【100所名校】2019届高三10月月考数学（理）试题（解析版）

1 2019 届北京市第八十中学 高三 10 月月考数学（理）试题 数数学学 注注意意事事项项： 1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上 的指定位置。 2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的 非答题区域均无效。 4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、单选题一、单选题 1已知集合 A1，0，1，2，则 AB A 1，0，1 B 0，1，2 C 0，1 D 1，2 2阅读程序框图，如果输出的函数值在区间内，则输入的实数 x 的取值范围 A B C D 3如果将绕原点 O 逆时针方向旋转 120°得到，则的坐标是 A B C D 4不等式组的解集记为，若则 1 24 xy xy D( , ),x yD A B22xy 22xy C D22xy 22xy 5若是常数，则“且”是“对任意，有”的 , ,a b c0a 2 40bacxR 2 0axbxc A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 必要条件 6我国南北朝时的数学著作张邱建算经有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降 之，上三人先入，得金四斤，持出，下三人后入得金三斤，持出，中间四人未到者，亦依次更给，问各得金 几何？”则在该问题中，等级较高的二等人所得黄金比等级较低的九等人所得黄金 A 多 1 斤 B 少 1 斤 C 多斤 D 少斤 1 3 1 3 7设函数的零点为 ，的零点为 ，若，则可以是 A B C D 8在实数集 R 中定义一种运算“*”，为唯一确定的实数，且具有性质： （1）对任意，； （2）对任意，. 关于函数的性质，有如下说法： 函数的最小值为 3； 2 函数为偶函数； 函数的单调递增区间为.其中正确说法的序号为 A B C D 二、填空题二、填空题 9已知为数列的前 n 项和，且，则_；数列的通项公式为_ 10已知函数的图像与直线有且只有两个交点，且交点的横坐标分别为 ，那么_. 11已知向量 与 不共线，且.若 A，B，D 三点共线，则 _. 12函数 ，若对一切恒成立，则实数 a 的取值范围是_. 13已知非零实数 满足等式，则 _. 14已知函数 （1）当 a1 时，函数的值域是_. （2）若存在实数 b，使函数有两个零点，则实数 a 的取值范围是_. 三、解答题三、解答题 15已知等差数列满足，且的前 n 项和记为. （1）求及； （2）令，求数列的前 n 项和. 16已知函数. （1）求函数的最小正周期及图像的对称轴方程； （2）当时，求函数的值域. 17在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且. （1）若，求； （2）若 b4，求的最小值. 18已知函数， . lnf xxx 2 2g xaxx0a （1）求函数在上的最值； f x 1 ,e e （2）求函数的极值点. h xf xg x 19已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求证：. 20若无穷数列满足：对任意，；存在常数 M，对任意， 则称数列为“T 数列”. 3 （1）若数列的通项为，证明：数列为“T 数列”； （2）若数列的各项均为正整数，且数列为“T 数列”，证明：对任意，； （3）若数列的各项均为正整数，且数列为“T 数列”，证明：存在，数列为等差数 列. 1 2019 届北京市第八十中学 高三 10 月月考数学（理）试题 数数学学 答答 案案 参考答案参考答案 1C 【解析】 【分析】 先化简集合 B,再求 AB. 【详解】 由题得 B=x|0x0 时，总是在对数函数的图像的上方， 由题得所以 g(x)在(1,0)处的切线方程为 y=x-1. 当 a=1 时，直线在 x0 时，总是在对数函数的图像的上方， 当 a1 时，不满足题意， 故答案为：a=1 【点睛】 （1）本题主要考查不等式的恒成立问题，考查对数函数的图像和性质，考查曲线的切线方程，意在考查 学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题有两个关键，其一是整理得到 lnxa(x-1)，其二是数 形结合分析得到 a 的取值范围. 13± 【解析】 【分析】 原式可化简为 sin2=2+，由|2|+|2=1 可知 sin2=±1 故可求得 【详解】 16+ =16sincos 5 16+ =8sin2 sin2=2+ |2|+|2=1 sin2=±1 =± 故答案为：± 【点睛】 本题主要考察了二倍角的正弦公式的应用，三角函数的基本性质和基本不等式，意在考查学生对这些知 识的掌握水平和分析推理能力. 142a4 【解析】 【分析】 先求出每一段的值域，再综合得到函数的值域.(2) 由 g（x）=f（x）b 有两个零点可得 f（x）=b 有两个零点，即 y=f（x）与 y=b 的图象有两个交点，则函数在定义域内不能是单调函数，结合 函数图象可求 a 的范围 【详解】 当时，的值域为, 当 x1 时，的值域为，所以函数 f(x)的值域为. (2) g（x）=f（x）b 有两个零点 f（x）=b 有两个零点，即 y=f（x）与 y=b 的图象有两个交点， 由于 y=x2在0，a）递增，y=2x在a，+）递增， 要使函数 f（x）在0，+）不单调， 即有 a22a，由 g（a）=a22a，g（2）=g（4）=0， 可得 2a4 故答案为：；2a4 【点睛】 （1）本题主要考查分段函数的值域和零点问题，考查指数函数和二次函数的图像和性质，意在考查学生 对这些知识的掌握水平和分析推理能力.（2）处理零点问题常用的策略有方程法、图像法和方程+图像法. 15(1) ， Sn=n2+2n;(2). 【解析】 【分析】 (1)设等差数列an的公差为 d，由于 a3=7，a5+a7=26，可得，解得 a1， 再利用通项公式和前 n 项和公式即可得出（2）由（1）知 an=2n+1，利用“裂项求和”即可得出 6 【详解】 （1）设等差数列an的公差为 d， a3=7，a5+a7=26， ，解得 a1=3，d=2， an=3+2（n1）=2n+1； Sn=n2+2n （2）由（1）知 an=2n+1， bn=， Tn=， 即数列bn的前 n 项和 Tn= 【点睛】 (1)本题考查了等差数列通项公式和前 n 项和公式、“裂项求和”等基础知识与基本技能方 法(2) 类似（其中是各项不为零的等差数列， 为常数）的数列、部分无 理数列等.用裂项相消法求和. 16(1) ,;(2) . 【解析】 【分析】 （1）先根据两角和与差的正余弦公式进行化简，根据 T=可求得最小正周期，再由正弦函 数的对称性可求得对称轴方程（2）利用不等式的性质和三角函数的图像和性质逐步求出函 数的值域. 【详解】 （1）f（x）= = = 周期 T=， 由 函数图象的对称轴方程为 (2), 所以函数的值域为. 【点睛】 (1)本题主要考查三角恒等变换，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分 析推理能力.(2) 对于复合函数的问题自然是利用复合函数的性质解答，求复合函数的最值，一般从复合函数 的定义域入手，结合三角函数的图像一步一步地推出函数的最值. 7 17（1） 【解析】 【分析】 （1）先求出 sinB=，再求.(2)先利用余弦定理和基本不等式求出 ac 的最大值，再求 的最小值. 【详解】 因为 ,，所以 sinB=. 因为 sinA= ,所以,.所以 C 是锐角. 所以. (2). 由余弦定理得 （当且仅当 a=c时取等） 所以的最小值为-5. 【点睛】 （1）本题主要考查同角的平方关系和和角的余弦公式，考查余弦定理，考查平面向量的数量积和基本不 等式求最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是分析出 A 和 B 的隐含 范围，否则容易求出双解. 18（1）最大值为，最小值为；（2）见解析.11 e 【解析】试题分析：（1）对函数进行求导可得，求出极值，比较端点值和极值即可 f x 1 1fx x 得函数的最大值和最小值；（2）对进行求导可得 ，利用求根公式求出导函数的零 h x h x 2 21axx x 点，得到导数与 0 的关系，判断单调性得其极值. 试题解析：（1）依题意， ,令，解得.因为， 1 1fx x 1 10 x 1x 11f ， ，且，故函数在上的最大值为，最小值 11 1 ee f e1 ef 1 1 e11 e f x 1 ,e e 1 为.1 e （2）依题意， ， ，当 h xf xg x 2 lnxaxx 1 21h xax x 2 21axx x 时，令，则.因为，所以 0a 0h x 2 210axx 1 80a 2 21axx h x x ，其中， .因为，所以， ，所 12 2a xxxx x 1 11 8 4 a x a 2 11 8 4 a x a 0a 1 0x 2 0x 以当时， ，当时， ，所以函数在上是增函数，在 2 0xx 0h x 2 xx 0h x h x 2 0,x 上是减函数，故为函数的极大值点，函数无极小值点. 2, x 2 11 8 4 a x a h x h x 19(1) ex4y+e=0;(2)证明见解析. 【解析】 【分析】 （1）根据曲线的解析式求出导函数，把 P 的横坐标代入导函数中即可求出切线的斜率，根 据点的坐标和求出的斜率写出切线的方程即可；（2）设，求出函 数的导数，通过讨论函数的单调性，结合 x 的范围证明即可 【详解】 8 （1）f（x）=，f（x）=，f（1）= ， f（1）= ， 曲线 y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为 ex4y+e=0； （2）设，则， x（1，+）F''（x）0F'（x）在（1，+）上为增函数； 又因，在（1，+）上为增函数； 在（1，+）都成立 设， 由于=32（2e）0， 则在（1，+）上为增函数， 又 G（1）=0，若 x1 时，则 综上： 【点睛】 (1)本题主要考查求曲线的切线方程，考查利用导数证明不等式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和 分析推理能力.(2)解答本题关键有两点，其一是构造函数，并证明在（1，+） 都成立，其二是构造函数，并证明. 20（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析. 【解析】 【分析】 （1）由数列an的通项求得 an+1，an+