广东省广州市实验中学、2018届高三10月联考数学（理）试题（解析版）

广东省实验中学2018届高三上学期10月段测试数学（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.复数（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题可知故本题答案选2.等差数列中，为等比数列，且，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据题意，利用等差数列的定义与性质，求出的值，再利用等比数列的性质求出的值【详解】等差数列中，又，所以，解得或（舍去），所以，所以故选【点睛】本题考查了等差与等比数列的性质与应用问题，考查了计算能力，是基础题目3.已知，“函数有零点”是“函数在上是减函数”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 即不充分也不必要条件【答案】B【解析】试题分析：由题意得，由函数有零点可得，而由函数在上为减函数可得，因此是必要不充分条件，故选B考点：1.指数函数的单调性；2.对数函数的单调性；3.充分必要条件.4.下面给出四种说法：设、分别表示数据、的平均数、中位数、众数，则；在线性回归模型中，相关指数表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，越接近于，表示回归的效果越好；绘制频率分布直方图时，各小长方形的面积等于相应各组的组距；设随机变量服从正态分布，则其中不正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】对于A，根据数据求出的平均数，众数和中位数即可判断；对于B，相关指数R2越接近1，表示回归的效果越好；对于C，根据频率分布直方图判定； 对于D，设随机变量服从正态分布N（4，22），利用对称性可得结论；【详解】解：将数据按从小到大的顺序排列为：、，中位数：；这组数据的平均数是因为此组数据中出现次数最多的数是，所以是此组数据的众数；则；越接近于，表示回归的效果越好，正确；根据频率分布直方图的意义，因为小矩形的面积之和等于，频率之和也为，所以有各小长方形的面积等于相应各组的频率；故错；随机变量服从正态分布，正态曲线的对称轴是，故正确故选【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及统计的基础知识：频率分布直方图和线性回归及分类变量X，Y的关系，属于基础题5.如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是该几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由三视图可得，直观图为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半，即可求出几何体的体积【详解】由三视图可得，直观图为一个完整的圆柱减去一个高为的圆柱的一半，故选【点睛】本题考查了由三视图还原几何体，体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题6.对于实数，若函数图象上存在点满足约束条件，则实数的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】作出不等式组表示的平面区域，观察图形可得函数的图象与直线xy+30交于点（1，2），当点A与该点重合时图象上存在点（x，y）满足不等式组，且此时m达到最小值，由此即可得到m的最小值【详解】作出不等式组表示的平面区域，得到如图的三角形，其中，再作出指数函数的图象，可得该图象与直线交于点，因此，当点与重合时，图象上存在点满足不等式组，且此时达到最小值，即的最小值为故选【点睛】本题给出二元一次不等式组，求能使不等式成立的m的最小值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和函数图象的作法等知识，属于中档题7.有一个球的内接圆锥，其底面圆周和顶点均在球面上，且底面积为已知球的半径，则此圆锥的侧面积为（ ）A. B. C. 或D. 【答案】C【解析】【分析】由题意列方程求出圆锥的高h，再求出圆锥的母线长l，即可求出圆锥的侧面积【详解】圆锥，是底面圆心，为球心， ，如图，在上， 如图，故选【点睛】本题考查了丁球内接圆锥的侧面积问题，求出圆锥的高是关键，考查空间想象能力与计算能力，属于中档题8.已知双曲线，过点的直线与相交于，两点，且的中点为，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由中点坐标公式，将A和B点代入双曲线的方程，两式相减即可求得直线的斜率，由直线AB的斜率k=1，即可求得=，根据双曲线的离心率公式，即可求得双曲线C的离心率【详解】设A（x1，y1），B（x2，y2），由AB的中点为N（12，15），则x1+x2=24，y1+y2=30，由，两式相减得：=，则=，由直线AB的斜率k=1，=1，则=，双曲线的离心率e=，双曲线C的离心率为，故选：B【点睛】本题考查双曲线的离心率公式，考查中点坐标公式，考查点差法的应用，考查直线的斜率，考查计算能力，属于中档题9.在正方体中，分别是棱，的中点，是与的交点，面与面相交于，面与面相交于，则直线，的夹角为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】画出图象，可得m即为CF，进而根据线面平行的判定定理和性质定理可得mn【详解】如图所示：，分别是棱，的中点，故，则面即为平面与平面相交于，即直线，由，可得平面，故面与面相交于时，必有，即，即直线，的夹角为故选【点睛】本题考查的知识点是空间直线的夹角，线面平行的判定定理及性质定理，难度中档10.已知函数，给出下列四个命题：函数的图象关于直线对称；函数 在区间上单调递增；函数 的最小正周期为；函数 的值域为其中真命题的个数是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用三角函数的周期性、单调性、值域以及它的图象的对称性，判断各个选项是否正确，从而得出结论【详解】解：对于函数，由于， 故的图象不关于直线对称，故排除在区间上，单调递增，故正确函数，故函数的最小正周期不是，故错误当时，故它的最大值为，最小值为；当时，综合可得，函数的最大值为，最小值为，故正确故选【点睛】本题主要考查三角函数的周期性、单调性、值域以及它的图象的对称性，属于中档题11.在抛物线与直线围成的封闭图形内任取一点，为坐标原点，则直线被该封闭图形解得的线段长小于的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】如图圆的方程为，由圆方程，直线方程，抛物线方程知，整个密闭区域的面积为，满足条件的区域面积为由几何概型知所求概率为故本题答案选12.若函数在上存在两个极值点，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】函数在(0,2)上存在两个极值点，等价于 在(0,2)上有两个零点，令f(x)=0,则 ，即 ，x1=0或 ，x=1满足条件,且 (其中x1且x(0,2)； ,其中x(0,1)(1,2)；设t(x)=exx2,其中x(0,1)(1,2)；则t(x)=(x2+2x)ex>0，函数t(x)是单调增函数，t(x)(0,e)(e,4e2)，a.本题选择D选项.点睛：2求极值、最值时，要求步骤规范、表格齐全，区分极值点与导数为0的点；含参数时，要讨论参数的大小3求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论一个函数在其定义域内最值是唯一的，可以在区间的端点取得 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知，则，的大小是_【答案】【解析】【分析】根据指数函数与对数函数的单调性可得：ab，clog67即可得出【详解】解：ab，clog67cab故答案为：cab【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题14.已知平面向量，的夹角为，且，若平面向量满足，则_【答案】【解析】由题可设,设,由题,解得，.15.展开式中，常数项是_【答案】60【解析】解：因为展开式中，通项公式为，令x的次数为零可知常数项为60.16.设数列满足，且，若表示不超过的最大整数，则_【答案】【解析】构造，则由题意可得：故数列是为首项，为公差的等差数列，以上个式子相加可得解得，则点睛：本题考查了等差数列的通项公式及数列的递推式的应用，考查了累加求和的方法，裂项求和方法的应用，解答本题的关键是熟练掌握通项公式的求法，考查了学生的推理能力和计算能力，属于中档题。三、解答题（本大题共6小题，满分70分解答应写出文字说明、演算步骤和推证过程）17.已知函数（）若，求的值（）在中，角，的对边分别是，且满足，求的取值范围【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）先进行三角恒等变形，使化为的形式，求出的值，再利用与的关系进行求值；（2）先利用余弦定理求出角A,化简，利用B的范围进行求解.试题解析： （1）f（x）sincoscos2sincossin.由f（x）1，可得sin.coscos（x）cos（x）2sin2（）1.（2）由acos Ccb，得a·cb，即b2c2a2bc，所以cos A.因为A（0，），所以A，BC，所以0<B<，所以<<，所以f（B）sin考点：1.三角恒等变形；2.余弦定理；3.三角函数的图像与性质18.某大学生从全校学生中随机选取名统计他们的鞋码大小，得到如下数据： 鞋码合计男生女生以各性别各鞋码出现的频率为概率（）从该校随机挑选一名学生，求他（她）的鞋码为奇数的概率（）为了解该校学生考试作弊的情况，从该校随机挑选名学生进行抽样调查每位学生从装有除颜色外无差别的个红球和个白球的口袋中，随机摸出两个球，若同色，则如实回答其鞋码是否为奇数；若不同色，则如实回答是否曾在考试中作弊这里的回答，是指在纸上写下“是”或“否”若调查人员回收到张“是”的小纸条，试估计该校学生在考试中曾有作弊行为的概率【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题意知样本中鞋码为奇数的同学共55人，由此能求从该校随机挑选一名学生，他（她）的鞋码为奇数的概率；（2）摸球实验中，求出两球同色的概率为，两球异色的概率为，设所求概率为p，利用互斥事件概率加法公式、相互独立事件概率乘法公式列出方程，能求出结果【详解】解： （）由题意知，样本中鞋码为奇数的同学共人，