【100所名校】2019届北京市第四中学高三第一学期期中考试数学（理科）试题（解析版）

1 2019 届北京市第四中学 高三第一学期期中考试数学（理科）试题 数数学学 注注意意事事项项： 1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上 的指定位置。 2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的 非答题区域均无效。 4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、单选题一、单选题 1设函数的定义域为，函数的值域为 ，则 = 2018 = = A B C D (0, + )2018, + )0, + )(2018, + ) 2下列函数，其中既是偶函数又在区间上单调递减的函数为 (0,1) A B C D = = = 1 = 2 3函数（）的大致图象是 = | 2 6 7 8 9 5函数（）的部分图像如图所示，则函数表达式为 = sin( + ) 0,| 0 0, = 0 1, 0 12在极坐标系中， 为极点，点 为直线上一点，则的最小值为_ : = + 2| 13已知函数，则 ，的最小值是 () = + 2 3, 1 (2+ 1), 1 （）当，时，求函数的零点个数； = = 4() （）若，求在上的最大值 = 1() 1,1 1 2019 届北京市第四中学 高三第一学期期中考试数学（理科）试题 数数学学 答答 案案 参考答案参考答案 1B 【解析】 【分析】 首先求得集合 M 和集合 P，然后求解其交集即可. 【详解】 求解函数的定义域可得， = 2018 =2018, + ) 求解函数的值域可得， = =(0, + ) 则. =2018, + ) 本题选择 B 选项. 【点睛】 本题主要考查集合的表示方法，交集的定义与运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 2A 【解析】 【分析】 分别考查函数的奇偶性和函数的单调性即可求得最终结果. 【详解】 逐一考查所给的函数的性质： A.，函数为偶函数，在区间上单调递减； = (0,1) B.，函数为非奇非偶函数，在区间上单调递增； = (0,1) C.，函数为奇函数，在区间上单调递减； = 1 (0,1) D.，函数为偶函数，在区间上单调递增； = 2(0,1) 据此可得满足题意的函数只有 A 选项. 本题选择 A 选项. 【点睛】 本题主要考查函数的单调性，函数的奇偶性等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 3C 【解析】 试题分析：因为时，所以不选 A;因为函数为偶函数，所以不选 D；因为时， = 0 = 0 (0, 2) = 所以选 C. 考点：函数图像与性质 【名师点睛】 函数图象的辨识可从以下几方面入手： (1)从函数的定义域判断图象的左右位置；从函数的值域判断图象的上下位置； (2)从函数的单调性判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性判断图象的对称性； (4)从函数的周期性判断图象的循环往复； (5)从函数的特殊点判断图象的相对位置等 4C 【解析】 2 试题分析：第一次循环，不满足条件，循环。第二次循环，不满足条 = 1, = 3 = 1 + 3 = 4, = 5 件，循环。第三次循环，不满足条件，循环。第四次循环，满足 = 4 + 5 = 9, = 7 = 9 + 7 = 16, = 9 条件，输出。所以判断框内的条件是，选 C 8 考点：程序框图. 5B 【解析】 由图象可知， = 4， = 2 × (6 + 2) = 16 . = 2 16 = 8 ， 8 × 6 + = 0 ， = 3 4 . = 4( 8 3 4 ) = 4( 8 + 4) 本题选择 B 选项. 点睛：已知 f(x)Asin(x)(A0，0)的部分图象求其解析式时，A 比较容易看图得出，困难的是求 待定系数 和 ，常用如下两种方法： (1)由 即可求出 ；确定 时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标 x0，则 2 令 x00(或 x0)，即可求出 . (2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出 和 ， 若对 A， 的符号或对 的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求. 6D 【解析】 原命题：“ ， 为两个实数，若，则 ， 中至少有一个不小于 1”， + 2 逆命题：“ ， 为两个实数，若 ， 中至少有一个不小于 1，则，” + 2 否命题：“ ， 为两个实数，若，则 ， 中都小于 1” + 0 () = 6 3 = 2 （2）当时，有三个实根； 0 6 3 符号情况（1），此时原方程有 1 个根， 由，而，符号情况（3），此时原方程有 2 个根，综上得共有 3 个根； 2= 2+ 12 2 2 2 6 3 符号情况（1）或（2），此时原方程有 1 个或三个根， 由，又，符号情况（3），此时原方程有两个根， 2 0 (0, + ), 0 【点睛】 对含有存在(全称)量词的命题进行否定需两步操作：(1)将存在(全称)量词改写成全称(存在)量词；(2)将结 论加以否定这类问题常见的错误是没有变换量词，或者对于结论没给予否定有些命题中的量词不明显， 应注意挖掘其隐含的量词 12 2 4 【解析】 【分析】 首先将直线方程转化为直角坐标方程，然后利用点到直线距离公式确定的最小值即可. | 【详解】 直线方程转化为直角坐标方程即：， = + 2 坐标原点到直线的距离：， (0,0) + 2 = 0 = |0 0 + 2| 1 + 1 =2 即的最小值为. |2 【点睛】 本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，点到直线距离公式的应用等知识，意在考查学生的转 化能力和计算求解能力. 13，. 【解析】 试题分析：，若： ( 3) = ( 3)2+ 1 = 1( 3) = (1) = 1 + 2 3 = 0 1 ，当且仅当时，等号成立；若：，当 () = + 2 3 2 2 3 = 2 = 2 0 时，函数 f(x)的单调增区间是，(2，)；单调减区间是. 当 a 9 2 【详解】 （1），当 a=0 时， '() = 33 3 2'() = 33 3 当 x0 时，所以 y=f(x)在 x0 时单调递增， '() = 33 3 0 又因为 f(0)=0，f(x)f(0)=0. （2），记， '() = 33 3 2() = 33 3 2'() = 93 2 当时，x0 时， 9 2'() = 93 2 0 y=g(x)在 x0 时单调递增， g(x)g(0)=0，即 f(x)f(0)，所以 y=f(x)在 x0 时单调递增，f(x)f(0)=0. 当时，令，得， 9 2'() = 93 2 = 0 0= 1 3 2 9 当时， 0 ,0'() '(0) 在单调递减， () = 33 3 2 0 ,0 g(x)g(0)=0，即 f(x)f(0)=0，在单调递减， () = 3 1 3 2 (0 ,0) f(x)f(0)=0，与题设矛盾 综上所述， 9 2 【点睛】 导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高 考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应 用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系 (2)利用导 数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数 (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的 优化问题 (4)考查数形结合思想的应用 20（）2；（）见解析. 【解析】 试题分析：（），由导数性质得是（0，+）上的增函数，是（- '() = + 2 1'(0) = 0() ，0）上的减函数，由此能求出 f（x）的零点个数 （）当 x-1，1时， ，由导数性质得 f（x）是-1，0上的减函 '() = + 2 = 2 + ( 1) 数，0，1上的增函数，由此利用导数性质和构造法能求出 a 的取值范围 试题解析： （）， () = + 2 4'() = + 2 1'(0) = 0 当时，故是上的增函数， 0 1'() 0()(0, + ) 当时，故是上的减函数， 0 1 (1,2) ()(0, + ) 7 ，存在是在上的唯一零点， ( 2) = 1 2 + 2 0 ( 1) = 1 2 0 1 1 0 0'() 0 当时，由，可知， 1 1 1 （当且仅当时等号成立）， '() = 1 + 1 2 2 = (1 1)2 0 = 1 在上单调递增，而， ()(0, + )(1) = 0 当时，即时， 1() 0 1 1 2 0 (1) ( 1) 在上的最大值为. () 1,1(1)=