【100所名校】2019届北京四中高三第一学期期中考试数学（文科）试题（解析版）

2019届北京四中高三第一学期期中考试数学（文科）试题数学注意事项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、单选题1设函数y=x-2018的定义域为M，函数y=ex的值域为P，则MP=A(0,+) B2018,+ C0,+) D(2018,+)2在下列函数中，是偶函数,且在（0，1）内单调递减的是Ay=2x By=1x Cy=lgx Dy=cosx3执行如图所示的程序框图若输出的结果是16，则判断框内的条件是An>6? Bn7? Cn>8? Dn>9?4在ABC中，a33，b3，A3，则C为A6 B4 C2 D23 5函数y=Asinx+（>0,<2,xR）的部分图像如图所示，则函数表达式为Ay=-4sin(8x-4) By=-4sin(8x+4)Cy=4sin(8x-4) Dy=4sin(8x+4)6设m,n为非零向量，则“存在负数，使得m=n”是“mn<0”的A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件7已知函数 ，若，使得 成立，则实数的取值范围为A B C D8设xR，定义符合函数sgn(x)=1,x>00,x=0-1,x<0，则下列等式正确的是Asinxsgn(x)=sin|x| Bsinxsgn(x)=|sinx|Csinxsgn(x)=sinx Dsinxsgn(x)=sinx二、填空题9i为虚数单位，计算(-3-i)i=_。10命题“x(0,+)，使得lgx>0成立”的否定是_。11已知向量a=(1,3),b=(3,1)，则a与b夹角的大小为_.12设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax若f(x)为奇函数，则曲线y=f(x)在点(0，0)处的切线方程为_13已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有点A(1，a)，且cos2=23，则|a|=_14对于函数f(x)，若存在一个区间A=a,b，使得y|y=f(x),xA=A，则称A为f(x)的一个稳定区间，相应的函数f(x)叫“局部稳定函数”，给出下列四个函数：f(x)=tan4x；f(x)=1-x2；f(x)=ex-1；f(x)=ln(x-1)，所有“局部稳定函数”的序号是_。三、解答题15已知集合A=x|x-5x+10,xR，Bx|x22xm<0，(1)当m3时，求A(RB)；(2)若ABx|1<x<4，求实数m的值16已知ABC的三个内角分别为A,B,C,且2sin2(B+C)=3sin2A.（）求A的度数； （）若BC=7,AC=5,求ABC的面积S.17已知函数f(x)=cosx(cosx+3sinx)。（I）求f(x)的最小正周期；（II）当x0,2时，求函数f(x)的单调递减区间。18已知实数a0，函数f(x)=ax(x-2)2(xR). (1) 求函数f(x)的单调区间；(2) 若函数f(x)有极大值32，求实数a的值.19已知数列an是公比为13的等比数列，且a2+6是a1和a3的等差中项（）求an的通项公式；（）设数列an的前n项之积为Tn，求Tn的最大值20已知函数f(x)=x2lnx-2x （）求曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程；（）求证：存在唯一的x0(1,2)，使得曲线y=f(x)在点(x0,f(x0)处的切线的斜率为f(2)-f(1)；（）比较f(1.01)与-2.01的大小，并加以证明12019届北京四中高三第一学期期中考试数学（文科）试题数学 答 案参考答案1B【解析】【分析】首先求得集合M和集合P，然后求解其交集即可.【详解】求解函数y=x-2018的定义域可得M=2018,+，求解函数y=ex的值域可得P=0,+，则MP=2018,+.本题选择B选项.【点睛】本题主要考查集合的表示方法，交集的定义与运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2D【解析】【分析】先判断奇偶性，然后再判断单调性【详解】对于A，y=2x不是偶函数，故排除对于B，y=1x不是偶函数，故排除对于C，y=lgx不是偶函数，故排除对于D，y=cosx是偶函数，且在0，1内单调递减，符合题意故选D【点睛】本题考查了函数的奇偶性和单调性的判断，只需按照题意结合概念即可判断，较为基础。3C【解析】试题分析：第一次循环，S=1,n=3，不满足条件，循环。第二次循环，S=1+3=4,n=5，不满足条件，循环。第三次循环，S=4+5=9,n=7，不满足条件，循环。第四次循环，S=9+7=16,n=9，满足条件，输出。所以判断框内的条件是n>8，选C考点：程序框图.4C【解析】【分析】由正弦定理先求出B的值，然后求出结果【详解】在ABC中，a=33,b=3,A=3sinB=bsinAa=3×3233=12b<a，则B=6C=-A-B=-3-6=2故选C【点睛】本题运用正弦定理解三角形，熟练运用公式即可求出结果，较为简单。5B【解析】由图象可知A=-4，T=2×(6+2)=16，=216=8.8×6+=0，=-34，y=4sin(8x-34)=-4sin(8x+4).本题选择B选项.点睛：已知f(x)Asin(x)(A0，0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数和，常用如下两种方法：(1)由2T即可求出；确定时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令x00(或x0)，即可求出.(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出和，若对A，的符号或对的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.6A【解析】试题分析：若<0，使m=n，则两向量m,n反向，夹角是180°，那么mn=mncos180°=-mn<0；若mn<0，那么两向量的夹角为90°,180°，并不一定反向，即不一定存在负数，使得m=n，所以是充分而不必要条件，故选A.【名师点睛】判断充分必要条件的的方法：（1）根据定义，若pq,q>p，那么p是q的充分不必要条件，同时q是p的必要不充分条件；若pq，那么p，q互为充要条件；若p>q,q>p，那么就是既不充分也不必要条件.（2）当命题是以集合形式给出时，那就看包含关系，已知p:xA,q:xB,若AB，那么p是q的充分不必要条件，同时q是p的必要不充分条件；若A=B，那么p，q互为充要条件；若没有包含关系，那么就是既不充分也不必要条件.（3）命题的等价性，根据互为逆否命题的两个命题等价，将p是q条件的判断，转化为¬q是¬p条件的判断.7B【解析】由函数的解析式可得函数的最小值为： ,则要考查的不等式转化为： ，解得： ，即实数的取值范围为 .本题选择B选项.点睛： (1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a)的形式时，应从内到外依次求值(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围8A【解析】试题分析：x>0时，sinxsgn(x)=sinx，x<0时，sinxsgn(x)=-sinx=sin(-x)，所以sin|x|，A正确故选A考点：新定义91-3i【解析】【分析】由复数的运算法则计算即可.【详解】由复数的运算法则可得：-3-ii=-3i-i2=1-3i.【点睛】本题主要考查复数的运算法则，属于基础题.10x(0,+),都有lgx0成立；【解析】【分析】将特称命题否定为全称命题即可.【详解】特称命题的否定为全称命题，则命题“x0,+,使得lgx>0成立”的否定是“x0,+,都有lgx0成立”.【点睛】对含有存在(全称)量词的命题进行否定需两步操作：(1)将存在(全称)量词改写成全称(存在)量词；(2)将结论加以否定这类问题常见的错误是没有变换量词，或者对于结论没给予否定有些命题中的量词不明显，应注意挖掘其隐含的量词1130.【解析】试题分析：两向量夹角为cosa,b=ab|a|b|=232×2=32,又两个向量夹角范围是0,所以夹角为6.【考点】向量数量积与夹角公式【名师点睛】由向量数量积的定义ab=|a|b|cos（为a，b的夹角）可知，数量积的值、模的乘积、夹角知二可求一，再考虑到数量积还可以用坐标表示，因此又可以借助坐标进行运算.当然，无论怎样变化，其本质都是对数量积定义的考查.求解夹角与模的题目在近几年高考中出现的频率很高，应熟练掌握其解法.12y=x 【解析】【分析】首先根据奇函数的定义，得到a-1=0，即a=1，从而确定出函数的解析式，之后对函数求导，结合导数的几何意义，求得对应切线的斜率，应用点斜式写出直线的方程，最后整理成一般式，得到结果.【详解】因为函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax是奇函数，所以f(-x)=-f(x)，从而得到a-1=0，即，所以f(x)=x3+x，所以f(0)=0，所以切点坐标是(0,0)，因为f'(x)=3x2+1，所以f'(0)=1，所以曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为y=x，故答案是y=x.【点睛】该题考查的是有关函数图象在某点处的切线问题，涉及到的知识点有奇函数的定义，导数的几何意义，属于简单题目.1355【解析】【分析】根据已知条件先求出cos的值，再由二倍角公式代入化简，求得结果【详解】由题意可得：cos=11+2cos2=2cos2-1=21+2-1=1-21+2=23解得2=15则|a|=55故答案为55【点睛】本题主要考查了二倍角公式的运用，只要表示出已知角的余弦值，运用公式，即可求出结果，本题较为基础。14【解析】“局部稳定函数”的定义可以转换为：函数f(x)与y=x至少有两个