【100所名校】2019届江西省高三上学期期中考试数学(理)试题（解析版）

1 2019 届江西省南昌市第十中学 高三上学期期中考试数学 (理)试题 数数学学 注注意意事事项项： 1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上 的指定位置。 2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的 非答题区域均无效。 4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、单选题一、单选题 1已知集合， ，则 = | 2 0 A，使得成立 B，使得成立 0 (0) 00 (0) 0 C，使得成立 D，使得成立 0 (0) 00 (0) 0 3已知，且，则向量 与向量 的夹角为 |= 1|=2 ( ) A B C D 6 4 3 2 3 4已知数列的前 项和，则数列的前项和为 an n Sn = 2 n 1 an2 10 A B C D 4 10 1 (2 10 1 )2 1 3(4 10 1 ) 1 3(2 10 1 ) 5如图所示，在正方体中，为的中点，则图中阴影部分在平面上的 1111 1111 正投影是 A B C D 6已知数列an满足 anan1 (nN*)，a22，Sn是数列an的前 n 项和，则 S21为 1 2 A5 B C D 7 2 9 2 13 2 7中 ， ， 的对边分别是 ， ， ，其面积，其中 的大小是 = 2+ 2 2 4 A B C D 30°90°45°135° 8已知函数的图像与 轴交点的横坐标构成一个公差为 的等差数列，把 () =3 + ( 0) 2 函数的图像沿 轴向左平移 个单位长度，得到函数的图像，若在区间上随机取一个数 ，则事件“ () 6()0, ”发生的概率为 () 3 A B C D 1 4 1 3 1 6 2 3 9设函数是定义在 上的奇函数，且当时，单调递增，若数列是等差数列，且， () 0() 3 0 则的值 (1) + (2) + (3) + (4) + (5) A恒为正数 B恒为负数 C恒为 0 D可正可负 10设 是的重心，且，则 的大小为 () + () + () = 0 A45B60C30D15 11若函数 在区间内没有最值,则 的取值范围是 () = ( + 6)( 0)(,2) A B (0, 1 12 1 4, 2 3 (0,1 6 1 3, 2 3 C D 1 4, 2 3 1 3, 2 3 12设，若函数恰有 3 个零点，则实数 的取值范围为 () = + 1 =|()| 2 A B C D (0, 2 3) ( 2 3,) ( 1 ,1) (0, 1 ) 2 3 2 二、填空题二、填空题 13已知复数，其中 为虚数单位，则_. = 1 2 + |= 14函数（，且）的图像恒过定点 ，若点 在直线上，其 = ( + 3) 1 0 1 + + 2 = 0 中，则的最小值为_. 0 0 2 + 1 15已知数列满足，若对任意都有，则实数 的取值范围是 =( 1 2 ) + 1, + 1 _. 16菱形的边长为 ，,为的中点，若 为菱形内任意一点（含边界），则的最 2 = 60° 大值为_ 三、解答题三、解答题 17已知函数的最小正周期为 () = (2 3 ) + 2( 0)2 求 的值； (1) 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，面积，求 b (2) () = 2 =3 = 3 3 4 18已知数列的前 项和为，且满足，. = 4 3( 1) （1）求数列的通项公式； （2）令，记数列的前 项和为，证明：. = 2 1 ( 1)(+ 1) 1 3 3 22已知曲线的参数方程为（ 为参数），以平面直角坐标系的原点 为极点， 轴的正 1 = 3 = 半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 2 ( + 4) =2 （1）求曲线的直角坐标方程及曲线上的动点 到坐标原点 的距离的最大值； 21 | （2）若曲线与曲线相交于 ， 两点，且与 轴相交于点 ，求的值 21 |+| 23已知. () =|2 4|+| + | （1）当时，求不等式的解集； = 1() 5 （2）若不等式恒成立，求 的取值范围. () 2 | 2| 1 2019 届江西省南昌市第十中学 高三上学期期中考试数学 (理)试题 数数学学 答答 案案 参考答案参考答案 1D 【解析】 ， ，则 = | 2 2 | 2 ，故选 D. ()=| 2 0)(，2) 函数 在区间内单调， ()(，2) ， (，2) + 3 ， + 4 3 ， ，解得 + 3 + 4 3 2 ， + 1 3 2 + 2 3， 由，得 + 1 3 0 0 0 当时， ( 2 3, + ) '() + 1 1 2 0，5 6，01 【详解】 ，若对任意都有， =( 1 2 ) + 1, + 1 1 2 0，5 6，01 ， 1 2 0，(1 2 ) × 5 + 1，01 解得 1 2 7 12 故答案为 ( 1 2, 7 12) 【点睛】 本题考查了数列与函数的单调性、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 169 【解析】 试题分析：由数量积的几何意义知，当在上的投影最大时，最大. · 从图可以看出，当 N 点在点 C 处，在上的投影最大，所以的最大值为： · . · = ( + 1 2)·( + ) = 9 考点：向量的数量积及其几何意义 17(1) (2)3 1 2 【解析】 【分析】 （1）化简 ，根据函数的最小正周期即可求出 的值 () = 2(2 6) = 2 2 = 2 2）由（1）知，.由，求得，再根据的面积， () = 2( 6) () = 2( 6) = 2 = 2 3 = 3 3 4 解得，最后由余弦定理可求出 . =3 【详解】 （1） () = 2 3 2 + 2 =32 2 = 2(2 6) 故函数的最小正周期，解得. = 2 2 = 2 = 1 2 （2）由（1）知，.由，得（）.所以 () = 2( 6) () = 2( 6) = 2 6 = 2 + 2 （）.又，所以.的面积，解得 = 2 + 2 3 (0,) = 2 3 = 1 2 = 1 2 ×3 × × 2 3 = 3 3 4 .由余弦定理可得 ，所以. =32= 2+ 2 2 = ( 3)2+ ( 3)2 2 ×3 ×3 2 3= 9 = 3 【点睛】 本题主要考查三角恒等变换、三角函数的图象与性质、解三角形等基础知识；考查运算求解能力，考查 函数与方程思想、数形结合思想，属于中档题 18（1）；（2）见解析 = 4( ) 【解析】 【分析】 （1）运用数列的递推式，令 n=1 求得首项，再由 n2 时，an=Sn-Sn-1，结合等比数列定义和通项公式可得 所求； （2）由（1）有 bnlog2anlog24n2n，可得，由裂项相消法求和，化简整 1 ( 1)(+ 1) = 1 2( 1 2 1 1 2 + 1) 理，结合数列的单调性和不等式的性质，即可得证 【详解】 5 （1）当时，有，解得. = 1 1= 1= 4 3(1 1) 1= 4 当时，有， 2 1= 4 3( 1 1) 则， = 1= 4 3( 1) 4 3( 1 1) 整理得：，数列是以为公比，以为首项的等比数列 1 = 4 = 4 1= 4 所以， = 4 × 4 1= 4( ) 即数列的通项公式为： = 4( ) （2）由（1）有，则 = 2= 2 1 ( 1)(+ 1) = 1 2( 1 2 1 1 2 + 1) 所以 = 1 1 × 3 + 1 3 ×