【100所名校】2019届福建省高三上学期期中考试数学（文）试题（解析版）

2019届福建省三明市第一中学高三上学期期中考试数学（文）试题数学注意事项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、单选题1已知i是虚数单位，复数(1+i)(a+i)是实数，则实数a=A0 B-2 C-1 D12已知m,nR，集合A=2,log7m，B=m,n，若AB=1，则mn=A1 B7 C2 D83已知fx是定义在R上的偶函数，且fx在0,+)上单调递减，则Af0>flog32>f-log23 Bf-log23>flog32>f0Cf0>f-log23>flog32 Dflog32>f0>f-log234若等比数列an的前n项和为Sn，且S3=14，a1=2，则a4=A16 B-54 C16或-54 D-16或545若a、b表示直线，表示平面，则以下命题为正确命题的个数是若a/b,b，则a/； 若a/,b/，则a/b；若a/b,b/，则a/； 若a/,b，则a/b；A0 B1 C2 D36已知变量x,y满足约束条件x+y<6x-3y<-2x>1，若z=2x+3y的取值集合为M，则A3M B5M C17M D14M7椭圆x225+y216=1的焦点为F1,F2，P为椭圆上一点，若F1PF2=60°，则F1PF2的面积是A1633 B3233 C163 D3238已知底面半径为1，高为3的圆锥的顶点和底面圆周都在球O的球面上，则此球的表面积为A32327 B12 C4 D1639已知曲线y=sin(x+3)(>0)关于直线x=对称，则的最小值为A23 B12 C13 D1610已知点P(1，2)和圆C：x2+y2+kx+2y+k2=0，过点P作圆C的切线有两条，则k的取值范围是A(-，233) B(-233，233) CR D(-233，0)11设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)与直线x=a2交于A、B两点，O为坐标原点，若ABO是直角三角形，则椭圆的离心率为A63 B33 C12 D2212已知函数f(x)=lnxx-kx在区间4e,e上有两个不同的零点，则实数k的取值范围是A1e2,14e B(14e,12e) C14e,12e) D1e2,12e)二、填空题13已知两个单位向量a,b的夹角为120°，则|2a-b|的值为_14已知cos(-4)=35，则sin+4=_.15一个空间几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的体积是_16设a+2b=4，b0，则12|a|+|a|b的最小值为_.三、解答题17数列an的前n项和为Sn=32n2+n2 ,(nN*)（I）求数列an的通项公式； （II）求数列an+12n的前n项和Tn18已知fx=3cos2x+sinxcosx，xR（1）求函数fx的最小正周期及单调递减区间；（2）在ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c，若fA2-6=3，c=2，且ABC面积为23，求a19如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，AB/EF，矩形ABCD所在平面和圆O所在平面垂直，已知AB2，EF1（I）求证：平面DAF平面CBF；（II）若BC1，求四棱锥FABCD的体积20已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的左焦点为F，上顶点为A，直线AF与直线x+y-32=0 垂直，垂足为B，且点A是线段BF的中点.（I）求椭圆C的方程；（II）若M，N分别为椭圆C的左，右顶点，P是椭圆C上位于第一象限的一点，直线MP与直线x=4 交于点Q，且MPNQ=9,求点P的坐标.21已知函数f(x)=lnx+ax，aR.（1）讨论函数f(x)的单调性；（2）当a>0时，证明f(x)2a-1a.22选修4-4：坐标系与参数方程已知在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为x=cosy=1+sin (为参数).以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系.（I）求圆C的普通方程及其极坐标方程；（II）设直线l的极坐标方程为sin(+3)=2，射线OM:=6与圆C的交点为P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长.23选修4-5：不等式选讲已知不等式2x+3+2x-1<a的解集为M.（I）若a=6，求集合M；（II）若M，求实数a的取值范围.12019届福建省三明市第一中学高三上学期期中考试数学（文）试题数学 答 案参考答案1C【解析】【分析】根据复数1+ia+i是实数，将其展开化简后，令虚部等于零，求得实数a的值.【详解】依题意1+ia+i=a-1+a+1i是实数，故a+1=0，解得a=-1，所以选C.【点睛】本小题主要考查复数的乘法运算，考查复数是实数的条件，即虚部为零.属于基础题.复数乘法运算要注意i2=-1.2B【解析】【分析】根据两个集合的交集含有元素1可知，两个集合都有元素1，代入集合A求得m的值，进而求得n的值和mn的值.【详解】由于AB=1，所以1是两个集合的公共元素，故log7m=1,m=7，代入集合B得，n=1.所以mn=7.本小题选B.【点睛】本小题考查集合交集的运算.两个集合的交集，是这两个集合的公共元素所构成的集合.属于基础题.3A【解析】【分析】由于函数是偶函数，所以f-log23=flog23.再根据函数fx在0,+上的单调性，可判断出正确的选项.【详解】由于函数是偶函数，所以f-log23=flog23.由于log23>log22=log33>log32>0，且函数在0,+单调递减，故f0>flog32>f-log23.所以选A.【点睛】本小题考查函数的奇偶性，考查函数的单调性，以及对数比较大小等知识，属于中档题.考查奇偶性方面，若函数为奇函数，则满足f-x=-fx，若函数为偶函数，则满足fx=f-x.奇函数在y轴两侧的单调性相同，偶函数在y轴两侧的单调性相反.4C【解析】【分析】将S3用a1,q来表示，求得q的值，进而求得a4的值.【详解】由于数列是等比数列，所以有S3=a11-q31-q=21-q31-q=14，解得q=-3或q=2，当q=-3时，a4=a1q3=2-33=-54；当q=2时，a4=a1q3=223=16.故选C.【点睛】本小题考查利用基本元的思想求解等比数列的公比，考查等比数列的通项公式及前n项和公式.要注意有两个解，属于基础题.5A【解析】【分析】根据空间中直线与平面的位置关系，对四个命题逐一进行判断，由此得出正确的选项.【详解】对于，直线a可能在平面内，故错误.对于，a,b两条直线可以相交，故错误.对于，直线a可能在平面内，故错误.对于，a,b两条直线可以异面.故没有正确的命题，所以选A.【点睛】本小题主要考查空间直线和直线平行、直线和平面平行的位置关系的判断.可以举出反例，证明命题是错误命题.属于基础题.6D【解析】【分析】画出可行域，通过平移直线2x+3y=0，求得z的取值范围，由此判断正确选项.【详解】画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点A1,5处取得最大值为17，在点B1,1处取得最小值为5.但是由于三条不等式都是没有等号的，故z5,17，故14M，选D.【点睛】本小题主要考查线性规划求目标函数的取值范围.画出可行域后，可将目标函数z=3x+2y对应的基准直线2x+3y=0平移到可行域边界的位置，注意是纵截距的边界位置，由此求得最大值或者最小值.要注意的是，如果对应的不等式没有等号，则可行域的边界为虚线，不能取到边界值.7A【解析】【分析】椭圆焦点三角形的面积公式为S=b2tan2，直接代入公式可求得面积.【详解】由于椭圆焦点三角形的面积公式为S=b2tan2，故所求面积为16tan30=1633，故选A.【点睛】本小题主要考查椭圆焦点三角形的面积，椭圆焦点三角形的面积公式为S=b2tan2，将题目所给数据代入公式，可求得面积.属于基础题.8D【解析】【分析】画出圆锥的轴截面对应的三角形BCD，由于圆锥的顶点和底面圆周都在球O的球面上，故球心为三角形BCD的外心，球的半径为三角形BCD外接圆半径.通过正弦定理求得三角形BCD外接圆半径，进而求得球的表面积.【详解】画出圆锥的轴截面对应的三角形BCD如下图所示，由于圆锥的顶点和底面圆周都在球O的球面上，故球心为三角形BCD的外心，球的半径为三角形BCD外接圆半径.依题意BE=3,EC=ED=1，所以BC=CD=BD=2,即三角形BCD为等边三角形，内角为3，由正弦定理得2R=asinA=2sin3,R=23，故球的表面积为4R2=4×43=163.故选D.【点睛】本小题主要考查求解几何体外接球的表面积.此类问题的关键在于找到球心的位置.本题是通过对圆锥轴截面三角形的分析得到球心的位置.属于中档题.9D【解析】【分析】三角函数在对称轴的位置取得最大值或者最小值，即f=sin+3=±1，对选项逐一排除，可得到正确选项.【详解】由于三角函数在对称轴的位置取得最大值或者最小值，即f=sin+3=±1，显然，当=16时，sin6+3=sin2=1符合题意，其它选项不符合.故选D.【点睛】本小题主要考查三角函数的对称轴，三角函数在对称轴的位置取得最大值或者最小值.属于基础题.10B【解析】【分析】二元二次方程是圆的方程，要满足D2+E2-4F>0.由于过P可以做圆的两条切线，故P点在圆外.将P点的坐标代入圆的方程，变为关于k的一元二次不等式，解这个不等式可求得k的取值范围.【详解】由于过P可以做圆的两条切线，故P点在圆外.将P点的坐标代入圆的方程得，1+4+k+4+k2>0，即k2+k+9>0，由于其判别式为负数，故恒成立. 另外二元二次方程是圆的方程，要满足D2+E2-4F>0，即k2+22-4k2>0，即k2<43，解得k-233,233.故选B.【点睛】本小题考查二元二次方程是圆的方程的条件，考查点和圆的位置关系，还考查了一元二次不等式的解法.属于中档题. 二元二次方程是圆的方程，要满足D2+E2-4F>0.而判断一个点和一个圆的位置关系，可将点的坐标代入圆的方程，根据所得的结果来进行判