12.4 单自由度体系的强迫振动

All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院®,12.4 单自由度体系的强迫振动,结构在动力荷载（也称干扰力）作用下的振动称为强迫振动或受迫振动。本节研究无阻尼的强迫振动。,在公式 中，若不考虑阻尼，则得单自由度体系强迫振动的微分方程为,或写成,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院®,若FP(t)不是直接作用在质点上时，则可将其化为直接作用在质点上的等效动力荷载FE(t),All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院®,等效动力荷载的幅值,式中，FP为动力荷载的幅值，1P为FP作用下在质点振动方向产生的位移。,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院®,12.4.1 简谐荷载作用下的动力反应(本节重点),为简谐荷载的频率（扰频） F为荷载的最大值（动力荷载幅值）,1.求解,(1)齐次解,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院®,(2)特解 y*,设特解为,于是有,代入得,由此得,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院®,令,yst动荷载幅值产生的位移(最大“静”位移),st实际静荷载(如自重W)产生的位移(静位移),All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院®,于是有,故特解,即,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院®,(3)通解,系数C1和C2由初始条件确定,设,则得,故通解为,亦即,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院®,1) 前两项为自由振动部分，与初始条件y0和v0有关。,讨论,2) 第三项与y0和v0无关，是随干扰力的出现而伴随产生的，仍属自由振动(按自频w 振动)，称为伴生自由振动。,3)第四项为纯强迫振动(无阻尼)，按扰频 振动。,在工程中有实际意义的是平稳阶段的y，即,称最大动位移（即A）， 为强迫振动的振幅，是控制设计的重要依据。,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院®,则强迫振动的振幅,所以有,的物理意义是：,表示动位移的 最大值 (亦即振幅A)是最大“静”位移yst的多少倍，故称动力系数。,对于单自由度体系，当在简谐荷载作用下，且干扰力作用于质点上时，结构中内力与质点位移成比例。所以动力系数 既是位移的动力系数，又是内力的动力系数。,令动力系数,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院®,2.讨论（关于振幅算式的分析）,强迫振动的振幅,其中，动力系数,(1) 0， 1：这说明机器转动很慢( «)，干扰力接近于静力。一般当 1/5时，可当作静力计算,（例如，当 1/5时，1.041）。,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院®,(2) ， 0,以 轴为渐近线。这说明机器转动非常快时( » ，高频荷载作用于质体)，质体基本上处于静止状态，即相当于没有干扰力作用(自重除外)。,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院®,(3) 01，又 随 的增大而增大。 与 同号，即质点位移与干扰力的方向每时每刻都相同(同相位)。,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院®,(4) 1， 为负，其绝对值 随 的增大而减小。 与 异号，即质点位移与干扰力的方向相反(相位相差)。,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院®,(5) 1，（无阻尼）： （振幅随时间而逐渐增大），体系发生共振。,此时有：,即惯性力与弹性力平衡，而没有什么力去与实际存在的外力FP(t)平衡，因此无论振幅多大，再维持动力平衡均不可能。,当=时,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院®,防止共振的措施：一是调整机器的转速；二是改变体系的自振频率w（改变w的思路，不外就是改变k11，即改变截面形式、结构形式，或是改变m）。但“共振”也是可以利用的，如利用w时，结构振幅突出大的这一特点，不断改变机器（激振器）转速，可以测定结构的w。,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院®,3.计算步骤（单自由度体系在简谐荷载作用下的强迫振动）,(1)求自振频率,(2)求干扰力频率,一般给出电动机转速n（r/min）,（1/s）,(3)求动力系数,（注意正负号）,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院®,(4)求动位移幅值动（即A）,1) 先求最大“静”位移,3.计算步骤,2) 再求动位移幅值,(5)求最大位移,max= 动+ 静=yd,max+ st=|A|+ st,(6)求最大内力,MmaxM动M静Md,maxMst,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院®,【方法一】动力系数法（仅当FP(t)直接作用在质点上时）：将| |F作为静力作用在体系上，按静力法计算(图a)。,a) 动力系数法,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院®,【方法二】幅值法：由达朗伯原理，把位移达到最大值时，所有力的幅值加上去。注意F的施加方向，即,1) 当 为正时，F沿质点位移方向一致施加(图c)。,2) 当 为负时，F沿质点位移方向反向施加(图b)。,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院®,【例12-13】对于图示体系，已知下列各值：m=123kg，F=49N(离心力)，n =1200 r/min (发电机转速)，E=2.06×1011 N/m2，I=78cm4。求梁中最大动位移A(动)和梁中最大动内力Md,max(M动) 。,解 : (1) 求自振频率,(2)求干扰频率,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院®,(3)求动力系数,(4)求最大动位移A,负号表示最大动位移与FP(t)方向相反。,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院®,(5)求最大动内力Md,max：采用动力系数法，在B点施加，绘弯矩图，如图示，图中Md,max16.33N·m。,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院®,【例12-14】对于图示体系，已知：梁上的机器总重W30kN，机器转速n350r/min，离心力幅值F=5kN，忽略梁的自重，EI2.0×104kN·m，试作动力弯矩幅值图Md,max（即M动）和总弯矩M图。,解 : 结构为单自由度体系，采用动力系数法求解。,(1)求柔度系数11,b) 图（m）,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院®,(2)求自振频率,(3)求干扰频率,(4)求动力系数,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院®,(5)作动力弯矩幅值Md,max图,将 作用于梁上D点，作Md,max图,(6)作总弯矩图M,将 作用于梁上D点，作M图,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院®,【例12-15】图示结构，在柱顶有马达，试求马达转动时的最大水平位移和柱端弯矩。已知马达和结构重量集中于柱顶。W20kN，马达水平离心力的幅值F250N，马达转速n=550 r/min，柱的线刚度。,解：(1) 求自振频率,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院®,(2)求动荷载频率,(3)求动力系数,(4)求沿水平方向的max,负号表示max与FP(t)的方向相反。,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院®,(5)求柱端弯矩（分别采用两种解法）,【解法一】让二柱顶C和D点均水平移动A，按两端固定端，远端顺时针方向沉陷 A，绘柱弯矩图，如图所示，即各柱端弯矩均为,【解法二】采用“动力系数法”，将 向右施加于左柱顶C点，再用“剪力分配法”计算，其弯矩图如图12-34c所示，即各柱端弯矩均为,c) 解法二M图,b) 解法一M图,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院®,【例12-16】干扰力作用于等截面悬臂杆的中点，求质点稳态振幅。,解：【解法一】附加支杆，将该支反力反向（即等效干扰力，亦称等效动力荷载）作用于质点。,(1)计算附加支杆内的反力幅值,（力法）,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院®,(2)计算 作用于质点上的情况,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院®,【解法二】直接建立运动方程求解。施加惯性力，列柔度方程。,位移相当于作用于质点的等效力产生的位移。,在质量所在的B点,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院®,或,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院®,【解法三】利用幅值方程求解。在简谐振动中，惯性力与位移变化规律相同，即同时达到最大值，可列幅值方程.,不难化为,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院®,【小结】情况1：干扰力直接作用在质点上,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院®,情况2：干扰力不作用在质点上,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院®,FE=0.6875F,解：,【例12-17】图示跨中带有一质量m的无重简支梁，动力荷载作用在距梁端处，若 ，试求在荷载作用下，质量m的最大动位移A。,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院®,FE=0.6875F,或,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院®,【例12-18】试列出图示结构体系的运动方程，并绘出结构弯矩幅值图。已知： 。,解 : (1)质点的等效力,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院®,(3)按幅值法作弯矩幅值图，如图所示。,(2)求惯性力幅值,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院®,【例12-19】图示简支梁跨中有一集中质量m，EI为常量，跨度为l，不计梁的质量。梁右端作用干扰力偶。试作弯矩幅值图并求梁右端角位移的幅值。设静力平衡时梁轴线为水平直线。已知： 。,解 :(1) 求最大动位移,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院®,(2)求惯性力幅值,(3)求内力幅值,(4)求,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院®,12.4.2 一般动力荷载（任意干扰力作用）,1.瞬时冲量的动力反应,设体系在t0时处于静止状态。在质点上施加瞬时冲量 。这将使体系产生初速度 ，但初位移仍为0，即y00（可以证明，y0系二阶微量，可略去不计）。,将y00代入,上式就是 时作用瞬时冲量S所引起的动力反应。,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院®,如果瞬时冲量S从 开始作用，则式中的位移反应时间t，应改成，即上式应改为,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院®,2.一般动荷载的动力反应（总效应）,整个加载过程可看作一系列瞬时冲量所组成。在