概率论课件--第1章第4讲概率的公理化定义及概率的性质
设为试验E的样本空间，若 试验的样本空间是直线上某个区间，或者面、空间上的某个区域，从而含有无限多个样本点; 每个样本点发生具有等可能性 ; 则称E为几何概型。,几何概型 (等可能概型的推广),§1.4 概率的公理化定义及概率的性质,(1)几何概型,设试验的每个样本点是等可能落入区域上的随机点M，且D含在内,则M点落入子域D(事件A)上的概率为:,几何概型概率的定义,注： 及 在 是区间时 ，表示相应的长度；在 是平面或空间区域时，表示相应的面积或体积.,例1. 某人的表停了，他打开收音机听电台报时，已知电台是整点报时的，问他等待报时的时间短于十分钟的概率.,9点,10点,10分钟,几何概率的性质：,两两互不相容,可列可加性: 设,例2 两船欲停靠同一个码头, 设两船到达码头的时间各不相干，而且到达码头的时间在一昼夜内是等可能的.如果两船到达码头后需在码头停留的时间分别是1 小时与2 小时,试求在一昼夜内，任一船到达时，需要等待空出码头的概率.,设：船1 到达码头的瞬时为 x ，0 x 24 船2 到达码头的瞬时为 y ，0 y 24 事件 A 表示任一船到达码头时需要等待 空出码头,解:,注：用几何概型可以回答例1.2.4中提出“概率为1的事件为什么不一定发生?”这一问题。,由于点可能投在正方形的对角线上, 所以,事件A未必一定发生.,概率的公理化定义,前面分别介绍了统计概率定义、古典概率及几何概率的定义，它们在解决各自相适应的实际问题中，都起着很重要的作用，但它们各自都有一定局限性.,为了克服这些局限性，1933年，俄数学家柯尔莫哥落夫在综合前人成果的基础上，抓住概率共有特性，提出了概率的公理化定义，为现代概率论的发展奠定了理论基础。,概率的公理化的定义:,(2)规范性,(1)非负性,设 是给定的实验E的样本空间，对其中的任意一个事件A，规定一个实数P(A)，若P(A)满足：,(3)可列可加性设,两两互不相容，则：,则称P(A)为事件A的概率.,(3) P(A-B)=P(A)-P(AB), P(-A)=1 - P(A). 若A是B的子事件, 则P(B-A)=P(B) - P(A)； P(A)P(B); (4) P(A+B)=P(A)+P(B) - P(AB), P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC) -P(BC)+P(ABC),加法公式可推广到有限个事件的情形.设 是n个随机事件,则有,类似可证其他.,=P(A)+P(B)-P(AB),P(A+B)=PA+(B-AB) =P(A)+P(B-AB),P(A)=P(A-B)+P(AB),即 P(A-B)=P(A)-P(AB).,A=(A-B)+AB,A-B和AB为互斥事件,所以由(2)得,证明 (4),证明 (3),得：P(B)=P(A+B)-P(A)=0.8-0.6=0.2，,例1 AB=，P(A)=0.6，P(A+B)=0.8,求B的逆事件的概率。,解: 由,思考 在以上条件下，P（A-B）=？,P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B),所以， =1-0.2=0.8,例2 设事件A发生的概率是0.6，A与B都发生的概率是0.1，A与B都不发生的概率为0.15 ,求A发生B不发生的概率；B发生A不发生的概率及P(A+B).,解 由已知得, P(A)=0.6， P(AB)=0.1,则 P(A-B)=P(A-AB)=P(A)-P(AB)=0.5,P(B-A)=P(B)-P(AB）,又因为P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB), 所以，P(B)=P(A+B)-P(A)+P(AB) =0.85-0.6+0.1=0.35 从而，P(B-A)=0.35-0.1=0.25,例3 某人一次写了n封信,又写了n个信封如果 他任意地将n张信纸装入n个信封中.问至少有 一封信的信纸和信封是一致的概率是多少?,解 令,=第i张信纸恰好装进第i个信封,则所求概率为 ,易知有,同理可得,由概率的加法公式得到,1. P(A)=0.4，P(B)=0.3，P(A+B)=0.6， 求P(A-B). 2. P(A)=0.7，P(A-B)=0.3，求P(-AB),解答：(1)P(AB)=P(A)+P(B)- P(A+B) =0.1, 所以P(A-B)=P(A)-P(AB)=0.3,(2)P(-AB)=1-P(AB)=1-P(A)-P(A-B) =1-0.7+0.3=0.6,课堂练习,P(A)=P(B)=P(C)=1/4,P(AB)=0,P(AC)=P(BC)=1/6，求A、B、C都不出现的概率。 4. A、B都出现的概率与 A、B 都不出现的概率相等，P(A)=p，求P(B).,(3),解答：,=1-P(A+B+C)=7/12,(4)P(AB)=P( )=P( ) =1-P(A+B)=1-P(A)-P(B)+P(AB), 所以,P(B)=1-P(A)=1-p,休息片刻继续,
