2014--2015学年高一数学精品课件：2231直线与圆的位置关系北师大版必修二

2.3 直线与圆、圆与圆的位置关系 第1课时 直线与圆的位置关系,直线与圆的位置关系及判断 直线Ax+By+C=0(A2+B20)，圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r0) (1)直线与圆有三种位置关系： 直线与圆_，有两个公共点. 直线与圆_，有一个公共点. 直线与圆_，没有公共点.,相交,相切,相离,(2)判断直线与圆的位置关系的两种方法： 几何法：利用圆心到直线的距离d与半径r的大小判断： _相交，_相切，_相离. 代数法：联立直线与圆的方程，消元转化为一元二次方程， 利用判别式“”进行判断： _相交，_相切，_相离.,dr,d=r,dr,0,=0,0,1.判一判(正确的打“”，错误的打“×”) (1)过一点作圆的切线有一条.( ) (2)如果一条直线被圆截得的弦长最大，则该直线过圆心.( ) (3)直线ax+y=1与圆x2+(y-1)2=1的位置关系与a有关.( ),【解析】(1)错误，当点在圆上时，切线有一条；当点在圆外时，切线有两条，当点在圆内时，无切线. (2)正确.直线被圆截，所得最长弦为直径. (3)错误.直线ax+y=1过定点(0，1)，即直线一定过圆心，所以直线一定与圆相交，与a的值无关. 答案：(1)× (2) (3)×,2.做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)直线x+y=1与圆(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是_. (2)圆x2+y2=r2与直线x+y=1相切，则r的取值是_. (3)直线l：x+y=a过原点，则l与圆(x-1)2+y2=2的位置关系是_.,【解析】(1)圆心为(1，1)，半径为1，圆心到直线x+y=1的距 离为 所以直线与圆相交. 答案：相交 (2)因为圆与直线相切， 所以圆心(0，0)到x+y=1的距离d=|r|， 所以 所以 所以r的取值是 答案：,(3)因为x+y=a过原点，所以a=0， 所以直线方程为x+y=0， 圆心(1，0)到直线x+y=0的距离为 所以直线与圆相交. 答案：相交,【要点探究】 知识点1 直线与圆的位置关系 对直线与圆的位置关系的两点说明 (1)直线与圆的位置关系可以按照由远及近的顺序记忆： 相离(没有公共点)相切(只有一个公共点)相交(两个公共点).,(2)直线与圆的位置关系用图形可以表示为,【微思考】 (1)直线与圆会不会有两个以上的交点？ 提示：不会，直线与圆最多有两个交点. (2)直线如果过圆内一点，也过圆外一点，是否直线与圆一定有交点？ 提示：一定有.因为直线与圆在同一平面内且过圆内一点，所以直线与圆一定有交点.,【即时练】 1.如果圆(x-1)2+(y-1)2=a2与两坐标轴恰有两个交点，那么a的取值为_. 2.圆x2+2x+y2=0与直线y=x+b没有交点，则b的取值范围是_.,【解析】1.因为(x-1)2+(y-1)2=a2与两坐标轴恰有两个交点，所以圆与坐标轴相切，所以|a|=1，a=±1. 答案：±1,2.圆x2+2x+y2=0可化为(x+1)2+y2=1， 圆心为(-1，0)，半径r=1. 如图当直线y=x+b与圆相切时，两条直线分别交x轴于点A，B， 则A( -1，0)，B(-1- ，0)， 所以直线与圆没有公共点时，b +1. 答案：(-，- +1)( +1，+),知识点2 圆的切线 1.切线条数 已知一点求切线时，先明确切线的条数. 当已知点是圆上一点时，切线有一条. 当已知点是圆外一点时，切线有两条. 当已知点是圆内一点时，不存在切线.,2.切线方程求法 求切线方程有两种方法：一是代数法，通过令一元二次方程判别式等于零求解； 二是几何法，利用圆心到直线的距离等于半径求解.,【微思考】 (1)当直线与圆相切时，圆心O到直线l的距离d，与半径r有什么数量关系？ 提示：d=r. (2)设切线长为|PQ|(Q为切点)，P到圆心的距离为|PO|，圆的半径为r，则三者之间有怎样的数量关系？ 提示：|PO|2=|PQ|2+r2.,【即时练】 1.圆(x-2)2+y2=1与直线x=a相切，则a=_. 2.过点(1，1)的圆x2+y2=1的切线方程为_. 【解析】1.由题意知|2-a|=1， a=1或a=3. 答案：1，3 2.由图知切线方程为x=1，y=1. 答案：x=1，y=1,【题型示范】 类型一 直线与圆的位置关系问题 【典例1】 (1)直线x+y+1=0与圆(x-1)2+y2=2的位置关系是( ) A.相交 B.相离 C.相切 D.不能确定 (2)已知圆的方程是x2+y2=1，直线y=x+b.当b为何值时， 圆与直线只有一个公共点； 圆与直线有两个公共点； 圆与直线没有公共点.,【解题探究】 1.题(1)中圆心坐标和半径分别是多少？圆心到直线的距离用什么公式求解？ 2.在题(2)中，圆与直线有两个公共点，需满足什么条件？,【探究提示】1.根据圆的方程可知圆心坐标为(1，0)，半径 为 ，圆心到直线的距离用点到直线的距离公式 求解. 2.直线与圆有两个公共点，直线与圆需相交即圆心到直线的距 离小于半径，或联立直线和圆的方程，得到关于x的一元二次 方程，其判别式大于0.,【自主解答】(1)选C.圆(x-1)2+y2=2的圆心为(1，0)，半径 为 ， 所以圆心(1，0)到直线的距离为 所以直线与圆相切，故选C.,(2)方法一：圆x2+y2=1的圆心(0，0)到直线l：y=x+b的距离 d= ，圆的半径为r=1. 当d= =1，即b=± 时，直线与圆相切，此时直线与圆 只有一个公共点. 当d= 1，即b 时，直线与圆相离，此时直 线与圆没有公共点.,方法二：联立直线和圆的方程组成方程组： 整理可得2x2+2bx+b2-1=0，其中=4(2-b2). 当=0，即b=± 时，直线和圆相切，此时直线和圆只有 一个公共点. 当0，即- 时，直线和圆相离，此时直线和 圆没有公共点.,【方法技巧】直线与圆位置关系的两种判断方法比较 (1)若直线和圆的方程已知或圆心到直线的距离易表达，则利用几何法较简单. (2)若直线或圆的方程中含有参数，且圆心到直线的距离较复杂，则用代数法较简单.,【变式训练】(2014·西城区高一检测)在同一坐标系下，直 线ax+by=ab和圆(x-a)2+(y-b)2=r2(ab0，r0)的图象可能 是( ),【解析】选D.直线ax+by=ab在x轴，y轴上的截距分别为b和a，圆心横坐标为a，纵坐标为b. 在A中，由直线位置可得b0，这不可能，故A不正确. 在B中，由直线位置可得a0，而由圆的位置可得a0，这不可能，故B不正确.,在C中，由直线位置可得a0，而由圆的位置可得a0，b0，b0，故D满足条件，故选D.,【补偿训练】在RtABC中，C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r为半径的圆与AB有怎样的位置关系？为什么？ (1)r=2cm.(2)r=2.4cm.(3)r=3cm.,【解析】过C作CDAB，垂足为D，在ABC中， 根据三角形的面积公式有 CD×AB= AC×BC， 所以CD= =2.4(cm). 即圆心C到AB的距离d=2.4cm. 所以， (1)当r=2cm时，有dr，因此，圆与AB相离. (2)当r=2.4cm时，有d=r，因此，圆与AB相切. (3)当r=3cm时，有dr，因此，圆与AB相交.,类型二 与圆的切线有关的问题 【典例2】 (1)若直线x+y+m=0与圆x2+y2=m相切，则m的值为( ) A.0或2 B.2 C. D.无解 (2)与直线y=x+3平行且与圆(x-2)2+(y-3)2=8相切的直线方程是_. (3)过点M(2，4)向圆(x-1)2+(y+3)2=1引切线，求其切线的方程.,【解题探究】 1.题(1)中直线与圆相切满足什么条件？ 2.题(2)中据条件可知所求直线的什么条件？ 3.点与圆的位置关系有几种？题(3)中的点M与已知圆的位置关系是什么？,【探究提示】1.直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径. 2.据条件可知所求直线的斜率为1. 3.点与圆有三种位置关系，分别为点在圆上，点在圆外，点在圆内，题(3)中把点M的坐标代入圆的方程可知：点M在圆外.,【自主解答】(1)选B.依题意得 所以m2=2m，因为m0，所以m=2. (2)方法一：设直线的方程为y=x+m， 即x-y+m=0. 圆(x-2)2+(y-3)2=8的圆心坐标为(2，3)， 半径为2 . 由 得m=5或m=-3. 所以直线方程为y=x+5或y=x-3.,方法二：设直线的方程为y=x+m，与圆的方程联立得方程组 消去y得2x2+(2m-10)x+m2-6m+5=0， 由直线与圆相切， =(2m-10)2-8(m2-6m+5)=0， 即m2-2m-15=0， 解得m=5或m=-3， 所以直线的方程为y=x+5或y=x-3. 答案：y=x+5或y=x-3,(3)由于(2-1)2+(4+3)2=501，故点M在圆外. 当切线斜率存在时，设切线方程是y-4=k(x-2)，即 kx-y+4-2k=0，由于直线与圆相切， 故 解得k= ， 所以切线方程为24x-7y-20=0. 又当切线斜率不存在时，直线x=2与圆相切. 综上所述，所求切线方程为24x-7y-20=0或x=2.,【延伸探究】题(3)中，若所给点M的坐标是(1，-4)，求切线方程. 【解析】由于(1-1)2+(-4+3)2=1，故点(1，-4)在圆上，又圆心为(1，-3)， 所以切线斜率为0， 所以切线方程为y=-4， 即y+4=0.,【方法技巧】圆的切线的求法 (1)点在圆上时： 求过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程：先求切点与圆心连线 的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为- ，由点斜式可得切 线方程.如果切点与圆心连线的斜率为零或不存在，则由图形 可直接得切线方程为x=x0或y=y0.,(2)点在圆外时： 几何法：设切线方程为y-y0=k(x-x0).由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，也就得切线方程. 代数法：设切线方程为y-y0=k(x-x0)，与圆的方程联立，消去y后得到关于x的一元二次方程，由=0求出k，可得切线方程. 还应注意切线斜率不存在的情况.,【变式训练】(2013·天津高考)已知过点P(2，2)的直线与圆(x-1)2+y2=5相切，且与直线ax-y+1=0垂直，则a=( ) A.- B.1 C.2 D. 【解题指南】根据圆的切线的性质确定切线的斜率，再由两直线垂直求a的值.,【解析】选C.因为点P(2，2)为圆(x-1)2+y2=5上的点，由圆的 切线性质可知，圆心(1，0)与点P(2，2)的连线与过点P(2，2) 的切线垂直.因为圆心(1，0)与点P(2，2)的连线的斜率k=2， 故过点P(2，2)的切线斜率为- ，所以直线ax-y+1=0的斜率为 2，因此a=2.,【补偿训练】已知圆(x-2)2+(y-3)2=1，求该圆与在x轴和y轴的 截距相等的切线l的方程. 【解析】由题意设切线l与x轴和y轴的截距均为a， 当a0时，设l的方程为 即x+y-a=0，因为直线l 和圆相切，所以圆心(2，3)到直线l的距离等于圆的半径长，故 解得a=5+ 或a=5- .所以切线l的方程为x+y- (5+ )=0或x+y-(5- )=0，,当a=0时，设l的方程为y=kx，即kx-y=0， 所以 解得 所以切线l的方程为(6+2 )x-3y=0或(6-2 )x-3y=0. 综上所述，切线l的方程为x+y-(5+ )=0或x+y-(5- )=0 或(6+2 )x-