黑龙江省齐齐哈尔市2019届高三第二次模拟考试数学（文科）试题（解析版）

1 齐齐哈尔市齐齐哈尔市 20192019 届高三第二次模拟考试届高三第二次模拟考试 数学试卷（文科）数学试卷（文科） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 个小题，每小题个小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分分. .在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的. . 1.已知 是虚数单位，复数，则 的实部为（ ） A. -3B. 3C. -2D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】 利用复数除法运算法则化简复数 z，结合实部概念得到结果. 【详解】， 的实部为-3 故选：A 【点睛】本题考查复数的代数运算，考查复数的基本概念，属于基础题. 2.若集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 化简集合 B，由交集概念得到结果. 【详解】， ，. 故选：D 【点睛】本题考查交集的概念与运算，属于基础题. 3.若双曲线的一条渐近线与过其右焦点的直线平行，则该双曲线的实轴长 为（ ） A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】B 2 【解析】 【分析】 由题意可得，从而得到结果. 【详解】双曲线的一条渐近线与过其右焦点的直线平行， ，. 故选：B 【点睛】本题考查双曲线的几何性质，考查运算能力，属于基础题. 4.若向量 ， 满足，则（ ） A. 5B. 6C. 7D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】 对条件，两边平方可得，从而可得结果. 【详解】 ， ， . 故选：C 【点睛】本题考查平面向量的数量积运算，考查向量模的性质，考查运算能力，属于基础题. 5.某研究机构在对具有线性相关的两个变量 和 进行统计分析时，得到如表数据由表中数据求得 关于 的 回归方程为，则在这些样本点中任取一点，该点落在回归直线下方的概率为（ ） 4681012 12356 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 分析：求出样本点的中心，求出 的值，得到回归方程得到 5 个点中落在回归直线下方的有（ 3 ，共 2 个，求出概率即可 详解： 故，解得：， 则 故 5 个点中落在回归直线下方的有，共 2 个， 故所求概率是， 故选：A 点睛：本题考查了回归方程问题，考查概率的计算以及样本点的中心，是一道基础题 6.若函数的最小正周期为 ，则的单调增区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 化简函数，由周期性得到，进而得到函数的单调增区间. 【详解】， 由得. 故选：A 【点睛】本题考查正弦型函数的图像与性质，考查函数的周期性与单调性，考查三角恒等变换，属于中档题. 7.如图所示的程序框图，若输出的，则输入的整数值为（ ） A. 7B. 8C. 9D. 10 【答案】C 4 【解析】 【分析】 根据程序框图的运行，得到每一步的 和 的值，当停止循环，输出 时，此时的 用表示，令其等于，得 到结果. 【详解】执行程序框图，可得 ，； ，； ， 输出，由得. 故选 C 项. 【点睛】本题考查程序框图的运行，根据输出值求输入值，属于简单题. 8.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A. 210B. 208C. 206D. 204 【答案】D 【解析】 【分析】 根据三视图还原出原几何体，并得到各棱的长度，通过切割法求出其体积. 【详解】 由已知中的三视图可得：该几何体是由一个正方体切去一个三棱锥所得的组合体， 正方体的边长为 6， 切去一个三棱锥的底面是直角边长分别为 6，6 的等腰直角三角形，高为 2， 故该几何体的体积为. 故选 D 项. 5 【点睛】本题考查三视图还原几何体，切割法求几何体体积，属于简单题. 9.德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学届的王子，19 岁的高斯得到了一个数学史上非常重要的结论，就 是正十七边形尺规作图之理论与方法 ，在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相 加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法. 现有函数，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 通过材料，理解高斯算法，根据高斯算法进行倒序相加，得到答案. 【详解】 ， 又 ， 两式相加可得 . 故选 A 项. 【点睛】本题考查对题意的理解，倒序相加法求和，属于简单题. 10.已知函数是偶函数，定义域为 ，单调增区间为，且，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 利用偶函数的性质分类讨论解不等式即可. 【详解】由题意可知：函数在单调递减，且 令，则.当时，；当，或 .或. 故选：C 【点睛】本题考查综合函数的奇偶性与单调性，注意奇函数在对称区间的单调性相同，而偶函数在对称区间 的单调性相反 11.已知三棱锥的四个顶点都在球 的球面上，若平面， 6 ，则球 的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由于 C 处的三条棱两两垂直，可以把三棱锥补成长方体，求出体对角线长，即外接球的直径. 【详解】由于 C 处的三条棱两两垂直，可以把三棱锥补成长方体. 设球 O 半径为 ，则，球表面积. 故选：B 【点睛】本题考查球 O 的表面积，考查学生的计算能力，求出球的半径是关键,属基础题. 12.已知若方程有唯一解，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据得到解析式，画出图像，对方程进行整理得 ，在同一坐标系下画出等号两边的函数图像，则两个函数图像有且仅有一个交点，找到符 合要求的位置，得到相应的 的范围. 【详解】 方程进行整理得 作出函数的图像，如图所示. 直线恒过，即直线绕点旋转， 当直线过点时，； 7 当直线与曲线相切时，设切点， ，则切线斜率为 切线方程为 代入过点，得 解得，此时斜率为 可求得. 根据图像可知当或时，方程有唯一解. 【点睛】本题考查分段函数的图像，图像的交点与方程的解，利用导数求过一点的函数切线，数形结合的数 学思想，属于难题. 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 5 分，满分分，满分 2020 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 13.曲线在点处的切线方程为_ 【答案】 【解析】 【分析】 求得函数的导数，可得切线的斜率，由点斜式方程可得切线方程 【详解】 x=0 时， 故答案为： 【点睛】本题考查导数的运用：求切线方程，考查方程思想和运算能力，属于基础题 8 14.已知变量满足约束条件则目标函数的最小值为_ 【答案】 【解析】 【分析】 作出不等式组对应的平面区域，数形结合即可得到目标函数的最小值 【详解】解：作出不等式组对应的平面区域如图： 设 zx+2y 得 yx， 平移直线 yx，由图象可知当直线 yx经过点 A 时，纵截距最小，z 也最小， 由，解得 A（3，2） 目标函数的最小值为 故答案为： 【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用 z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键 15.已知椭圆的左焦点为 ，右顶点为 ，上顶点为 .若点 到直线的距离为， 则该椭圆的离心率为_ 【答案】 【解析】 【分析】 由椭圆的顶点和截距式方程求出直线 AB 的方程，化为一般式方程，利用点到直线的距离公式列出方程化简， 再由 a、b、c 的关系求出离心率的值 9 【详解】方程为，点到直线的距离为，. . 故答案为： 【点睛】本题考查了椭圆的方程与性质，考查了点到直线的距离公式，考查推理能力与运算能力，属于中档 题. 16.在锐角中，角的对边分别为，若，则的取值范围是 _ 【答案】 【解析】 【分析】 由结合三角恒等变换知识可得，即，从而得到，又 ，进而可得结果. 【详解】由已知得， ，. 是锐角三角形， 且， . ，.又， . 故答案为： 【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理的应用考查了学生对三角函数基础知识的理 解和灵活运用 三、解答题：共三、解答题：共 7070 分分. .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. . 17.已知等差数列的前 项和为，且成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）设为数列的前 项和，求满足的最小的 值. 10 【答案】 （1）；（2）14. 【解析】 【分析】 （1）设出等差数列的基本量，根据条件，得到方程，解出首项和公差，可以得到的通项. （2）根据（1）得到的通项，求出前 项和，得到的通项，然后利用裂项相消求和得到，从而求出满 足的最小的 值. 【详解】 （1）设等差数列的公差为 ， 由得， 由，成等比数列 得且， ， ， 等差数列的通项公式为. （2）， ， ， 由得， ， 的最小值为 14. 【点睛】本题考查等差数列中基本量的计算，裂项法求数列通项，属于中档题. 18.某县共有户籍人口 60 万，经统计，该县 60 岁及以上、百岁以下的人口占比，百岁及以上老人 15 人.现从该县 60 岁及以上、百岁以下的老人中随机抽取 230 人，得到如下频数分布表： 年龄段（岁） 人数（人） 12575255 （1）从样本中 70 岁及以上老人中，采用分层抽样的方法抽取 21 人，进一步了解他们的生活状况，则 80 岁 11 及以上老人应抽多少人？ （2）从（1）中所抽取的 80 岁及以上老人中，再随机抽取 2 人，求抽到 90 岁及以上老人的概率； （3）该县按省委办公厅、省人民政府办公厅关于加强新时期老年人优待服务工作的意见精神，制定如 下老年人生活补贴措施，由省、市、县三级财政分级拨款： 本县户籍 60 岁及以上居民，按城乡居民养老保险实施办法每月领取 55 元基本养老金； 本县户籍 80 岁及以上老年人额外享受高龄老人生活补贴； （a）百岁及以上老年人，每人每月发放 345 元的生活补贴； （b）90 岁及以上、百岁以下老年人，每人每月发放 200 元的生活补贴； （c）80 岁及以上、90 岁以下老年人，每人每月发放 100 元的生活补贴. 试估计政府执行此项补贴措施的年度预算. 【答案】 （1）6；（2） ；（3）6984 万元 【解析】 【分析】 （1）采用分层抽样的方法抽，求出各阶段人数的比例，即可求出结果； （2）直接利用古典概型公式即可得到结果； （3）根据县 60 岁以上、百岁以下的人口占比 13.8%，计算本县户籍 60 岁各阶段人数每月领取 55 元基本 养老金，再加外享受高龄老人生活补贴计算总和政府执行此项补贴措施的年度预算 【详解】 （1）样本中 70 岁及以上老人共 105 人，其中 80 岁及以上老人 30 人， 所以 21 人中，80 岁及以上老人应抽人. （2）在（1）中所抽取的 80 岁及以上的 6 位老人中，90 岁及以上老人 1 人，记为 ，其余 5 人分别记为 ，从中任取 2 人，基本事件共 15 个： ，. 记“抽到 90 岁及以上老人”为事件，则包含 5 个基本事件， . （3）样本中 230 人的月预算为（元） ， 用样本估计总体，年预算为（元）. 所以政府执行此项补贴措施的年度预算为 6984 万元. 【点睛】本题考查了样本的数字特征及频率分布表的应用，考查古典概型，考查计算能力，考查分析问题解 决问题的能力，属于基础题 12 19.如图，在直三棱柱中，分别为，的中点，. （1）求证：； （2）若平面，且，求点 到平面的距离. 【答案】 （1）证明见解析；（2）. 【解析】 【分析】 （1）要证明，转证平面即可； （2）设平面与的交点为 ，易得四边形是平行四边形.利用等积法即可得到点 到平面的 距离 【详解】 （1）在直三棱柱中， 又，且，平面， 平面，又