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2019年高考数学艺术生百日冲刺专题12椭圆测试题(含答案)

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    • 1、1 专题专题 1212 椭圆测试题椭圆测试题 【高频考点高频考点】本知识涉及椭圆的定义,标准方程以及简单的几本知识涉及椭圆的定义,标准方程以及简单的几何性质的应用,直线与椭圆的位置关系。何性质的应用,直线与椭圆的位置关系。 【考情分析考情分析】本阶段是高考考查重点内容之一,涉及客观题和解答题,客观题主要考查椭圆方程的求解,椭 圆的几何性质等,难度中等,在解答题中多以椭圆为载体,考查直线与椭圆的位置关系 ,定值定点,以及 最值问题,常常以探索性问题形式出现,难度较大。 【重点推荐重点推荐】基础卷第 11 题,数学文化题,第 22 题考察与不等式的交汇,考察综合解决问题的能力。 一一选择题选择题 1.1. 方程表示焦点在 x 轴上的椭圆,则实数 m 的取值范围为( ) A (1,+)B (,1C (0,1)D (1,0) 【答案】C 【解析】:方程表示焦点在 x 轴上的椭圆,可得 m(0,1) 故选:C 2.2. 设 P 是椭圆=1 上的动点,则 P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为( ) A2B2C2D4 【答案】:C 【解析】椭圆=1 的焦点坐标在 x 轴,a=,P 是椭圆=1 上的动点

      2、,由椭圆的定义可知: 则 P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为 2a=2 故选:C 3.3. 设 F1、F2是椭圆的两个焦点,点 P 为椭圆上的点,且|F1F2|=8,|PF1|+|PF2|=10,则椭圆的短轴长为( ) A6B8C9D10 【答案】:A 【解析】设 F1、F2是椭圆的两个焦点,点 P 为椭圆上的点,且|F1F2|=8,可得 c=4, |PF1|+|PF2|=10,可得 a=5,则椭圆的短轴长为:2b=2=6故选:A 4.4. (2018大连二模)设椭圆的左焦点为 F,直线 l:y=kx(k0)与椭圆 C 交于 A,B 两点,则|AF|+|BF| 的值是( ) 2 A2BC4D 【 答案】:C 【解析】如图,设 F2是椭圆的右焦点,O 点为 AB 的中点,丨 OF 丨=丨 OF2丨,则四边形 AFBF2是平行四边 形,AF=BF2|AF|+|BF|=丨 BF 丨+丨 BF2丨=2a=4,故选:C 5 5 若点 F1,F2为椭圆的焦点,P 为椭圆上的点,满足F1PF2=90,则F1PF2的面积为( ) A1B2CD4 【答案】:A 6.6. (2018齐齐哈尔二模)已知椭圆

      3、+=1(ab0)的离心率为,短轴长大于 2,则该椭圆的长 轴长的取值范围是( ) A (2,+)B (4,+)C (2,4)D (4,8) 【答案】:B 【解析】根据题意,椭圆+=1(ab0)的离心率为,即 e=,则 c=a,又由椭圆短轴 长大于 2,即 2b2,则 b1,则有 a2c2=b21,即1,解可得 a2,则该椭圆的长轴长 2a4,即 该椭圆的长轴长的范围为(4,+) ;故选:B 7.7. (2018大连二模)设椭圆的左焦点为 F,直线 l:y=kx(k0)与椭圆 C 交于 A,B 两点,则AFB 周长 的取值范围是( ) A (2,4)B C (6,8)D (8,12) 【答案】:C 【解析】椭圆的左焦点为 F(,0) ,右焦点 F2(,0) ,直线 l:y=kx(k0)与椭圆 C 交于 A,B 两点,连结 BF2,则 AF=BF2,AB=2OB,由一的定义可知:BF+BF2=2a=4,OB(1,2) ,则AFB 周长的取值 范围是(6,8) 故选:C 15.15. 设圆(x+1)2+y2=25 的圆心为 C,A(1,0)是圆内一定点,Q 为圆周上任一点,线段 AQ 的垂直

      4、平分线 与 CQ 的连线交于点 M,则 M 的轨迹方程为 【答案】: 【解析】由圆的方程可知,圆心 C(1,0) ,半径等于 5,设点 M 的坐标为(x,y ) , 3 AQ 的垂直平分线交 CQ 于 M,|MA|=|MQ| 又|MQ|+|MC|=半径 5,|MC|+|MA|=5|AC| 依据椭圆的定义可得,点 M 的轨迹是以 A、C 为焦点的椭圆,且 2a=5,c=1,b=, 故椭圆方程为 +=1,即 +=1故答案为: 1616(2018西宁二模)已知椭圆 C:=1,F1,F2是该椭圆的左右焦点,点 A(4,1) ,P 是椭圆上的一 个动点,当APF1的周长取最大值时,APF1的面积为 【答案】: 【解析】:如图所示,由椭圆 C=1 可得 a=5,右焦点 F2(4,0) |F1F2|=8 |PF1|+|PF2|=2a=10,|PF1|+|PA|=10|PF2|+|PA|10+|AF2| APF1的周长取最大值时,三点 P、A、F2共线,且点 P 在第四象限, 此时 F1F2AP,|PF2|=,APF1的面积 S=|F1F2|PA|= 故答案为: 三三. .解答题解答题 17.17.

      5、已知椭圆的离心率为 2 2 ,其中左焦点F(-2,0). (1) 求椭圆C的方程; (2) 若直线y=x+m与椭圆C交于不同的两点A,B,且线段AB的中点M在圆x2+y2=1 上,求m的值. 【解析】:(1) 由题意,得 解得 2 2, 2. a b 椭圆C的方程为 22 1 84 xy .5 分 (2) 设点A、B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),线段AB的中点为M(x0,y0), 由消y得,3x2+4mx+2m2-8=0, =96-8m20,-23m23.8 分 . 点M(x0,y0)在圆x2+y2=1 上, , 3 5 5 m .10 分 4 18.18. (2018广陵区校级四模)已知椭圆 C:(ab0)的左焦点为 F,上顶点为 A,直线 AF 与 直线 x+y3垂直,垂足为 B,且点 A 是线段 BF 的中点 (1)求椭圆 C 的方程; (2)若 M,N 分别为椭圆 C 的左,右顶点,P 是椭圆 C 上位于第一象限的一点,直线 MP 与直线 x=4 交于点 Q,且=9,求点 P 的坐标 【分析】 (1)由直线 AF 与直线 x+y3垂直,可得:=1,则直线 AF 的

      6、方程为:y=x+c与椭圆方程 联立可得 B(,) ,于是c=0,解得 c,即可得出椭圆方程 (2)设 P(x0,y0) ,则直线 MP 的方程为 y=(x+2) ,可得 Q.9=2(x0+2)+,由点 P 在 椭圆上可得:=2,代入解出即可得出 (2)设 P(x0,y0) ,则直线 MP 的方程为 y=(x+2) ,Q 9=2(x0+2)+,7 分 由点 P 在椭圆上可得:=2,代入可得:9=2(x0+2)+, 化为:+x02=0,解得 x0=1 或2 (舍) , P12 分 19.19. (2018江苏一模)已知椭圆 C:(ab0)经过点,点 A 是椭圆 的下顶点 (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)过点 A 且互相垂直的两直线 l1,l2与直线 y=x 分别相交于 E,F 两点,已知 OE=OF,求直线 l1的斜率 【分析】 (1)根据题意,将两点的坐标代入椭圆的方程有,解可得、的值,即可得椭圆的方程; (2)设直线 l1:y=k1x1,与直线 y=x 联立方程有,可得 E 的坐标,设直线 l2:, 5 同理可得 F 的坐标,又由 OE=OF,所以,解可得 k 的值,即可得答案

      7、【解析】:(1)根据题意,椭圆 C:(ab0)经过点, 则有,解得,3 分 所以椭圆 C 的标准方程为;5 分 (2)由题意知 A(0,1) ,直线 l1,l2的斜率存在且不为零, 设直线 l1:y=k1x1,与直线 y=x 联立方程有,得, 设直线 l2:,同理,7 分 因为 OE=OF,所以, ,无实数解; ,解得, 综上可得,直线 l1的斜率为12 分 2020 (2018辽宁模拟)已知 M()是椭圆 C:(ab0)上的一点,F1F2是该椭圆的左 右焦点,且|F1F2|=2 (1)求椭圆 C 的方程; (2)设点 A,B 是椭圆 C 上与坐标原点 O 不共线的两点,直线 OA,OB,AB 的斜率分别为 k1,k2,k3,且 k1k2=k2试探究|OA|2+|OB|2是否为定值,若是,求出定值,若不是,说明理由 【分析】 (1)根据椭圆的定义及椭圆的性质,即可求得 a 和 b 的值,即可求得椭圆方程; (2)设直线 AB 的方程,代入椭圆方程,利用韦达定理及直线的斜率公式,求得 k2=,即可求得 |OA|2+|OB|2=5 为定值 【解析】:(1)由题意,F1(,0) ,F2(,0

      8、) ,根据椭圆定义|PF1|+|PF2|=2a, 所以 2a=+=4, 所以 a2=4,b2=a2c2=1 椭圆 C 的方程;5 分 6 (2)设直线 AB:y=kx+m, (km0) ,A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 由,消去 y 得(1+4k2)x2+8kmx+4m24=0, =(8km)24(1+4k2) (4m24)0,x1+x2=,x1x2=, 因为 k1k2=k2,所以=k2, 即 km(x1+x2)+m2=0(m0) ,解得 k2=,8 分 |OA|2+|OB|2=x12+x22+y12+y22=(x1+x2)22x1x2+2=5, 所以|OA|2+|OB|2=5 为定值12 分 21.21. (2018南充模拟)已知椭圆 C:+=1(ab0)的离心率为,点 M(2,1)在椭圆 C 上 (1)求椭圆 C 的方程; (2)直线 l 平行于 OM,且与椭圆 C 交于 A,B 两个不同的点,若AOB 为钝角,求直线 l 在 y 轴上的截距 m 的取值范围 【分析】 (1)由椭圆 C:+=1(ab0)的离心率为,点 M(2,1)在椭圆 C 上,列出方程组, 求出 a,b

      9、,由此能求出椭圆 C 的方程 (2)设 l 的方程为 y=x+m,再与椭圆方程联立,将AOB 为钝角,转化为0,且 m0,利用韦达 定理,即可求出直线 l 在 y 轴上的截距 m 的取值范围 【解析】:(1)椭圆 C:+=1(ab0)的离心率为,点 M(2,1)在椭圆 C 上 ,解得 a=2,b=,c=,3 分 椭圆 C 的方程为=15 分 (2)由直线 l 平行于 OM,得直线 l 的斜率 k=kOM=, 又 l 在 y 轴上的截距为 m,l 的方程为 y= 1 2 xm 由,得 x2+2mx+2m24=08 分 7 又直线 l 与椭圆交于 A、B 两个不同点,=(2m)24(2m24)0,于是2m2 AOB 为钝角等价于0,且 m0, 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 则=x1x2+y1y2=, 由韦达定理 x1+x2=2m,x1x2=2m24,代入上式, 化简整理得 m22,即,故所求范围是()(0,) 12 分 22.22. (2018聊城一模)已知圆 x2+y2=4 经过椭圆 C:的两个焦点和两个顶点,点 A(0,4) ,M,N 是椭圆 C 上的两点,它们在 y 轴两侧,且MAN 的平分线在 y 轴上,|AM|AN| ()求椭圆 C 的方程; ()证明:直线 MN 过定点 【分析】 ()根据题意,由圆的方程分析可得椭圆的焦点和顶点坐标,即可得 c、b 的值,由椭圆的几何性 质计算可得 a 的值,即可得椭圆的标准方程; ()设直线 MN 的方程为 y=kx+m,与椭圆的方程联立,消去 y 得(2k2+1)x2+4kmx+2

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