【100所名校】2019届河北省高三上学期期中考试数学文试题（解析版）

1 2019 届河北省唐山一中 高三上学期期中考试数学文试题 数数学学 注注意意事事项项： 1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上 的指定位置。 2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的 非答题区域均无效。 4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、单选题一、单选题 1已知集合，则 = |2 02= 2+ ( ) （1）求数列的通项公式； （2）若，令，求数列的前 项和，并比较 与 1 的大小关系. 0 = ( 1) 1 2 + 1 ( + 1) 19已知函数() = 2 3 + 2 2 （1）求函数的对称轴；对称中心；单调递增区间； () = 2 3 + 22 （2）在中，分别是所对的边，当时，求内切圆面积的最大值. ,()= 2， = 2 20如图，三棱柱中，侧面为菱形，的中点为 ，且平面. 111111 11 （1）证明：1 （2）若 AC,求三棱柱的高. 11= 60°， = 1 111 21已知函数. () = 3 3 2 + ( + 1)( ) （1）若为的极值点，求 的值； = 2() （2）当时，方程有实数根，求 的最大值 = 1 () = 3 3 + 1 22已知函数 () = + 1 （1）若对任意恒成立，求实数 的取值范围； () + (¬) 考点：命题真假 【名师点睛】若要判断一个含有逻辑联结词的命题的真假，需先判断构成这个命题的每个简单命题的真 假，再依据“或”一真即真，“且”一假即假，“非”真假相反，做出判断即可 以命题真假为依据求参数的取值范围时，首先要对两个简单命题进行化简，然后依据“pq”“pq”“非 p” 形式命题的真假，列出含有参数的不等式(组)求解即可 6B 【解析】 分析：根据函数的单调性与奇偶性将转化为，从而可得结果. (3 ) 1 详解：因为函数为偶函数，且在单调递减， () = ( 1)( + )(0, + ) 所以在上递增， ()( ,0) 又因为， (1)= 0 由得， (3 ) 1 4 4 4 3 【方法点睛】在数学运算中,为了解题方便,我们常将“ ”代换成另一种形式.高中数学中有不少题目，如果 1 能巧妙地利用 的代换，将大大地简化计算量和计算过程，能收到事半功倍的良效.本题就是巧妙运用 1 ，把变换成，然后再利用均值不等式求出的最小值，从而得到关于的不等 + 4 ( + 4 )( 1 + 4 ) + 4 式，进一步求得的范围 考点：1、均值不等式；2、不等式有解成立的条件 10A 【解析】 【分析】 根据的向量的几何意义，利用 P，M，Q 三点共线，得出 m，n 的关系，利用基本不等式求最小值 【详解】 由已知，可得= = + = + 1 3 + 1 3( ) =， 2 3 + 1 3 2 3 + 1 3 因为 P，M，Q 三点共线，所以=1， 2 3 + 1 3 所以 mn+m=（）（） 2 + 3 + 2 3 + 4 3 2 3 + 4 3 2 3 + 1 3 = 10 9 + 4 9 + 4 9 10 9 + 2 4 9 × 4 9 =2， 故选：A 【点睛】 在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.一正：关系式中，各项均为正数；二 定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；三相等：含变量的各项均相等，取得最值. 11A 【解析】 【分析】 化简 f（x）的解析式，作出 f（x）的函数图象，利用三角函数的性质求出直线 y=1 与 y=f（x）在 （0，+）上的交点坐标，则 介于第 4 和第 5 个交点横坐标之间 【详解】 f（x）=2sin（x ）， 3 作出 f（x）的函数图象如图所示： 令 2sin（x ）=1 得 x = +2k，或 x =+2k， 3 3 6 3 7 6 x=+，或 x=+，kZ， 6 2 3 2 2 设直线 y=1 与 y=f（x）在（0，+）上从左到右的第 4 个交点为 A，第 5 个交点为 B， 则 xA=，xB=， 3 2 + 2 6 + 4 方程 f（x）=1 在（0，）上有且只有四个实数根， xAxB， 即，解得 3 2 + 2 6 + 4 7 2 25 6 故选：A 【点睛】 4 本题考查了三角函数的恒等变换，三角函数的图象与性质，属于中档题 12C 【解析】 【分析】 当 x0 时，函数 f（x）=mxlnx 的导函数为，不妨设 x2=x10，则有， '() = 1 = 1 2= 1 可得：由直线的斜率公式得，m0，又 (1 ，1 + ) ( 1 ， (1 + ) = (2) (1) 2 1 = (1 + ) k0，可得 1+lnm0，令，得 h（m）=2+lnm=1+（1+lnm）0，得： 1 = () = (1 + )， 1 ，所以 (1 )() () 1 【详解】 当 x0 时，函数 f（x）=mxlnx 的导函数为， '() = 1 = 1 由函数 f（x）有两个极值点得 m0，又 f（x）为奇函数，不妨设 x2=x10， 则有，可得： 2= 1 (1 ，1 + ) ( 1 ， (1 + ) 由直线的斜率公式得，m0， = (2) (1) 2 1 = (1 + ) 又 k0，1+lnm0，（当时，k0，不合题意） 1 0 1 令得 h（m）=2+lnm=1+（1+lnm）0， = () = (1 + )， 1 h（m）在上单调递增，又， (1 ， + ) (1 ) = 0，() = 2 由 0k2e 得：，所以 (1 )() () 1 故选：C 【点睛】 本题考查利用导数研究函数的极值、零点及不等式问题，考查逻辑推理能力及运算能力，属于中档题 13 2 4 【解析】 【分析】 利用向量的数量积运算法则和夹角公式即可得出 【详解】 （2 + ）=1， 2 + 2= 1 ，化为 | | =22 + 2 = 1 = 1 2 = ， = | | | 1 2 1 ×2 2 4 故答案为： 2 4 【点睛】 本题考查了向量的数量积运算法则和夹角公式，属于基础题 14( ,3 【解析】 试题分析：满足不等式组的平面区域如图所示，由于对任意的实数，不等式恒 0, 0, 2 + 2 , + 3 成立，根据图形，可得斜率或，解得，则实数 的取值范围是 0 = 3 0 0 1 = 3 3 ( ,3 考点：简单的线性规划的应用 5 【方法点晴】本题主要考查了简单的线性规划的应用，其中解答中涉及直线的斜率公式，二元一次不等 式所表示的平面区域，不等式的恒成立问题等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能 力，以及数形结合和转化思想的应用，本题的解答中正确画出约束条件所表示的平面区域，合理转化恒成立 问题是解答的关键，属于中档试题 15 2 2019 【解析】 【分析】 利用三角恒等变换可得 f（x）=2sin（2019x+ ），依题意可知 A=2，|x1x2|的最小值为 T=，从而可得 6 1 2 2019 答案 【详解】 f（x）=sin（2019x+ ）+cos（2019x ）， 6 3 =sin2019x+ cos2019x+ cos2019x+sin2019x， 3 2 1 2 1 2 3 2 =sin2019x+cos2019x 3 =2sin（2019x+ ）， 6 A=f（x）max=2，周期 T=， 2 2019 又存在实数 x1，x2，对任意实数 x 总有 f（x1）f（x）f（x2）成立， f（x2）=f（x）max=2，f（x1）=f（x）min=2， |x1x2|的最小值为 T=，又 A=2， 1 2 2019 A|x1x2|的最小值为 2 2019 故答案为： 2 2019 【点睛】 本题考查三角函数的最值，着重考查两角和与差的正弦与余弦，考查三角恒等变换，突出正弦函数的周 期性的考查，属于中档题 16 17 8 【解析】 【分析】 由题意画出图形，设 PD=x，PE=y，PF=z，由余弦定理得到关于 x，y，z 的方程组，求解可得 x，y，z 的 值，然后分别求出三角形 PDE 的面积及 F 到平面 PDE 的高，代入棱锥体积公式得答案 【详解】 如图， 设 PD=x，PE=y，PF=z，则 DE=2，DF=EF=， 7 由余弦定理得，x2+y22xy =4 1 2 y2+z22yz =7 1 2 z2+x22zx =7 1 2 得，x2y2=xzyz， 即（x+y）（xy）=z（xy）， xy，则 z=x+y， 6 代入，得 x2+y2+xy=7， 又 x2+y2xy=4，不妨设 xy， 解得，x=，y=，z= 34 +10 4 34 10 4 34 2 则=， =