函数的最大值为_【答案】16【解析】【分析】画出不等式组对应的可行域，平移动直线可得目标函数的最大值【详解】不等式组对应的可行域如图所示：当动直线过点时，有最大值又由可得，故的最大值为，填【点睛】二元一次不等式组条件下的二元函数的最值问题，常通过线性规划来求最值，求最值时往往要考二元函数的几何意义，比如表示动直线的横截距的三倍 ，而则表示动点与的连线的斜率14.已知，数列的前项的和为，则_（用具体数字作答）.【答案】1533【解析】【分析】算出后利用等比数列的前项和公式可得.【详解】，为首项为3，公比为2的等比数列，故.填.【点睛】数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法.15.设，分别为双曲线的左、右焦点，是双曲线的右支上的点，满足，且原点到直线的距离等于双曲线的实半轴长，则该双曲线的离心率为_【答案】【解析】【分析】取的中点为，连接，利用已知条件可得且为直角三角形，从而，故可得所求的离心率【详解】设，则，故取的中点为，连接，则，故是到距离的两倍，所以，在中，有，所以，两边平方有即，所以，填【点睛】圆锥曲线中的离心率的计算，关键是利用题设条件构建关于的一个等式关系而离心率的取值范围，则需要利用坐标的范围、几何量的范围或点的位置关系构建关于的不等式或不等式组16.正三棱锥中，点在棱上，且.正三棱锥的外接球为球，过点作球的截面，截球所得截面面积的最小值为_【答案】【解析】【分析】通过补体可得球的直径及，平面截球的截面面积最小时，应有 平面，从而可计算截面圆的半径从而得到其面积的大小【详解】因为，所以，所以，同理，故可把正三棱锥补成正方体（如图所示），其外接球即为球，直径为正方体的体对角线，故，设的中点为，连接，则且，所以，当平面时，平面截球的截面面积最小，此时截面为圆面，其半径为，故截面的面积为填【点睛】如果三棱锥中，两两垂直，那么我们可以把该三棱锥补成一个长方体，这样三棱锥的外接球就是长方体的外接球，且外接球的直径就是长方体的体对角线三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。17.如图，等腰直角三角形中，点为内一点，且，.（1）求；（2）求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用两角和的正切公式得到，结合角的范围可得，在利用正弦定理可计算.（2）在中，利用余弦定理可计算，最后根据勾股定理得到.【详解】（1）由条件及两角和的正切公式得： ，而，所以，则，.在中，由正弦定理知：，即.（2）由（1）知，而在等腰直角三角形中，所以，则.在中，由余弦定理，.【点睛】三角形中共有七个几何量（三边三角以及外接圆的半径），一般地，知道其中的三个量（除三个角外），可以求得其余的四个量.（1）如果知道三边或两边及其夹角，用余弦定理；（2）如果知道两边即一边所对的角，用正弦定理（也可以用余弦定理求第三条边）；（3）如果知道两角及一边，用正弦定理.18.如图所示，菱形的边长为2，点为中点，现以线段为折痕将菱形折起使得点到达点的位置且平面平面，点，分别为，的中点.（1）求证：平面平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.【答案