【100所名校】2019届浙江省宁波市镇海中学高三上学期期中考试数学试题（解析版）

1 2019 届浙江省宁波市镇海中学 高三上学期期中考试数学试题 数数学学 注注意意事事项项： 1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上 的指定位置。 2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的 非答题区域均无效。 4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、单选题一、单选题 1设全集，集合，则集合 = =| 3, =| 0 0, 0) 1,2 上一点，均位于第一象限，且，则双曲线 的离心率为 , 2 = 21 2= 0 A B C D 3 13 + 113 213 + 2 10如图，在三棱柱中，底面为边长为 的正三角形，在底面的射影为中点且到底 111 2 1 1 2 面的距离为，已知分别是线段与上的动点，记线段中点的轨迹为 ，则等于(注：表示 3, 11 | 的测度，本题中 若分别为曲线、平面图形、空间几何体，分别对应为其长度、面积、体积） A B C D 1 10 2 3 2 39 4 二、填空题二、填空题 11中国古代数学著作九章算术中有一个这样的问题：“某贾人擅营，月入益功疾（注：从第 2 月开 始，每月比前一月多入相同量的铜钱，3 月入 25 贯，全年（按 12 个月计）共入 510 贯“，则该人每月比前一 月多入_贯，第 12 月营收贯数为_. 12的最小正周期为_，为了得到函数的图象，可以将函 = (2 + 6) = (2 + 6) 数的图象向左最小移动_个单位 = 2 13已知直线，其中，若，则 =_，若， 1: +( + 2) + 1 = 0,2: + + 2 = 0 1 2 1/2 则 =_. 14已知，且，则的最小值_，此时 的值为_. , 42+ 2+ = 142+ 2 15已知两不共线的非零向量满足,则向量 与 夹角的最大值是_. ,|= 2| |= 1 16已知数列为等差数列，其前 项和为，且，给出以下结论：最小 21+ 33= 610= 010 ，正确的有_. 7= 1219= 0 17设函数，若存在互不相等的 个实数，使得 ()=|12 4| + 1, 1 ( 2)2+ , 1 4 1,2,3,4 ，则 的取值范围为_. (1) 1 = (2) 2 = (3) 3 = (4) 4 = 7 三、解答题三、解答题 18已知函数() = 3 3 +32 3 （1）求函数图象对称中心的坐标； () （2）如果的三边满足，且边 所对的角为 ，求的取值范围 ,2= () 19已知数列的前 项和为，且， = 2 3 2, = 1 2 （1）求证：数列为等比数列，并求出数列的通项公式； （2）是否存在实数 ，对任意，不等式恒成立？若存在，求出 的取值范围，若不存在请 , 说明理由 20如图，四棱锥的底面为平行四边形，平面平面， = , = 45° 点 是线段上靠近点 的三等分点 （1）求证： （2）若是边长为 的等边三角形，求直线与平面所成角的正弦值 2 21如图， 为坐标原点，点 为抛物线的焦点，且抛物线上点 处的切线与圆 1:2= 2( 0)1 相切于点 2:2+ 2= 1 （1）当直线的方程为时，求抛物线的方程； 2 = 0 1 （2）当正数 变化时，记分别为的面积，求 的最小值。 1,2 , 1 2 22已知，函数在点处与 轴相切 ()= 1 (1,1 ) （1）求 的值，并求的单调区间； () （2）当时，求实数的取值范围。 1() ( 1) 1 2019 届浙江省宁波市镇海中学 高三上学期期中考试数学试题 数数学学 答答 案案 参考答案参考答案 1D 【解析】 【分析】 先根据补集的定义求出集合 A 的补集，然后和集合 B 进行交集运算，可求 () 【详解】 因为 A=x|x3， 所以 =x|x3， 所以（）Bx|0x3 故选：D 【点睛】 本题的考点是集合的补集和交集运算，比较基础 2D 【解析】 【分析】 由三视图知原几何体是一个棱长为 2 的正方体挖去一四棱锥得到的，根据所提供的数据可求出正方体、 锥体的体积，从而得到答案 【详解】 由三视图知原几何体是一个棱长为 2 的正方体挖去一四棱锥得到的，该四棱锥的底为正方体的上底，高 为 1， 如图所示： 所以该几何体的体积为 23 ×22×1= 故选：D 1 3 20 3 【点睛】 本题考查三视图，考查柱体、锥体的体积计算，解决该类问题的关键是由三视图还原得到原几何体，画 三视图的要求为：“长对正，高平齐，宽相等” 3B 【解析】 由题意可得：， 9= 95= 45, 5= 5 由等差数列的性质可得：， 3+ 8= 5+ 6= 5 + 6= 12, 6= 7 该数列的公差：，故. = 6 5= 27= 6+ = 7 + 2 = 9 本题选择 B 选项. 4C 【解析】画出可行域如图阴影部分所示，易得1,1A （） 在处取得最大值zxy1,1A （）2 max z 故选 C 点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是 “一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解 对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标 代入目标函数求出最值. 5D 【解析】 2 【分析】 写出分段函数，分段求导后利用导函数的符号或导函数的零点判断函数 f（x）的图象的形状 【详解】 =， () = 2 | 2 ，0 2 ( ) ，0 当 x0 时，= '() = 2 1 ( ) 2 23 1 + ( ) 2 令 g（x）=2x31+ln（x）， 由，得， '() = 62+ 1 = 63+ 1 = 0 = 3 1 6 当 x（，）时，g（x）0，当 x（，0）时，g（x）0 3 1 6 3 1 6 所以 g（x）有极大值为= ( 3 1 6) = 2 × ( 3 1 6) 3 1 + 3 1 6 4 3 1 360 又 x20，所以 f（x）的极大值小于 0 所以函数 f（x）在（，0）上为减函数 当 x0 时，= '() = 2 1 2 23 1 + 2 令 h（x）=2x31+lnx， '() = 62+ 1 0 所以 h（x）在（0，+）上为增函数，而 h（1）=10，h（ ）= 1 2 3 4 20 又 x20，所以函数 f（x）在（0，+）上有一个零点，则原函数有一个极值点 综上函数 f（x）的图象为 D 中的形状故选：D 【点睛】 函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断 图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性； （4）从函数的特征点，排除不合要求的图象. 6C 【解析】 试题分析：对于，若直线，如果 ， 互相垂直，则在平面 内，存在与直线平行的直线，所以 是错误的；对于，若直线，则直线垂直于平面 内的所有直线，则在平面 内，一定存在无数条直 线与直线垂直，所以正确；对于，若直线，则在平面 内，一定存在与直线垂直的直线，所以 是错误的；对于，若直线，则在平面 内，一定存在与直线垂直的直线，所以是正确的故应 选 考点：1、直线与平面之间的位置关系 7A 【解析】分析：先把变形为，而，故可以利用诱导公式 2 +32 2(2 + 6) 2 + 6 = 2 2( 6 ) 和二倍角公式求解. 详解：因为，故 2 +32 = 2(2 + 6) 2 +32 = 2 2 2( 6 )= 22( 6 ) ，故选 A. = 2 42( 6 )= 10 9 点睛：本题考查诱导公式和两角和差的余弦、正弦公式的逆用，属于基础题.解题中注意根据正弦、余弦 前面的系数选择合适的辅助角变形，另外在求值过程中注意寻找已知的角和未知的角之间的联系. 8B 【解析】 【分析】 设an的公比为 q（q0），由等比数列的通项公式化简 a7=a6+2a5，求出 q，代入 aman=16a12化简得 m，n 的关系式，由“1”的代换和基本不等式求出式子的范围，验证等号成立的条件，由 m、n 的值求出式子的 最小值 【详解】 设正项等比数列an的公比为 q，且 q0， 由得：q=+， 7= 6+ 2566 26 化简得，q2q2=0，解得 q=2 或 q=1（舍去）， 因为 aman=16a12，所以=16a12， (1 1)(1