2019年高考数学艺术生百日冲刺专题12椭圆测试题（含答案）

1 专题专题 1212 椭圆测试题椭圆测试题 【高频考点高频考点】本知识涉及椭圆的定义，标准方程以及简单的几本知识涉及椭圆的定义，标准方程以及简单的几何性质的应用，直线与椭圆的位置关系。何性质的应用，直线与椭圆的位置关系。 【考情分析考情分析】本阶段是高考考查重点内容之一，涉及客观题和解答题，客观题主要考查椭圆方程的求解，椭 圆的几何性质等，难度中等，在解答题中多以椭圆为载体，考查直线与椭圆的位置关系 ，定值定点，以及 最值问题，常常以探索性问题形式出现，难度较大。 【重点推荐重点推荐】基础卷第 11 题，数学文化题，第 22 题考察与不等式的交汇，考察综合解决问题的能力。 一一选择题选择题 1.1. 方程表示焦点在 x 轴上的椭圆，则实数 m 的取值范围为（ ） A （1，+）B （，1C （0，1）D （1，0） 【答案】C 【解析】：方程表示焦点在 x 轴上的椭圆，可得 m（0，1） 故选：C 2.2. 设 P 是椭圆=1 上的动点，则 P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为（ ） A2B2C2D4 【答案】：C 【解析】椭圆=1 的焦点坐标在 x 轴，a=，P 是椭圆=1 上的动点，由椭圆的定义可知： 则 P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为 2a=2 故选：C 3.3. 设 F1、F2是椭圆的两个焦点，点 P 为椭圆上的点，且|F1F2|=8，|PF1|+|PF2|=10，则椭圆的短轴长为（ ） A6B8C9D10 【答案】：A 【解析】设 F1、F2是椭圆的两个焦点，点 P 为椭圆上的点，且|F1F2|=8，可得 c=4， |PF1|+|PF2|=10，可得 a=5，则椭圆的短轴长为：2b=2=6故选：A 4.4. （2018大连二模）设椭圆的左焦点为 F，直线 l：y=kx（k0）与椭圆 C 交于 A，B 两点，则|AF|+|BF| 的值是（ ） 2 A2BC4D 【 答案】：C 【解析】如图，设 F2是椭圆的右焦点，O 点为 AB 的中点，丨 OF 丨=丨 OF2丨，则四边形 AFBF2是平行四边 形，AF=BF2|AF|+|BF|=丨 BF 丨+丨 BF2丨=2a=4，故选：C 5 5 若点 F1，F2为椭圆的焦点，P 为椭圆上的点，满足F1PF2=90°，则F1PF2的面积为（ ） A1B2CD4 【答案】：A 6.6. （2018齐齐哈尔二模）已知椭圆+=1（ab0）的离心率为，短轴长大于 2，则该椭圆的长 轴长的取值范围是（ ） A （2，+）B （4，+）C （2，4）D （4，8） 【答案】：B 【解析】根据题意，椭圆+=1（ab0）的离心率为，即 e=，则 c=a，又由椭圆短轴 长大于 2，即 2b2，则 b1，则有 a2c2=b21，即1，解可得 a2，则该椭圆的长轴长 2a4，即 该椭圆的长轴长的范围为（4，+） ；故选：B 7.7. （2018大连二模）设椭圆的左焦点为 F，直线 l：y=kx（k0）与椭圆 C 交于 A，B 两点，则AFB 周长 的取值范围是（ ） A （2，4）B C （6，8）D （8，12） 【答案】：C 【解析】椭圆的左焦点为 F（，0） ，右焦点 F2（，0） ，直线 l：y=kx（k0）与椭圆 C 交于 A，B 两点，连结 BF2，则 AF=BF2，AB=2OB，由一的定义可知：BF+BF2=2a=4，OB（1，2） ，则AFB 周长的取值 范围是（6，8） 故选：C 15.15. 设圆（x+1）2+y2=25 的圆心为 C，A（1，0）是圆内一定点，Q 为圆周上任一点，线段 AQ 的垂直平分线 与 CQ 的连线交于点 M，则 M 的轨迹方程为 【答案】： 【解析】由圆的方程可知，圆心 C（1，0） ，半径等于 5，设点 M 的坐标为（x，y ） ， 3 AQ 的垂直平分线交 CQ 于 M，|MA|=|MQ| 又|MQ|+|MC|=半径 5，|MC|+|MA|=5|AC| 依据椭圆的定义可得，点 M 的轨迹是以 A、C 为焦点的椭圆，且 2a=5，c=1，b=， 故椭圆方程为 +=1，即 +=1故答案为： 1616（2018西宁二模）已知椭圆 C：=1，F1，F2是该椭圆的左右焦点，点 A（4，1） ，P 是椭圆上的一 个动点，当APF1的周长取最大值时，APF1的面积为 【答案】： 【解析】：如图所示，由椭圆 C=1 可得 a=5，右焦点 F2（4，0） |F1F2|=8 |PF1|+|PF2|=2a=10，|PF1|+|PA|=10|PF2|+|PA|10+|AF2| APF1的周长取最大值时，三点 P、A、F2共线，且点 P 在第四象限， 此时 F1F2AP，|PF2|=，APF1的面积 S=|F1F2|×|PA|= 故答案为： 三三. .解答题解答题 17.17. 已知椭圆的离心率为 2 2 ，其中左焦点F(-2,0). （1） 求椭圆C的方程； （2） 若直线y=x+m与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点M在圆x2+y2=1 上，求m的值. 【解析】：（1） 由题意，得 解得 2 2, 2. a b 椭圆C的方程为 22 1 84 xy .5 分 （2） 设点A、B的坐标分别为（x1,y1),(x2,y2)，线段AB的中点为M(x0,y0)， 由消y得，3x2+4mx+2m2-8=0, =96-8m20,-23m23.8 分 . 点M(x0,y0)在圆x2+y2=1 上， ， 3 5 5 m .10 分 4 18.18. （2018广陵区校级四模）已知椭圆 C：（ab0）的左焦点为 F，上顶点为 A，直线 AF 与 直线 x+y3垂直，垂足为 B，且点 A 是线段 BF 的中点 （1）求椭圆 C 的方程； （2）若 M，N 分别为椭圆 C 的左，右顶点，P 是椭圆 C 上位于第一象限的一点，直线 MP 与直线 x=4 交于点 Q，且=9，求点 P 的坐标 【分析】 （1）由直线 AF 与直线 x+y3垂直，可得：=1，则直线 AF 的方程为：y=x+c与椭圆方程 联立可得 B（，） ，于是c=0，解得 c，即可得出椭圆方程 （2）设 P（x0，y0） ，则直线 MP 的方程为 y=（x+2） ，可得 Q.9=2（x0+2）+，由点 P 在 椭圆上可得：=2，代入解出即可得出 （2）设 P（x0，y0） ，则直线 MP 的方程为 y=（x+2） ，Q 9=2（x0+2）+，7 分 由点 P 在椭圆上可得：=2，代入可得：9=2（x0+2）+， 化为：+x02=0，解得 x0=1 或2 （舍） ， P12 分 19.19. （2018江苏一模）已知椭圆 C：（ab0）经过点，点 A 是椭圆 的下顶点 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）过点 A 且互相垂直的两直线 l1，l2与直线 y=x 分别相交于 E，F 两点，已知 OE=OF，求直线 l1的斜率 【分析】 （1）根据题意，将两点的坐标代入椭圆的方程有，解可得、的值，即可得椭圆的方程； （2）设直线 l1：y=k1x1，与直线 y=x 联立方程有，可得 E 的坐标，设直线 l2：， 5 同理可得 F 的坐标，又由 OE=OF，所以，解可得 k 的值，即可得答案 【解析】：（1）根据题意，椭圆 C：（ab0）经过点， 则有，解得，3 分 所以椭圆 C 的标准方程为；5 分 （2）由题意知 A（0，1） ，直线 l1，l2的斜率存在且不为零， 设直线 l1：y=k1x1，与直线 y=x 联立方程有，得， 设直线 l2：，同理，7 分 因为 OE=OF，所以， ，无实数解； ，解得， 综上可得，直线 l1的斜率为12 分 2020 （2018辽宁模拟）已知 M（）是椭圆 C：（ab0）上的一点，F1F2是该椭圆的左 右焦点，且|F1F2|=2 （1）求椭圆 C 的方程； （2）设点 A，B 是椭圆 C 上与坐标原点 O 不共线的两点，直线 OA，OB，AB 的斜率分别为 k1，k2，k3，且 k1k2=k2试探究|OA|2+|OB|2是否为定值，若是，求出定值，若不是，说明理由 【分析】 （1）根据椭圆的定义及椭圆的性质，即可求得 a 和 b 的值，即可求得椭圆方程； （2）设直线 AB 的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及直线的斜率公式，求得 k2=，即可求得 |OA|2+|OB|2=5 为定值 【解析】：（1）由题意，F1（，0） ，F2（，0） ，根据椭圆定义|PF1|+|PF2|=2a， 所以 2a=+=4， 所以 a2=4，b2=a2c2=1 椭圆 C 的方程；5 分 6 （2）设直线 AB：y=kx+m， （km0） ，A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 由，消去 y 得（1+4k2）x2+8kmx+4m24=0， =（8km）24（1+4k2） （4m24）0，x1+x2=，x1x2=， 因为 k1k2=k2，所以=k2， 即 km（x1+x2）+m2=0（m0） ，解得 k2=，8 分 |OA|2+|OB|2=x12+x22+y12+y22=（x1+x2）22x1x2+2=5， 所以|OA|2+|OB|2=5 为定值12 分 21.21. （2018南充模拟）已知椭圆 C：+=1（ab0）的离心率为，点 M（2，1）在椭圆 C 上 （1）求椭圆 C 的方程； （2）直线 l 平行于 OM，且与椭圆 C 交于 A，B 两个不同的点，若AOB 为钝角，求直线 l 在 y 轴上的截距 m 的取值范围 【分析】 （1）由椭圆 C：+=1（ab0）的离心率为，点 M（2，1）在椭圆 C 上，列出方程组， 求出 a，b，由此能求出椭圆 C 的方程 （2）设 l 的方程为 y=x+m，再与椭圆方程联立，将AOB 为钝角，转化为0，且 m0，利用韦达 定理，即可求出直线 l 在 y 轴上的截距 m 的取值范围 【解析】：（1）椭圆 C：+=1（ab0）的离心率为，点 M（2，1）在椭圆 C 上 ，解得 a=2，b=，c=，3 分 椭圆 C 的方程为=15 分 （2）由直线 l 平行于 OM，得直线 l 的斜率 k=kOM=， 又 l 在 y 轴上的截距为 m，l 的方程为 y= 1 2 xm 由，得 x2+2mx+2m24=08 分 7 又直线 l 与椭圆交于 A、B 两个不同点，=（2m）24（2m24）0，于是2m2 AOB 为钝角等价于0，且 m0， 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 则=x1x2+y1y2=， 由韦达定理 x1+x2=2m，x1x2=2m24，代入上式， 化简整理得 m22，即，故所求范围是（）（0，） 12 分 22.22. （2018聊城一模）已知圆 x2+y2=4 经过椭圆 C：的两个焦点和两个顶点，点 A（0，4） ，M，N 是椭圆 C 上的两点，它们在 y 轴两侧，且MAN 的平分线在 y 轴上，|AM|AN| （）求椭圆 C 的方程； （）证明：直线 MN 过定点 【分析】 （）根据题意，由圆的方程分析可得椭圆的焦点和顶点坐标，即可得 c、b 的值，由椭圆的几何性 质计算可得 a 的值，即可得椭圆的标准方程； （）设直线 MN 的方程为 y=kx+m，与椭圆的方程联立，消去 y 得（2k2+1）x2+4kmx+2