【100所名校】2018—2019学年北京八中第一学期高三期中考试数学（理科）试题（解析版）

1 20182019 学年北京八中第一学期 高三期中考试数学（理科）试题 数数学学 注注意意事事项项： 1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上 的指定位置。 2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的 非答题区域均无效。 4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、单选题一、单选题 1已知 m,nR, 集合 A = 2, log7m, 集合 B =m, n,若 AB =0, 则 m + n = A0 B1 C7 D8 2已知抛物线 ：的焦点为 ，准线与 轴的交点为 ，点 在 上且，则的面 2= 8| =2| 积为 A4 B8 C16 D32 3“”是“”的 0 + 0 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 4函数（且）的图象可能为 ()=( 1 ) 0 A B C D 5在ABC 中, M 是 BC 的中点, AM = 3, 点 P 在 AM 上, 且满足, 则 的值为 = 2 ( + ) A4 B2 C2 D4 6如图，点 为坐标原点，点，若函数（，且）及（，且） (1,1) = 0 1 = 0 1 的图象与线段分别交于点， ，且， 恰好是线段的两个三等分点，则 ， 满足 A B C D 1 1 7已知若函数只有一个零点，则 的取值范围是 () = 1 1, 1, ,0 f (x); （）若 x1 (0, 1), x2(1, +), 且 f (x1) = f (x2), 求证: x1 + x2 2. 19已知椭圆上的点到它的两个焦的距离之和为 ，以椭圆 的短轴为直径的圆 经 : 2 2 + 2 2 = 1( 0) 4 过这两个焦点，点 ， 分别是椭圆 的左、右顶点 （ ）求圆 和椭圆 的方程 1 3 （ ）已知 ， 分别是椭圆 和圆 上的动点（ ， 位于 轴两侧），且直线与 轴平行，直线， 2 分别与 轴交于点， 求证：为定值 20将所有平面向量组成的集合记作, 是从到的映射, 记作或, 其中 222 = () (1,2) = (1,2) 都是实数. 定义映射 的模为: 在的条件下的最大值, 记做. 若存在非零向量, 及 1,2,1,2 | = 1| 2 实数 使得, 则称 为 的一个特征值. () = （）若, 求; (1,2) = (1 21,2) （）如果, 计算 的特征值, 并求相应的 ; (1,2) = (1+ 2,1 2) （）试找出一个映射 , 满足以下两个条件: 有唯一的特征值 , . (不需证明) = | 1 20182019 学年北京八中第一学期 高三期中考试数学（理科）试题 数数学学 答答 案案 参考答案参考答案 1B 【解析】 【分析】 根据 AB=0，得出 log7m=0，求出 m 的值，从而得出 n 的值，再求出 m+n 的值 【详解】 根据 A=2，log7m，B=m，n，且 AB=0， 得 log7m=0，解得 m=1； n=0， m+n=1+0=1 故选：B 【点睛】 本题考查了集合交集的定义与应用问题，是基础题目 2B 【解析】 试题分析：解：F（2，0）K（-2，0），过 A 作 AM准线，则|AM|=|AF|，|AK|=|AM|，AFK 的 2 高等于|AM|，设 A（m2，2m）（m0）则AFK 的面积=4×2m =4m 又由|AK|=|AF|，过 A 作准线 22 1 2 22 的垂线，垂足为 P，三角形 APK 为等腰直角三角形，所以 m=AFK 的面积=4×2m =8 故答案为 B 22 1 2 考点：抛物线的简单性质 点评：本题主要考查了抛物线的简单性质考查了学生对抛物线基础知识的熟练掌握 3C 【解析】 令，则， () = + '() = 1 + 0 单调递增，且， ()(0) = 0 “”是”的必要条件故选 0 + 0C 4A 【解析】 由， ( ) = ( + 1 )( ) = ( 1 ) = () 所以函数是奇函数，所以函数的图象关于原点对称，故排除； ()(), 当时，排除 B，故选 A. = () = ( 1 ) = 1 0 0 根据对数函数的图象和性质可知：， 2+ 22 2+ 2(,) 的图象相交，故不正确 = () 考点：三角函数的图象变换、两角和与差的正弦函数 9C. 【解析】 解：在极坐标系中，圆的圆心（0,0）到直线即为 x+y=2 的距离为 = 22+ 2= 4 + = 2 10-3 3 【解析】 由题意可知双曲线的渐近线方程为， =± 其中一条渐近线的倾斜是， 60° ，故 =3 = 3 110 或3 【解析】 试题分析：由题意得： 考点：直线位置关系 12( ,1 【解析】 试题分析：由题意，由，可求得交点坐标为，要使直线上存在点满足约束 = 2 + 3 = 0 (1,2) = 2(,) 条件，如图所示，可得，则实数 m 的取值范围 + 3 0, 2 3 0, , 1( ,1 考点：线性规划 131,3 【解析】 解：如图令OAB = ，由于AB = 2故0A = 2cos，OB = 2sin， 如图DAX = 2 ，BC = 1，故xD= 2cos + cos（ 2 ） = 2cos + sin， yD= sin（ 2 ） = cos 故OB = （2cos + sin，cos） 同理可求得C（sin，cos + 2sin），即OC = （sin，cos + 2sin）， OBOC = （cos + 2sin，cos）（sin，2cos + sin） = 2 + sin2， OBOC = （cos + 2sin，cos）（sin，2cos + sin） = 2 + sin2， OBOC的最大值是3，最小值是1， 故答案是：1，3 14（1）（2） 0或 【解析】 试题分析：（1）在 x0 时，f（x）= 有解，即函数具有性质 P， 1 令-2x+2，即 2 = 1 22+ 2 2 1 = 0 =8-8=0，故方程有一个非 0 实根，故 f（x）=-2x+2具有性质 P； 2 f（x）=sinx（x0，2）的图象与 y= 有交点， 1 故 sinx= 有解，故 f（x）=sinx（x0，2）具有性质 P； 1 令 x+ = ，此方程无解， 1 1 故 f（x）=x+ ，（x（0，+）不具有性质 P； 1 综上所述，具有性质 P 的函数有：， （2）f（x）=alnx 具有性质 P，显然 a0，方程 xlnx= 有根， 1 g（x）=xlnx 的值域，+） 1 1 1 解之可得：a0 或 a-e 4 考点：本题考查方程和函数的综合 点评：解决本题的关键是审清题意，把方程的解转化为两个图象有交点，本题考查的是方程的根，新定 义，函数的值域，是方程和函数的综合应用，难度比较大 15（1） ；（2）详见解析 49 60 【解析】 试题分析：（1）求得所有基本事件的种数以及符合题意的基本事件种数，利用古典概型从而求解； （2）求得， ， 时的概率，得到分布列后即可求解期望 = 013 试题解析：（1）设“选出的 3 名同学来自不同班级”为事件 ，则，选出的 3 名同 () = 1 3 2 7+ 0 3 3 7 3 10 = 49 60 学来自班级的概率为 ；（2）随机变量 的所有可能值为 ， ， ， ，则 49 600123 ； ( = 0) = 0 3 3 7 3 10 = 7 24 ( = 1) = 1 3 2 7 3 10 = 21 40 ( = 2) = 2 3 1 7 3 10 = 7 40 ，随机变量 的分布列是 ( = 3) = 3 3 0 7 3 10 = 1 120 0123 7 24 21 40 7 40 1 120 随机变量 的数学期望 () = 0 × 7 24 + 1 × 21 49 + 2 × 7 40 + 3 × 1 120 = 9 10 考点：1随机变量的概率分布及其期望；2古典概型 16（1），；（2）见解析 = 6 0= 5 3 【解析】 试题分析：（1）将点代入，由已给条件可求得；由并结合图象可求得. (0, 3 2) = 6 ( 0+ 6) = 3 2 0= 5 3 （2）由（1）可得到，由，得，可得在 () + ( + 1 3) =3( + 3) 1 2, 1 3 6 + 3 2 3 和时，函数分别取得最大值和最小值。 + 3 = 0 + 3 = 2 3() 试题解析：（）图象过点， (0, 3 2) = 3 2 又， 0 0 所以,从而函数在是增函数.ex0，g （x）0，g（x）在1，+）上是增函数 '() 0()(0,1)' 又g（1）=00 1 由()得: (1) 2 1 即1 + 2 2 【点睛】 本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性的判断极值的求法，考查分析问题解决问题的能力 19（ ）；（ ）见解析 12+ 2= 2 2 4 +