1、All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,12.4 单自由度体系的强迫振动,结构在动力荷载(也称干扰力)作用下的振动称为强迫振动或受迫振动。本节研究无阻尼的强迫振动。,在公式 中,若不考虑阻尼,则得单自由度体系强迫振动的微分方程为,或写成,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,若FP(t)不是直接作用在质点上时,则可将其化为直接作用在质点上的等效动力荷载FE(t),All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,等效动力荷载的幅值,式中,FP为动力荷载的幅值,1P为FP作用下在质点振动方向产生的位移。,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,12.4.1 简谐荷载作用下的动力反应(本节重点),为简谐荷载的频率(扰频) F为荷载的最大值(动力荷载幅值),1.求解,(1)齐次解,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,(2)特解 y*,设特解为,于是有,代入得,由此得,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,令,yst动荷载幅值产生的位移(最大“静”位移),st实际静
2、荷载(如自重W)产生的位移(静位移),All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,于是有,故特解,即,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,(3)通解,系数C1和C2由初始条件确定,设,则得,故通解为,亦即,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,1) 前两项为自由振动部分,与初始条件y0和v0有关。,讨论,2) 第三项与y0和v0无关,是随干扰力的出现而伴随产生的,仍属自由振动(按自频w 振动),称为伴生自由振动。,3)第四项为纯强迫振动(无阻尼),按扰频 振动。,在工程中有实际意义的是平稳阶段的y,即,称最大动位移(即A), 为强迫振动的振幅,是控制设计的重要依据。,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,则强迫振动的振幅,所以有,的物理意义是:,表示动位移的 最大值 (亦即振幅A)是最大“静”位移yst的多少倍,故称动力系数。,对于单自由度体系,当在简谐荷载作用下,且干扰力作用于质点上时,结构中内力与质点位移成比例。所以动力系数 既是位移的动力系数,又是内力的动力系数。,令动力系数,All Ri
3、ghts Reserved,重庆大学土木工程学院,2.讨论(关于振幅算式的分析),强迫振动的振幅,其中,动力系数,(1) 0, 1:这说明机器转动很慢( ),干扰力接近于静力。一般当 1/5时,可当作静力计算,(例如,当 1/5时,1.041)。,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,(2) , 0,以 轴为渐近线。这说明机器转动非常快时( ,高频荷载作用于质体),质体基本上处于静止状态,即相当于没有干扰力作用(自重除外)。,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,(3) 01,又 随 的增大而增大。 与 同号,即质点位移与干扰力的方向每时每刻都相同(同相位)。,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,(4) 1, 为负,其绝对值 随 的增大而减小。 与 异号,即质点位移与干扰力的方向相反(相位相差)。,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,(5) 1,(无阻尼): (振幅随时间而逐渐增大),体系发生共振。,此时有:,即惯性力与弹性力平衡,而没有什么力去与实际存在的外力FP(t)平衡,因此无论振
4、幅多大,再维持动力平衡均不可能。,当=时,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,防止共振的措施:一是调整机器的转速;二是改变体系的自振频率w(改变w的思路,不外就是改变k11,即改变截面形式、结构形式,或是改变m)。但“共振”也是可以利用的,如利用w时,结构振幅突出大的这一特点,不断改变机器(激振器)转速,可以测定结构的w。,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,3.计算步骤(单自由度体系在简谐荷载作用下的强迫振动),(1)求自振频率,(2)求干扰力频率,一般给出电动机转速n(r/min),(1/s),(3)求动力系数,(注意正负号),All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,(4)求动位移幅值动(即A),1) 先求最大“静”位移,3.计算步骤,2) 再求动位移幅值,(5)求最大位移,max= 动+ 静=yd,max+ st=|A|+ st,(6)求最大内力,MmaxM动M静Md,maxMst,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,【方法一】动力系数法(仅当FP(t)直接作用在质点上时):将|
5、|F作为静力作用在体系上,按静力法计算(图a)。,a) 动力系数法,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,【方法二】幅值法:由达朗伯原理,把位移达到最大值时,所有力的幅值加上去。注意F的施加方向,即,1) 当 为正时,F沿质点位移方向一致施加(图c)。,2) 当 为负时,F沿质点位移方向反向施加(图b)。,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,【例12-13】对于图示体系,已知下列各值:m=123kg,F=49N(离心力),n =1200 r/min (发电机转速),E=2.061011 N/m2,I=78cm4。求梁中最大动位移A(动)和梁中最大动内力Md,max(M动) 。,解 : (1) 求自振频率,(2)求干扰频率,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,(3)求动力系数,(4)求最大动位移A,负号表示最大动位移与FP(t)方向相反。,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,(5)求最大动内力Md,max:采用动力系数法,在B点施加,绘弯矩图,如图示,图中Md,max16.33Nm。,A
6、ll Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,【例12-14】对于图示体系,已知:梁上的机器总重W30kN,机器转速n350r/min,离心力幅值F=5kN,忽略梁的自重,EI2.0104kNm,试作动力弯矩幅值图Md,max(即M动)和总弯矩M图。,解 : 结构为单自由度体系,采用动力系数法求解。,(1)求柔度系数11,b) 图(m),All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,(2)求自振频率,(3)求干扰频率,(4)求动力系数,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,(5)作动力弯矩幅值Md,max图,将 作用于梁上D点,作Md,max图,(6)作总弯矩图M,将 作用于梁上D点,作M图,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,【例12-15】图示结构,在柱顶有马达,试求马达转动时的最大水平位移和柱端弯矩。已知马达和结构重量集中于柱顶。W20kN,马达水平离心力的幅值F250N,马达转速n=550 r/min,柱的线刚度。,解:(1) 求自振频率,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院
7、,(2)求动荷载频率,(3)求动力系数,(4)求沿水平方向的max,负号表示max与FP(t)的方向相反。,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,(5)求柱端弯矩(分别采用两种解法),【解法一】让二柱顶C和D点均水平移动A,按两端固定端,远端顺时针方向沉陷 A,绘柱弯矩图,如图所示,即各柱端弯矩均为,【解法二】采用“动力系数法”,将 向右施加于左柱顶C点,再用“剪力分配法”计算,其弯矩图如图12-34c所示,即各柱端弯矩均为,c) 解法二M图,b) 解法一M图,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,【例12-16】干扰力作用于等截面悬臂杆的中点,求质点稳态振幅。,解:【解法一】附加支杆,将该支反力反向(即等效干扰力,亦称等效动力荷载)作用于质点。,(1)计算附加支杆内的反力幅值,(力法),All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,(2)计算 作用于质点上的情况,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,【解法二】直接建立运动方程求解。施加惯性力,列柔度方程。,位移相当于作用于质点的等效力产生的位移。
8、,在质量所在的B点,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,或,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,【解法三】利用幅值方程求解。在简谐振动中,惯性力与位移变化规律相同,即同时达到最大值,可列幅值方程.,不难化为,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,【小结】情况1:干扰力直接作用在质点上,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,情况2:干扰力不作用在质点上,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,FE=0.6875F,解:,【例12-17】图示跨中带有一质量m的无重简支梁,动力荷载作用在距梁端处,若 ,试求在荷载作用下,质量m的最大动位移A。,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,FE=0.6875F,或,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,【例12-18】试列出图示结构体系的运动方程,并绘出结构弯矩幅值图。已知: 。,解 : (1)质点的等效力,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,(3)按幅值法
9、作弯矩幅值图,如图所示。,(2)求惯性力幅值,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,【例12-19】图示简支梁跨中有一集中质量m,EI为常量,跨度为l,不计梁的质量。梁右端作用干扰力偶。试作弯矩幅值图并求梁右端角位移的幅值。设静力平衡时梁轴线为水平直线。已知: 。,解 :(1) 求最大动位移,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,(2)求惯性力幅值,(3)求内力幅值,(4)求,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,12.4.2 一般动力荷载(任意干扰力作用),1.瞬时冲量的动力反应,设体系在t0时处于静止状态。在质点上施加瞬时冲量 。这将使体系产生初速度 ,但初位移仍为0,即y00(可以证明,y0系二阶微量,可略去不计)。,将y00代入,上式就是 时作用瞬时冲量S所引起的动力反应。,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,如果瞬时冲量S从 开始作用,则式中的位移反应时间t,应改成,即上式应改为,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,2.一般动荷载的动力反应(总效应),整个加载过程可看作一系列瞬时冲量所组成。在
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