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2014--2015学年高一数学精品课件:2231直线与圆的位置关系北师大版必修二

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    • 1、2.3 直线与圆、圆与圆的位置关系 第1课时 直线与圆的位置关系,直线与圆的位置关系及判断 直线Ax+By+C=0(A2+B20),圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r0) (1)直线与圆有三种位置关系: 直线与圆_,有两个公共点. 直线与圆_,有一个公共点. 直线与圆_,没有公共点.,相交,相切,相离,(2)判断直线与圆的位置关系的两种方法: 几何法:利用圆心到直线的距离d与半径r的大小判断: _相交,_相切,_相离. 代数法:联立直线与圆的方程,消元转化为一元二次方程, 利用判别式“”进行判断: _相交,_相切,_相离.,dr,d=r,dr,0,=0,0,1.判一判(正确的打“”,错误的打“”) (1)过一点作圆的切线有一条.( ) (2)如果一条直线被圆截得的弦长最大,则该直线过圆心.( ) (3)直线ax+y=1与圆x2+(y-1)2=1的位置关系与a有关.( ),【解析】(1)错误,当点在圆上时,切线有一条;当点在圆外时,切线有两条,当点在圆内时,无切线. (2)正确.直线被圆截,所得最长弦为直径. (3)错误.直线ax+y=1过定点(0,1),即直线一定过圆心,所以直线一

      2、定与圆相交,与a的值无关. 答案:(1) (2) (3),2.做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)直线x+y=1与圆(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是_. (2)圆x2+y2=r2与直线x+y=1相切,则r的取值是_. (3)直线l:x+y=a过原点,则l与圆(x-1)2+y2=2的位置关系是_.,【解析】(1)圆心为(1,1),半径为1,圆心到直线x+y=1的距 离为 所以直线与圆相交. 答案:相交 (2)因为圆与直线相切, 所以圆心(0,0)到x+y=1的距离d=|r|, 所以 所以 所以r的取值是 答案:,(3)因为x+y=a过原点,所以a=0, 所以直线方程为x+y=0, 圆心(1,0)到直线x+y=0的距离为 所以直线与圆相交. 答案:相交,【要点探究】 知识点1 直线与圆的位置关系 对直线与圆的位置关系的两点说明 (1)直线与圆的位置关系可以按照由远及近的顺序记忆: 相离(没有公共点)相切(只有一个公共点)相交(两个公共点).,(2)直线与圆的位置关系用图形可以表示为,【微思考】 (1)直线与圆会不会有两个以上的交点? 提示:不会,直线与圆最多有两个交点. (

      3、2)直线如果过圆内一点,也过圆外一点,是否直线与圆一定有交点? 提示:一定有.因为直线与圆在同一平面内且过圆内一点,所以直线与圆一定有交点.,【即时练】 1.如果圆(x-1)2+(y-1)2=a2与两坐标轴恰有两个交点,那么a的取值为_. 2.圆x2+2x+y2=0与直线y=x+b没有交点,则b的取值范围是_.,【解析】1.因为(x-1)2+(y-1)2=a2与两坐标轴恰有两个交点,所以圆与坐标轴相切,所以|a|=1,a=1. 答案:1,2.圆x2+2x+y2=0可化为(x+1)2+y2=1, 圆心为(-1,0),半径r=1. 如图当直线y=x+b与圆相切时,两条直线分别交x轴于点A,B, 则A( -1,0),B(-1- ,0), 所以直线与圆没有公共点时,b +1. 答案:(-,- +1)( +1,+),知识点2 圆的切线 1.切线条数 已知一点求切线时,先明确切线的条数. 当已知点是圆上一点时,切线有一条. 当已知点是圆外一点时,切线有两条. 当已知点是圆内一点时,不存在切线.,2.切线方程求法 求切线方程有两种方法:一是代数法,通过令一元二次方程判别式等于零求解; 二是几何法,利

      4、用圆心到直线的距离等于半径求解.,【微思考】 (1)当直线与圆相切时,圆心O到直线l的距离d,与半径r有什么数量关系? 提示:d=r. (2)设切线长为|PQ|(Q为切点),P到圆心的距离为|PO|,圆的半径为r,则三者之间有怎样的数量关系? 提示:|PO|2=|PQ|2+r2.,【即时练】 1.圆(x-2)2+y2=1与直线x=a相切,则a=_. 2.过点(1,1)的圆x2+y2=1的切线方程为_. 【解析】1.由题意知|2-a|=1, a=1或a=3. 答案:1,3 2.由图知切线方程为x=1,y=1. 答案:x=1,y=1,【题型示范】 类型一 直线与圆的位置关系问题 【典例1】 (1)直线x+y+1=0与圆(x-1)2+y2=2的位置关系是( ) A.相交 B.相离 C.相切 D.不能确定 (2)已知圆的方程是x2+y2=1,直线y=x+b.当b为何值时, 圆与直线只有一个公共点; 圆与直线有两个公共点; 圆与直线没有公共点.,【解题探究】 1.题(1)中圆心坐标和半径分别是多少?圆心到直线的距离用什么公式求解? 2.在题(2)中,圆与直线有两个公共点,需满足什么条件?,【探究

      5、提示】1.根据圆的方程可知圆心坐标为(1,0),半径 为 ,圆心到直线的距离用点到直线的距离公式 求解. 2.直线与圆有两个公共点,直线与圆需相交即圆心到直线的距 离小于半径,或联立直线和圆的方程,得到关于x的一元二次 方程,其判别式大于0.,【自主解答】(1)选C.圆(x-1)2+y2=2的圆心为(1,0),半径 为 , 所以圆心(1,0)到直线的距离为 所以直线与圆相切,故选C.,(2)方法一:圆x2+y2=1的圆心(0,0)到直线l:y=x+b的距离 d= ,圆的半径为r=1. 当d= =1,即b= 时,直线与圆相切,此时直线与圆 只有一个公共点. 当d= 1,即b 时,直线与圆相离,此时直 线与圆没有公共点.,方法二:联立直线和圆的方程组成方程组: 整理可得2x2+2bx+b2-1=0,其中=4(2-b2). 当=0,即b= 时,直线和圆相切,此时直线和圆只有 一个公共点. 当0,即- 时,直线和圆相离,此时直线和 圆没有公共点.,【方法技巧】直线与圆位置关系的两种判断方法比较 (1)若直线和圆的方程已知或圆心到直线的距离易表达,则利用几何法较简单. (2)若直线或圆的方程中含

      6、有参数,且圆心到直线的距离较复杂,则用代数法较简单.,【变式训练】(2014西城区高一检测)在同一坐标系下,直 线ax+by=ab和圆(x-a)2+(y-b)2=r2(ab0,r0)的图象可能 是( ),【解析】选D.直线ax+by=ab在x轴,y轴上的截距分别为b和a,圆心横坐标为a,纵坐标为b. 在A中,由直线位置可得b0,这不可能,故A不正确. 在B中,由直线位置可得a0,而由圆的位置可得a0,这不可能,故B不正确.,在C中,由直线位置可得a0,而由圆的位置可得a0,b0,b0,故D满足条件,故选D.,【补偿训练】在RtABC中,C=90,AC=3cm,BC=4cm,以C为圆心,r为半径的圆与AB有怎样的位置关系?为什么? (1)r=2cm.(2)r=2.4cm.(3)r=3cm.,【解析】过C作CDAB,垂足为D,在ABC中, 根据三角形的面积公式有 CDAB= ACBC, 所以CD= =2.4(cm). 即圆心C到AB的距离d=2.4cm. 所以, (1)当r=2cm时,有dr,因此,圆与AB相离. (2)当r=2.4cm时,有d=r,因此,圆与AB相切. (3)当r=3cm

      7、时,有dr,因此,圆与AB相交.,类型二 与圆的切线有关的问题 【典例2】 (1)若直线x+y+m=0与圆x2+y2=m相切,则m的值为( ) A.0或2 B.2 C. D.无解 (2)与直线y=x+3平行且与圆(x-2)2+(y-3)2=8相切的直线方程是_. (3)过点M(2,4)向圆(x-1)2+(y+3)2=1引切线,求其切线的方程.,【解题探究】 1.题(1)中直线与圆相切满足什么条件? 2.题(2)中据条件可知所求直线的什么条件? 3.点与圆的位置关系有几种?题(3)中的点M与已知圆的位置关系是什么?,【探究提示】1.直线与圆相切时,圆心到直线的距离等于圆的半径. 2.据条件可知所求直线的斜率为1. 3.点与圆有三种位置关系,分别为点在圆上,点在圆外,点在圆内,题(3)中把点M的坐标代入圆的方程可知:点M在圆外.,【自主解答】(1)选B.依题意得 所以m2=2m,因为m0,所以m=2. (2)方法一:设直线的方程为y=x+m, 即x-y+m=0. 圆(x-2)2+(y-3)2=8的圆心坐标为(2,3), 半径为2 . 由 得m=5或m=-3. 所以直线方程为y=x+5或y=

      8、x-3.,方法二:设直线的方程为y=x+m,与圆的方程联立得方程组 消去y得2x2+(2m-10)x+m2-6m+5=0, 由直线与圆相切, =(2m-10)2-8(m2-6m+5)=0, 即m2-2m-15=0, 解得m=5或m=-3, 所以直线的方程为y=x+5或y=x-3. 答案:y=x+5或y=x-3,(3)由于(2-1)2+(4+3)2=501,故点M在圆外. 当切线斜率存在时,设切线方程是y-4=k(x-2),即 kx-y+4-2k=0,由于直线与圆相切, 故 解得k= , 所以切线方程为24x-7y-20=0. 又当切线斜率不存在时,直线x=2与圆相切. 综上所述,所求切线方程为24x-7y-20=0或x=2.,【延伸探究】题(3)中,若所给点M的坐标是(1,-4),求切线方程. 【解析】由于(1-1)2+(-4+3)2=1,故点(1,-4)在圆上,又圆心为(1,-3), 所以切线斜率为0, 所以切线方程为y=-4, 即y+4=0.,【方法技巧】圆的切线的求法 (1)点在圆上时: 求过圆上一点(x0,y0)的圆的切线方程:先求切点与圆心连线 的斜率k,再由垂直关系得切线的

      9、斜率为- ,由点斜式可得切 线方程.如果切点与圆心连线的斜率为零或不存在,则由图形 可直接得切线方程为x=x0或y=y0.,(2)点在圆外时: 几何法:设切线方程为y-y0=k(x-x0).由圆心到直线的距离等于半径,可求得k,也就得切线方程. 代数法:设切线方程为y-y0=k(x-x0),与圆的方程联立,消去y后得到关于x的一元二次方程,由=0求出k,可得切线方程. 还应注意切线斜率不存在的情况.,【变式训练】(2013天津高考)已知过点P(2,2)的直线与圆(x-1)2+y2=5相切,且与直线ax-y+1=0垂直,则a=( ) A.- B.1 C.2 D. 【解题指南】根据圆的切线的性质确定切线的斜率,再由两直线垂直求a的值.,【解析】选C.因为点P(2,2)为圆(x-1)2+y2=5上的点,由圆的 切线性质可知,圆心(1,0)与点P(2,2)的连线与过点P(2,2) 的切线垂直.因为圆心(1,0)与点P(2,2)的连线的斜率k=2, 故过点P(2,2)的切线斜率为- ,所以直线ax-y+1=0的斜率为 2,因此a=2.,【补偿训练】已知圆(x-2)2+(y-3)2=1,求该圆与在x轴和y轴的 截距相等的切线l的方程. 【解析】由题意设切线l与x轴和y轴的截距均为a, 当a0时,设l的方程为 即x+y-a=0,因为直线l 和圆相切,所以圆心(2,3)到直线l的距离等于圆的半径长,故 解得a=5+ 或a=5- .所以切线l的方程为x+y- (5+ )=0或x+y-(5- )=0,,当a=0时,设l的方程为y=kx,即kx-y=0, 所以 解得 所以切线l的方程为(6+2 )x-3y=0或(6-2 )x-3y=0. 综上所述,切线l的方程为x+y-(5+ )=0或x+y-(5- )=0 或(6+2 )x-

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