人教版八年级数学下册《第19章函数初步》讲义

函数初步12满分晋级函数4级一次函数初步函数2级平面直角坐标系中的变换函数3级函数初步寒假班第一讲秋季班第十二讲寒假班第二讲漫画释义 帅壮变形记来源:学&科&网Z&X&X&K知识互联网 题型一：常量、变量、函数思路导航定 义示 例 剖 析常量、变量：在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终保持不变的量称为常量.函数：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量与，对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说其中是自变量，是因变量，是的函数如果当时，那么叫做当自变量的值为时的函数值.表示函数关系的式子叫做函数解析式.圆的面积与半径之间存在相应的关系：，是常量，随着的变化而变化，是自变量，是因变量，是的函数，当时，函数值；当时，函数值，这里等式为函数解析式总结示 例 剖 析函数自变量的取值范围，初中阶段主要包括： 整式：一般为全体实数 根式：根指数为偶数时被开方数为非负数 分式: 分母不为零 实际问题：符合实际意义函数、自变量取值范围分别为：全体实数、例题精讲【例1】 判断下列所指的量之间是否是函数关系，若是，请写出函数关系式，并指出其中的自变量. 三角形的面积S与长为5的边上的高h之间. 某人坐公交车从甲站去往乙站，已知全程中各站票价均为0.4元，票价y元与经过的车站数x之间. 下图分别给出了变量与之间的对应关系，是的函数的图象是（ ）（人大附中期中）【解析】 是，自变量为高h. 是，自变量为车站数x. C，对于x的每个值，y都有唯一确定的值与之对应，由x与y之间的一对一的关系即可判断.本道例题旨在加强学生对函数定义的理解.【例2】 判断下列式子中是否是的函数，若是，请指出自变量的取值范围: ； ； ； ； ； ； ； .【解析】 不是，其余均是.其中： 为全体实数； ； 全体实数 ； ； 且； 全体实数.典题精练【例3】 三角形的周长是，三边长分别为，则以为自变量表示的函数关系式为_，自变量的取值范围是 . 矩形周长为30，则面积与一条边长之间的函数关系式为_，其中的取值范围是_. 一个小球由静止开始从一个斜坡向下滚动，其速度每秒增加2米，则小球的速度随时间变化的函数关系式为_；第秒时小球的速度为_. 某市为了鼓励居民节约用水，对自来水用户按如下标准收费：若每月每户用水不超过立方米，按每立方米元收费；若超过立方米，则超过部分每立方米按元收费，某户居民五月份交水费（元）与用水量（立方米）（）之间的关系式为 ，若该月交水费元，则这个月的实际用水 立方米【解析】 ，； ，. ，5米/秒. ,.题型二：函数的图象思路导航函数的图象：一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形,就是这个函数的图象.画函数图象的步骤：列表描点连线（平滑的曲线）函数解析式与其图象的关系： 满足函数解析式的有序实数对为坐标的点一定在函数图象上； 函数图像上点的坐标满足函数解析式例题精讲【例4】 在同一平面直角坐标系中描点画出函数；的图象，并解决以下问题： 判断下列哪些点分别在函数的图象上：；. 观察两个函数的图象，当时，函数和函数中，是随着的增大而增大，还是随着的增大而减小？当时呢？ 【解析】 列表略，图象如下，注意强调几点：自变量在定义域内取值；连线时按照横坐标由小到大的顺序用平滑曲线连接；由定义域判断图象是否有端点. 点A、B、E均不在两个图象上，点在上，点在上，点在和上； 当时，函数中，均随着的增大而增大，当时，函数中随的增大而增大，函数中随的增大而减小.典题精练【例5】 某兴趣小组做实验，将一个装满水的啤酒瓶倒置（如图），并设法使瓶里的水从瓶中匀速流出那么该倒置啤酒瓶内水面高度h随水流出的时间t变化的图象大致是（）（海淀期末练习）小明根据邻居家的故事写了一首小诗：“儿子学成今日返，老父早早到车站，儿子到后细端详，父子高兴把家还”.如果用纵轴表示父亲与儿子行进中离家的距离，用横轴表示父亲离家的时间，那么下面的图象与上述诗的含义大致吻合的是（ ） A B C D水池有2个进水口，1个出水口，每个进水口的进水量与时间的关系如图1所示，出水口的出水量与时间关系如图2所示，某天0点到6点该水池的蓄水量与时间关系如图3所示，下列论断：0点到1点，打开2个进水口，关闭出水口；1点到3点，同时关闭2个进水口和1个出水口；3点到4点，关闭2个进水口，打开出水口；5点到6点，同时打开2个进水口和1个出水口其中可能正确的论断是（）（人大附统练）A B C D某天，小明走路去学校，开始他以较慢的速度匀速前进，然后他越走越快走了一段时间，最后他以较快的速度匀速前进到达学校.小明走路的速度V（米/分钟）是时间t（分钟）的函数，能正确反映这一函数关系的大致图象是（ ）A B C D【解析】 啤酒瓶内水面高度h随水流出的时间t变化的规律是先慢后快的两段，因为是匀速，所以表现在图象上为直线，故选A；C；由图中可以看出，一个进水管的速度为1；一个出水管的速度为2从0点到1点，蓄水量由5增加到6，如果打开2个进水管关闭出水口的话，就要增加2，所以不对，排除A、B3点到4点，蓄水量由6变为5，关闭2个进水口，打开出水口的话就应该减少2不对故选DA，此题易错在将函数当做路程【例6】 下面的图象反映的过程是：李明从家跑去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔，然后散步回家，其中表示时间，表示李明离家的距离.请根据以上图象信息回答下列问题： 体育场离家多远？李明从家到体育场用了多长时间？ 体育场离文具店有多远？ 李明在文具店停留了多久？ 李明从文具店回家的平均速度是多少？【解析】 2.5千米，15分钟； 1千米； 20分钟； （千米/分）.【例7】 已知两邻边不相等的长方形的周长为24cm，设相邻两边中，较短的一边长为ycm，较长的一边长为xcm求y关于x的函数解析式；求自变量x的取值范围；当较短边长为4cm时，求较长边的长【解析】2（x+y）=24，y=12-x；6x12；当y=4时，y=12-x=4，解得：x=8cm【备注】此题难度不大，但是需要老师重点讲解自变量的取值范围，这是一个易错点，在初学函数时如果不注重对自变量取值范围的强调，对后面学习一、二次函数及反比例函数会有不利影响，容易造成学生失分。程度好的班级，教师可带领学生探讨下面的函数动态问题。【探究对象】探讨函数动态问题【探究目的】函数与几何结合的动态问题，是近年来中考题型中的“新宠”，这样的题以几何为背景，赋运动、函数于一体，集开放、探索于一身，考察学生观察图形及举一反三运用知识点的能力【探究1】如图，AB是半圆O的直径，点P从点O出发，沿的路径运动一周设OP为s，运动时间为t，则下列图形能大致地刻画s与t之间关系的是（ C）分析：此题比较好理解，可以看出OP的长随P点从O到A逐渐变大，而P点弧AB上运动时OP为半径保持不变，P点从B到O过程中OP逐渐减少直至为0重点是老师可以引导学生关注临界点，过临界点后发生变化，为以后更复杂的题提供做题思路 【探究2】边长为1和2的两个正方形，其一边在同一水平线上，小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形，设穿过的时间为t，大正方形内除去小正方形部分的面积为s（阴影部分），则s与t的大致图象为（ A）分析：此题与上题为同类型题目，有了上题的铺垫，老师可以发现部分学生已经学会运用临界点（或临界状态）做题，此题正方形左右两条边作为临界边，小正方形完全进入大正方形内部时会运动一段时间，而这段时间阴影部分的面积是保持不变的，故选A【探究3】有一根直尺的短边长为2cm，长边长为10cm，还有一块锐角为45°的直角三角形纸板，它的斜边长为12cm，如图(1)，将直尺的短边DE放置与直角三角形纸板的斜边AB重合，且点D与点A重合将直尺沿AB方向平移，如图(2)，设平移的长为xcm(0 x 10)，直尺与三角形纸板重叠部分(图中阴影部分)的面积为Scm2（1）当时，S= ；当时，S= ；（2）当时，求S与x的函数关系式；（3）当时，求S与x的函数关系式【解析】（1）当x=0时，阴影部分是等腰直角三角形，阴影部分的面积为S=2cm2； 当x=10时，直尺运动到最右边，阴影部分的面积为S=2cm2 当直尺继续移动时，首先先引导学生，重叠部分阴影部分面积还是不是一直保持为是一个等腰直角三角形，通过画图发现，阴影部分的图形是在不断变化的，其形状变化为：三角形梯形五边形梯形三角形，画出各图形如下：来源:学（2）当，如图1，DG=AD=x，AE=EF= x+2，S=2x+2（cm2）（3）当时，应分两种情况分类讨论：当时，如图2，DG=AD=x，EF=BE=12x2=10x， 当时，如图3，BD=DG=12x，EF=BE=10x，S=222x思维拓展训练(选讲)训练1. 已知函数的图象上有两点：，求式子的值【解析】 将两点的坐标代入解析式中，得，原式训练2. “龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟先到了终点用、分别表示乌龟和兔子所行的路程，为时间，则下列图象中与故事相吻合的是（ ） 【解析】 D.训练3. 如图，点按的顺序在边长为1的正方形边上运动，是边上的中点，设点经过的路程为自变量，的面积为，则函数的大致图像是（ ）【解析】 D.训练4. 如图反映的过程是：小华从家去菜地浇水，又去玉米地