【100所名校】2019届吉林省长春市实验中学高三上学期期中考试数学（文）试题（解析版）

1 2019 届吉林省长春市实验中学 高三上学期期中考试数学（文）试题 数数学学 注注意意事事项项： 1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上 的指定位置。 2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的 非答题区域均无效。 4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、单选题一、单选题 1已知集合，则 = |0 4, = | 0 ,3 3 0 C “” D “” 0 ,03 30 00 ,03 30 0,| 0 1 （1）若，解不等式； = 2() 0() 0 1 2019 届吉林省长春市实验中学 高三上学期期中考试数学（文）试题 数数学学 答答 案案 参考答案参考答案 1B 【解析】 【分析】 根据绝对值不等式的解法化简集合 ,再利用并集的定义求. 【详解】 由题意得， = |0 4=0,4 ， = | 0 【点睛】 本题主要考查全称命题的否定，属于简单题.全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否 定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词、存在量词改写为全称量词;二是要否 定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论即可. 3D 【解析】 【分析】 根据诱导公式，结合特殊角的三角函数即可得结果. 【详解】 化简 ，故选 D. 11 3 = (4 3) = ( 3) = 3 = 1 2 【点睛】 本题主要考查诱导公式的应用以及特殊角的三角函数，属于简单题.对诱导公式的记忆不但要正确理解“奇 变偶不变，符号看象限”的含义，同时还要加强记忆几组常见的诱导公式，以便提高做题速度. 4C 【解析】 【分析】 利用排除法，当时排除 ；当时，排除 ；当时，排除 D,从而可得结果. = 1 = 1 = 1 【详解】 当时，函数，所以选项 不正确； = 1 = 2+ | = 1 当时，函数，所以选项 不正确； = 1 = 2+ | = 1 当时，函数， = 1 = 2+ | =(1 ) 2 1 2 与 夹角为，故选 C. 60 【点睛】 本题主要考查向量的夹角及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是 ，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， （此时 =| = 12+ 12 = · |·| 往往用坐标形式求解）；（2）求投影， 在 上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量 · |, = 0 的模（平方后需求）. + 8A 【解析】 【分析】 先根据函数图象得到周期求出，然后带特殊点求值即可. = 2 【详解】 由图可知函数的周期为，则.则, = 13 12 12 = = 2() = (2 + ) 将代入解析式中得, = 12 ( 12) = (2 × 12 + ) = 3 2 则或者， 6 + = 3 + 2, 6 + = 2 3 + 2, 解得或者. = 6 + 2, = 2 + 2, 因为，则.选 . | 0 可得到答案. 【详解】 由题意，函数， () = (+ ) 则，所以函数为奇函数， ( ) = ( + ) = ()() 又由， '() = + + ( ) 当时，所以且， 0 1,0 0( ) 0 即，所以函数在为单调递增函数， '() 0()0, + ) 又由函数为奇函数，所以函数为 上的增函数，故选 A. ()() 【点睛】 本题主要考查了函数的单调性与奇偶性的判定，其中熟记函数奇偶性的定义，以及利用导数判定函数的 单调性的方法，以及指数函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，试题有一定的难度，属于 中档试题. 10D 【解析】 【分析】 直接根据正弦型函数的图象与性质，对选项中的命题真假性逐一判断即可. 【详解】 对于 , 函数的最小正周期为，故 错误； ()= (2 + 3) = 2 = 对于 ，时，其图象不关于点对称,故 错误； = 6 ()= (2 × 6 + 3) = 3 2 0 ( 6,0) 4 对于 ,函数的图象向左平移 个单位得，故 错误； ()= 2 3 2( + 3) = (2 + 2 3) 对于 ，时,，函数在区间上是增函数 ( 12, 12) 2 + 3 ( 4, 5 12)() ( 12, 12) , 正确，故选 D. 【点睛】 本题主要考查三角函数的图象与性质，属于中档题.由 函数可求得函数的周期为；由 = ( + ) 2 | 可得对称轴方程；由可得对称中心横坐标. + = + 2 + = 11C 【解析】 【分析】 由余弦定理求得，可得，从而得 ，进而可得 =3 · = 2 3( + ) = 2 3 2 + 2 3 结果. 【详解】 中，已知， = 2, = 1, = 60 由余弦定理可得， 2= 1 + 4 2 × 1 × 2 × 1 2 = 3, =3 所以， 2+ 2= 2 设的中点为 ， 因为点为的重心， 所以， = 2 3 = 2 3( + ) 可得 · = 2 3( + ) = 2 3 2 + 2 3 ，故选 C. = 2 3 2 = 2 3 × 3 = 2 【点睛】 本题主要考查向量的几何运算及余弦定理的应用，属于难题向量的运算有两种方法，一是几何运算往 往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别 是两向量的和与差）；（）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算： 建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单） 12D 【解析】 【分析】 函数在 上有三个零点，转化为函数与由三个交点，先判断，可得当 () = = = 2 0 时，两图象必有一个交点，只需的图象在 轴右边由两个交点，利用导数研究函数的单调性与 0 所以， 0 作函数与的图象如图， = = 2 由图象可知，当时，两图象必有一个交点， 0 则有两个正根， = 2 即有两个正根， = 2 5 的图象在 轴右边由两个交点， = , = 2 记， ()= 2,'() = ( 2) 3 在上递减， ()(0,2) 在递增， (2, + ) 故， ()= (2)= 2 4 故时，两图象有两个交点； 2 4 故若函数有三个不同零点， ()= 2 则， 的取值范围是，故选 D. 2 4 ( 2 4, + ) 【点睛】 函数的性质问题以及函数零点问题是高考的高频考点，考生需要对初高中阶段学习的十几种初等函数的 单调性、奇偶性、周期性以及对称性非常熟悉；另外，函数零点的几种等价形式：函数的零点 = () () 函数在 轴的交点方程的根函数与的交点. = () ()() () = 0 = () = () 13Zkkk , 6 5 , 3 【解析】 试题分析：因为；所以由可得( )sin(2) 6 f xx kxk2 2 3 6 22 2 Zk, Zkkk , 6 5 , 3 所以函数的递减区间为 。Zkkk , 6 5 , 3 考点：三角函数的性质. 14(1,2 【解析】 【分析】 根据幂函数与对数函数的定义域列不等式可得结果. 【详解】 要使函数有意义， () = 1 2 ( 1) 则, 1 2 ( 1) 0 即, 0 0 时函数取得的最小值为 ，故错误，故答案为. = 0 1 2 【点睛】 本题主要通过对多个命题真假的判断，主要综合考查函数的单调性、函数的奇偶性、函数的图象与性质， 属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆 输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌 握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题. 17（1）1；（2）. 1,3 【解析】 【分析】 (1)由,可得，结合可得结果；（2）设，则 + ) ( ) = 3|2 |2= 3| = 2 = (,) ，可得 ，进而可得结果. = (2 , )| |2= 5 4 1,9 【详解】 (1),； ( + ) ( ) = 3 |2 |2= 3 | = 1 （2）设，则， = (,) = (2 , ) |