【100所名校】2019届吉林省长春市实验中学高三上学期开学考试数学（文）试题（解析版）

1 2019 届吉林省长春市实验中学 高三上学期开学考试数学（文）试题 数数学学 注注意意事事项项： 1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上 的指定位置。 2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的 非答题区域均无效。 4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、单选题一、单选题 1= A B C D 2已知集合，则 A B C D 3命题“若,则且的逆否命题是 A 若,则且 B 若,则或 C 若且，则 D 若或，则 4下列函数中,在区间上为增函数的是 A B C D 5已知，则 A B C D 6函数的零点所在的大致区间是 A B C D 7函数的最小值为 A B C D 8执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的结果为 A 2 B 3 C 4 D 5 9表面积为 24 的正方体的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积是 A B C D 2 10直线 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到 的距离为其短轴长的 ，则该椭圆的离心率为 A B C D 11函数的图象大致为 A B C D 12在中，分别是所对的边，若，则 A B C D 二、填空题二、填空题 13某同学在高三参加的九次考试成绩分别为 85，94，101，110，106，123，123，122，130，则这些次 成绩的中位数是_ 14已知向量， ，则与的夹角的大小为_1, 3a 3,1b a b 15已知双曲线的渐近线方程为，焦点坐标为，则双曲线的方程为_. 16已知奇函数，则函数的极大值点是_. 三、解答题三、解答题 17已知公差为 1 的等差数列 ，依次为一个等比数列的相邻三项. (1)求数列的通项公式；(2)求数列的前 10 项和. 18针对国家提出的延迟退休方案，某机构进行了网上调查，所有参与调查的人中，持“支持”、“保留”和 “不支持”态度的人数如下表所示： 支持保留不支持 岁以下 岁以上（含岁） (1)在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取 个人，已知从持“不支持”态度的人中抽取了人，求 的值； (2)在接受调查的人中，有人给这项活动打出的分数如下：， ，把这个人打出的分数看作一个总体，从中任取一个数，求该数与总体平均数之差的绝对值超过 的概率 19如图，三棱柱中，侧棱垂直底面，,， 是棱的中点. （1）证明：平面； （2）平面分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比. 20已知抛物线过点. (1)求抛物线的准线方程; 3 (2)设 为 上第一象限内的动点，过点 作抛物线的切线交其准线于点, 为准线上一点，且， 求当最小时点 的坐标. 21函数 . (1)求的单调区间;(2)若恒成立,求 取值范围 22在直角坐标系中，以 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆 的极坐标方程为 ， 直线 的参数方程为 ( 为参数)，直线 和圆 交于两点， 是圆 上不同于 的任意一点. (1)求圆心的极坐标；(2)求面积的最大值. 23已知函数. （1）记函数，求函数的最小值； （2）记不等式的解集为，若时，证明. 1 2019 届吉林省长春市实验中学 高三上学期开学考试数学（文）试题 数数学学 答答 案案 参考答案参考答案 1A 【解析】 【分析】 根据复数运算法则计算即可. 【详解】 ，故选 A. 【点睛】 本题主要考查了复数的除法运算，属于中档题. 2A 【解析】 【分析】 化简集合 M，根据交集的定义即可求出. 【详解】 因为，所以，故选 A. 【点睛】 本题主要考查了集合的交集运算，属于中档题. 3D 【解析】 【分析】 根据命题的逆否命题的定义即可求解. 【详解】 因为原命题为“若,则且，所以逆否命题为若或， 则，故选 D. 【点睛】 本题主要考查了命题的逆否命题，属于中档题. 4A 【解析】 【分析】 根据基本初等函数的增减性，逐一分析即可. 【详解】 对于 A,因为，所以在区间上为增函数，对于 B,在区间上为减函数，对 于 C，在区间上为减函数，对于 D，在区间上不单调，故选 A. 【点睛】 本题主要考查了常见基本初等函数的增减性，属于中档题. 5C 【解析】 【分析】 根据同角三角函数的关系，先求出，再求出即可. 2 【详解】 因为，所以 在第四象限，故选 C. 【点睛】 本题主要考查了同角三角函数的基本关系及三角函数在各象限的符号，属于中档题. 6B 【解析】 【分析】 根据零点存在性定理逐一判断选项即可. 【详解】 因为， 而，所以必在内有一零点，所以选 B. 【点睛】 本题主要考查了函数的零点的存在性定理，属于中档题. 7B 【解析】 【分析】 化简函数为，根据正弦函数的有界性求解即可. 【详解】 因为， 所以，故选 B. 【点睛】 本题主要考查了三角函数的二倍角公式及两角和正弦公式的逆用，属于中档题. 8C 【解析】分析：根据程序框图依次写出循环体的运行结果即可 详解：由程序框图，得： ， ， ， 结束循环，输出的 值为 4 点睛：本题考查算法初步中的程序框图、对数运算等知识，意在考查学生的逻辑思维能力和基本计算能 力 9D 【解析】 【分析】 根据表面积可知正方体棱长，又正方体的对角线是球的直径，即可求出球的表面积. 【详解】 因为，所以，所以，,故，选 D. 【点睛】 本题主要考查了球的表面公式，球的内接正方体的表面积及对角线，属于中档题. 10C 3 【解析】 【分析】 不妨设顶点和焦点分别为，则直线 l 方程为，利用点到直线的距离公式得， 又知，即可求出. 【详解】 不妨设顶点和焦点分别为，则直线 l 方程为,由点到直线的距离公式得，又 ，所以，故选 C. 【点睛】 本题主要考查了椭圆的焦点、顶点、离心率、短轴及点到直线的距离，属于中档题. 11A 【解析】 分析：先利用函数为奇函数排除选项 C、D，再利用特殊函数值的符号排除选项 B 详解：易知的定义域为， 且 ， 即函数是奇函数，图象关于原点对称， 故排除选项 C、D； 又， 故排除选项 B，故选 A 点睛：在已知函数的解析式判定函数的图象时，常采用排除法，往往从以下几方面进行验证： 定义域（函数的定义域优先原则）、最值、周期性、函数的奇偶性（奇函数的图象关于原点对称、偶函 数的图象关于 轴对称）或对称性、单调性（基本函数的单调性、导数法）、特殊点对应的函数值等 12D 【解析】 【分析】 由余弦定理可得，由正弦定理可得,因为，所以,根据即可求出. 【详解】 由余弦定理知， ，即，由正弦定理知 解得,因为， 所以， ，故选 D. 【点睛】 本题主要考查了正弦定理，余弦定理及两角和差的余弦公式，属于中档题. 13110 【解析】 【分析】 把数据按从小到大的顺序排成一列，85,94,101,106,110,122，123,123,130，中间一个数即为中位数. 【详解】 4 按中位数定义，把数据按从小到大的顺序排成一列，85,94,101,106,110,122，123,123,130，第 5 个数即为 中位数，所以中位数为 110. 【点睛】 本题主要考查了统计中的中位数概念，属于中档题. 14 6 【解析】设与的夹角的大小为，则，又，即a b 2 33 cos 2 22 a b ab 0 6 与的夹角的大小为，故答案为.a b 6 6 15 【解析】分析：先利用双曲线的渐近线方程设出双曲线的方程，再利用焦点坐标确定有关系数 详解：将化为， 设以为渐近线的双曲线方程为， 又因为该双曲线的焦点为， 所以， 解得，即双曲线方程为 点睛：在处理双曲线的方程和其渐近线方程时，往往要先讨论双曲线的焦点在那个坐标轴上，记住以下 设法，可避免讨论： 双曲线的渐近线方程可设为； 以直线为渐近线的双曲线方程可设为 16 【解析】 【分析】 根据函数是奇函数可知，由函数导数，可知其极值点，即可求解. 【详解】 因为函数为奇函数，所以，所以，又由得 或，当或时，当时，所以函数在，上单 调递增，在上单调递减，所以极大值点为. 【点睛】 本题主要考查了函数奇偶性，函数的极值点，属于中档题. 17（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）根据成等比数列列方程即可求解（2）根据数列通项可得，相加相消即可求 解. 【详解】 （1）因为成等比数列，所以，即，解得，所以 . （2）因为 ，所以 5 【点睛】 本题主要考查了等差数列的通项公式，等比中项，裂项求和，属于中档题.解题时如果发现数列通项为分 母是积的形式的分式，可以考虑裂项相消法求解. 18(1)120;(2). 【解析】 【分析】 （1）参与调查的总人数为 20000，其中从持“不支持”态度的人数 5000 中抽取了 30 人，由此能求出 n.（2）总体的平均数为 9，与总体平均数之差的绝对值超过 0.6 的数有 8.2,8.3,9.7，由此能求出任取 1 个数与 总体平均数之差的绝对值超过 0.6 的概率. 【详解】 （1）参与调查的总人数为 8000+4000+2000+1000+2000+3000=20000,其中不支持态度的人数 2000+3000=5000 中抽取了 30 人，所以 n=. （2）总体的平均数 与总体平均数之差的绝对值超过 0.6 的数有 8.2,8.3,9.7，所以任取一个数与总体平均数之差的绝对值超过 0.6 的概率. 【点睛】 本题主要考查了样本容量的求法，分层抽样，用列举法求古典概型的概率，属于中档题. 19(1)略；（2）1：1 【解析】 【分析】 （1）由题意易证平面 BDC,再由面面垂直的判定定理即可证得平面 （2）设棱锥 B- DACC1的体积为 V1，AC=1，易求,三棱柱 的体积 V=1,于是可得（V-V1）: V1=1:1 即可得出答案. 【详解】 证明：（1）由题意知 ,又 . 由题设知 平面 BDC,又平面 BDC1 平面 （2）设棱锥 B-DACC1的体积为 V1，AC=1，由题意得, 又三棱柱 的体积 V=1, （V-V1）:V1=1:1 两部分体积的比为 1:1. 【点睛】 本题主要考查了平面与平面垂直的判定，线面垂直的判定，棱柱、棱锥的体积，属于中档题. 20(1) (2) . 【解析】 6 【分析】 （1）因为抛物线过点，代入即可求出方程（2）设抛物线上 P 点坐标，写出过 P 点切线，求出 M 的 坐标，再利用求出 N 的坐标，写出，利用导数求其最小值即可. 【详解】 （1）因为抛物线过点，所以，即 ，所以抛物线方程为. （2）设,过 P 的切线斜率，切线方程为， 因为准线方程为，所以,又，可求出， 所以，(t0),令， ，令 得，即，当 时，当时，所以当时， 有最小值，此时. 【点睛】 本题主要考查了抛物线的标准方程，切线方程，向量垂直，利用导数求函数极值，属于难题.解决本题的 关键在于写出后，利用函数求其极值点，即可得出 P 点坐标. 21(1) 当时，增；当时，减，增； (2) . 【解析】 【分析】 （1）求导数，分类讨论即可求出单调区间 （2）根据（1）写出函数最小值，即可求出 a 的取值范围. 【详解】 （1）因为，当时，所以函数在上单增，当时，由得 ，且时，时