2012届高考数学理全国版统编教材学海导航高中总复习第1轮课件：124导数概念与运算精选

第十二章 极限与导数,导数的概念与运算,第 讲,4,1. 对于函数y=f(x)，记y=f(x0+x)-f(x0)，如果当x0时， 有极限，就说函数y=f(x)在x0处可导，并把这个极限叫做f(x)在点x0处的导数(或变化率)，记作f (x0)或y|x=x0，即f (x0)= =. 2. 如果函数f(x)在开区间(a，b)内每一点都可导，则对(a，b)内每一个确定的值x0，都对应着一个确定的导数f (x0)，,这样就在开区间(a，b)内构成一个新的函数，称这一新函数叫做f(x)在开区间(a，b)内的 ，简称导数，记作f (x)或y，即f (x)= . 3. 曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率是 .相应地，切线方程为. 4. 常见函数的导数,导函数,f (x0),y-y0=f (x0)(x-x0),(1)C= (C为常数)； (2)(xn)= (nQ); (3)(sinx)= ; (4)(cosx)= ; (5)(lnx)= ; (6)(logax)= (a0，a1); (7)(ex)= ; (8)(ax)= (a0，a1).,0,nxn-1,cosx,-sinx,ex,axlna,5. 导数的四则运算法则 (1)(u±v)= ; (2)(uv)= ; (3)(uv)= (v0). 6.设函数u=(x)在点x处有导数，函数y=f(u)在点x的对应点u处有导数，则复合函数y=f(x)在点x处也有导数，且f x(x)= .,f (u)(x),u±v,uv+uv,1.如果质点A按规律s=2t3运动， 则在t=3 s时的瞬时速度为( ) A. 6 B. 18 C. 54 D. 81 解：因为s=6t2，所以s|t=3=6×32=54.,C,2.若抛物线y=x2-x+c上一点P的横坐标是-2，抛物线过点P的切线恰好过坐标原点，则c的值为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解：因为y=2x-1，所以y|x=-2=-5. 又P(-2，6+c)，所以 ,解得c=4.,D,3.若f (x0)=2,则 等于( ) A. -1 B. -2 C. 1 D. 解：,A,题型1 求函数的导数,1. 求下列函数的导数： 解：,点评：掌握常见函数的导数是求函数的导数的关键，注意函数的和、差、积、商的导数在解题中的应用.涉及到复合函数的导数注意把复合函数分解为几个基本函数.,求下列函数的导数：,解： (2) 则,(3)令 则,题型2 在导数条件下求参数的值,2. 已知函数 若存在x0R，使得f (x0)=0且f(x0)=0， 求a的值. 解：因为f (x)=3x2+2ax，令f (x)=0， 则3x2+2ax =0，所以x0 =0或x0 =- .,当x0 =0时，由f(x0 )=0，可得 所以a=0. 当x0 =- 时，由f(x0 )=0， 可得 即a3-9a=0，所以a=0或a=±3. 综上分析，a=0或a=±3.,点评：求参数的值或取值范围的问题，仍是转化题中的条件，得到相应参数的方程或不等式，然后通过解方程或不等式得到所求的问题的解.,已知函数f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e(其中a、b、c、 d、eR)为偶函数，它的图象过点A(0，-1)， B(1，0)，且f (1)=-2，求函数f(x)的表达式. 解：因为f(x)是偶函数，所以f(-x)=f(x)恒成立. 即a(-x)4+b(-x)3+c(-x)2+d(-x)+e=ax4+bx3+cx2+dx+ 恒成立，所以b=0，d=0，即f(x)=ax4+cx2+e. 又由图象过点A(0，-1)，可知f(0)=-1，即e=-1. 因为f (1)=-2且f(1)=0，所以4a+2c=-2 且a+c-1=0，解得a=-2，c=3.所以f(x)=-2x4+3x2-1.,3. 已知曲线 求： (1)曲线在x=2处的切线方程； (2)曲线过点P(2，4)的切线方程. 解：(1)因为y=x2, 所以在x=2处的切线的斜率k=y|x=2=4. 又x=2时， 所以曲线在x=2处的切线方程为y-4=4(x-2), 即4x-y-4=0.,题型3 利用导数求切线方程,(2)设曲线 与过点P(2，4)的切线相切于点 则切线的斜率k=y|x=x0=x02. 所以切线方程为 即 因为点P(2，4)在切线上， 所以 即,所以 所以 所以(x0+1)(x0-2)2=0,解得x0=-1或x0=2. 故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0.,点评：求曲线在某点处的切线方程的思路是：先求得函数在此点处的导数值，即为切线的斜率，然后根据切点的坐标，再用点斜式可得切线方程.若是经过某点的切线，注意先设切点坐标，然后写出切线方程，再把已知点代入切线方程求得切点的横坐标.,(2010·全国课程标准卷)曲线y=在点(-1，-1)处的切线方程为( ) A. y=2x+1 B. y=2x-1 C. y=-2x-3 D. y=-2x-2,解：易知点(-1，-1)在曲线上，即为切点， 又由于f (x)= = ， 故f (-1)= ， 即切线的斜率为2，从而切线方程为y+1=2(x+1)， 化简可得y=2x+1.,已知函数f(x)在点x=1处连续， 且 求f (1). 解：因为f(x)在点x=1处连续， 所以 又,题型 函数的连续性与导数的关系分析,所以 即f(1)=0. 所以,求证：如果函数y=f(x)在点x0处可导，那么函数y=f(x)在点x0处连续. 证明：由已知，得,所以 所以命题得证.,1. f(x)在点x0处的导数f (x0)也可理解为： 这相当于x=x-x0，所以增量x可用其他形式替代，如-t，2t等.但在转换时，必须与导数概念保持一致，如 事实上，,2. 求函数f(x)的导数是一个最基本的题型，利用求导法则将f(x)的导数转化为基本函数的导数，再套公式化简整理，是解决这类问题的基本思路.有时可先对f(x)作适当变形，再求导. 3. 复合函数的求导法则表明：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数.,求解时要正确分析函数的复合过程，选好中间变量，尤其是涉及多个函数复合而成的函数，求导时首先要弄清它是几层复合关系，然后由外而内，逐层求导.必要时可通过换元，使复合关系更加明确、具体.同时注意在求导后，要把中间变量换成自变量的函数. 4. 求f (x0)的值，一般先求f (x)，然后再求当x=x0时导函数的值.有时也可直接利用导数的定义，转化为求函数在某个点处的极限.,5. 判断函数f(x)在点x=x0处是否可导，可转化为判断 是否存在.若存在，则这个极限值就是f(x)在x0处的导数.如果函数y= f(x)在点x0处可导，那么函数f(x)在点x0处连续，但其逆命题不成立.即若函数y= f(x)在点x0处连续，那么f(x)在x0处不一定可导(例如函数y=|x|在点x=0处连续，但无导数)，它可直观地理解为连续函数对应的曲线在点x0处不一定有“切线”.,6. 求过某个点M的曲线的切线方程，关键是求切线的斜率，从而转化为求曲线在切点处的导数.但必须注意的是，先要明确点M是否在曲线上.若点M在曲线上，则它就是切点，否则，要另设切点坐标，切不可把函数在点M处的导数误认为是切线的斜率. 7. 由于函数y=f(x)在x=x0处的导数表示曲线在点P(x0，f(x0)处切线的斜率，因此，曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0)处的切线方程可按如下步骤求得：,第一步，求出函数y=f(x)在点x=x0处的导数，即曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0)处切线的斜率. 第二步，在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为y=y0+f (x0)(x-x0). 如果曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0)处的切线平行于y轴(此时导数不存在)，由切线的定义可知，切线的方程为x=x0.,