《课时讲练通》2017-2018学年高中数学（人教a版）必修一配套课件：3.2.2.2指数型、对数型函数模型的应用举例

第2课时 指数型、对数型函数模型的应用举例,类型一 指数型函数模型的应用实例 【典例1】(1)(2017·菏泽高一检测)每次用同体积的 水清洗一件衣物,且每次能洗去污垢的 ,若洗x次后存 留的污垢在1%以下,则x的最小值是_.,(2)设在海拔xm处的大气压强是yPa,y与x之间的函数关系式是y=cekx,其中c,k为常量,已知某地某天在海平面的大气压为1.01×105Pa,1000m高空的大气压为0.90×105Pa,求600m高空的大气压强(结果保留3个有效数字).,【解题指南】(1)根据题意建立指数函数模型求解. (2)根据已有的函数模型,由题中条件先确定c,k,进而可求出600m高空的大气压强.,【解析】(1)每次洗去污垢的 ,就是存留了 ,故洗x 次后,还有原来的 (xN*),故有 100, 解得x的最小值为3. 答案:3,(2)将x=0,y=1.01×105,x=1000,y=0.90×105分别代入函数式y=cekx, 得 所以c=1.01×105, 将c=1.01×105代入0.90×105=ce1000k, 所以k=,由计算器得k=-1.15×10-4, 所以y=1.01×105× 将x=600代入上述函数式得 y=1.01×105× 由计算器算得y=0.943×105. 所以600m高空的大气压强约为0.943×105Pa.,【方法总结】指数型函数模型在生活中的应用 (1)在实际问题中,有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常可以用指数型函数模型表示.通常可以表示为y=N(1+p)x(其中N为基础数,p为增长率,x为时间)的形式.,(2)增长率问题多抽象为指数函数形式,当由指数函数形式来确定相关的量的值要求不严格时,可以通过图象近似求解.用函数的图象求解未知量的值或确定变量的取值范围,是数学常用的方法之一.,【补偿训练】1.(1)(2017·金华高一检测)衣柜里的樟 脑丸,会随着时间挥发而体积缩小,刚放入衣柜的新樟 脑丸体积为a,经过t天后体积与天数t的关系式为 V=a·e-kt,若新樟脑丸经过50天后,体积变为 a;若一 个新樟脑丸体积变为 a,则需经过的天数为( ) A.75 B.100 C.125 D.150,(2)某种商品进价为每个80元,零售价为每个100元,为了促销,采用买一个这种商品赠送一个小礼品的办法.实践表明:礼品价格为1元时,销售量增加10%,且在一定范围内,礼品价格为(n+1)元时,比礼品价格为n(nN*)时的销售量增加10%.设未赠送礼品时销售量为m.,写出礼品价格为n元时,利润yn(元)与n(元)的函数关系式; 请你设计礼品的价格,以使商店获得最大利润.,【解析】(1)选A.根据题意可知 a=a·e-50k,所以 =e-50k,所以-50k=ln . 令 a=a·e-kt,所以e-kt= ,-kt=ln ,结合式可 知,t= =75,故选A.,(2)当礼品价格为n元时,销售量为m(1+10%)n件,故利润yn=(100-80-n)·m·(1+10%)n=(20-n)· m·1.1n(0n20,nN*). 令yn+1-yn0,即(19-n)·m·1.1n+1-(20-n)· m·1.1n0,解得n9. 所以y1y2y3y9=y10.,令yn+1-yn+20,即(19-n)·m·1.1n+1-(18-n)· m·1.1n+20,解得n8. 所以y9=y10y11y12y13y19. 所以礼品价格为9元或10元时,商店获得最大利润.,2.某城市现在人口总数为100万人,如果年自然增长率为1.2%,试解答下面的问题: (1)写出该城市人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式. (2)计算10年后该城市人口总数(精确到0.1万人). (3)计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人(精确到1年).,【解题指南】解决这类题的关键是根据题意建立函数模型.解题流程为“审、设、列、解、答”,即审题设未知量列出函数关系式求解作答.在求解过程中要注意所设未知量的实际意义.,【解析】(1)1年后该城市人口总数为y=100+100 ×1.2%=100×(1+1.2%). 2年后该城市人口总数为y=100×(1+1.2%)+100× (1+1.2%)×1.2%=100×(1+1.2%)2.,3年后该城市人口总数为y=100×(1+1.2%)2+100× (1+1.2%)2×1.2%=100×(1+1.2%)3. 故x年后该城市人口总数为y=100×(1+1.2%)x.,(2)10年后该城市人口总数为y=100×(1+1.2%)10=100 ×1.01210112.7(万人). (3)设大约n年后该城市人口将达到120万人, 即100×(1+1.2%)n120, nlog1.012 =log1.0121.2015.3. 故大约16年以后该城市人口将达到120万人.,类型二 对数函数模型的应用 【典例2】燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬,研 究燕子的科学家发现,两岁燕子的飞行速度可以表示为 函数v=5log2 ,单位是m/s,其中Q表示燕子的耗氧量.,(1)求燕子静止时的耗氧量是多少个单位? (2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时,它的飞行速度是多少?,【解题指南】(1)燕子静止时的耗氧量即v=0时Q的值. (2)两岁燕子的耗氧量是80个单位时,求它的飞行速度,即为当Q=80时v的值.,【解析】(1)由题意,当燕子静止时,它的速度v=0,代入 题中给出的公式可得:0=5log2 ,解得Q=10. 即燕子静止时的耗氧量是10个单位. (2)将耗氧量Q=80代入题中给出的公式得: v=5log2 =5log28=15(m/s).,【延伸探究】 1.本例中“函数v=5log2 ”若换为“v=5log2 ”, 其他条件不变,试求燕子静止时的耗氧量.,【解析】由题意,当燕子静止时,它的速度v=0,所以 0=5log2 ,解得Q=100,则燕子静止时的耗氧量是100 个单位.,2.本例条件不变,则当燕子的飞行速度为v=5(m/s)时的耗氧量是多少? 【解析】因为v=5log2 ,v=5,所以5log2 =5, 即log2 =1,故 =2,所以Q=20.,【方法总结】对数函数应用题的基本类型和求解策略 (1)基本类型:有关对数函数的应用题一般都会给出函数解析式,然后根据实际问题再求解. (2)求解策略:首先根据实际情况求出函数解析式中的参数,或给出具体情境,从中提炼出数据,代入解析式求值,然后根据数值回答其实际意义.,【补偿训练】载人飞船是通过火箭发射的.已知某型号 火箭的起飞重量Mt是箭体(包括搭载的飞行器)的重量 mt和燃料重量xt之和.在不考虑空气阻力的条件下,假 设火箭的最大速度ykm/s关于x的函数关系为y= kln(m+x)-ln( m)+4ln2(其中k0,lnx是以e为底x 的对数).当燃料重量为( -1)mt时,该火箭的最大速 度为4km/s.,(1)求此型号火箭的最大速度ykm/s与燃料重量xt之间的函数解析式. (2)若此型号火箭的起飞重量是479.8t,则应装载多少吨燃料(精确到0.1t,取e=2.718)才能使火箭的最大飞行速度达到8km/s,顺利地把飞船发送到预定的椭圆轨道?,【解析】(1)由题意,得4=klnm+( -1)m- ln( m)+4ln2,解得k=8, 所以y=8ln(m+x)-ln( m)+4ln2=8ln,(2)由已知,得M=m+x=479.8,则m=479.8-x. 将y=8代入(1)中所得式中,得8=8ln 解得x303.3. 答:应装载303.3t燃料,才能使火箭的最大飞行速度达到8km/s,顺利地把飞船送到预定的椭圆轨道.,类型三 拟合型函数模型的应用 【典例3】(2017·重庆高一检测)某学习小组在暑期社 会实践活动中,通过对某商场一种品牌服装销售情况的 调查发现:该服装在过去的一个月内(以30天计)每件的 销售价格P(x)(百元)与时间x(天)的函数关系近似满足 P(x)=1+ (k为正常数),日销售量Q(x)(件)与时间x(天) 的部分数据如下表所示:,已知第10天的日销售收入为121(百元).,(1)求k的值. (2)给出以下四种函数模型: Q(x)=ax+b,Q(x)=a|x-25|+b,Q(x)=a·bx, Q(x)=a·logbx.,请你根据表中的数据,从中选择你认为最合适的一种函数来描述日销售量Q(x)(件)与时间x(天)的变化关系,并求出该函数的解析式. (3)求该服装的日销售收入f(x)(百元)的最小值.,【解题指南】(1)根据题中条件求k的值.(2)选择一种函数模型,根据待定系数法求其解析式.(3)借助(2)中函数解析式求其最值.,【解析】(1)依题意知第10天的日销售收入为P(10)· Q(10)= ×110=121,解得k=1. (2)由表中的数据知,当时间变化时,日销售量有增有减 并不单调,故只能选Q(x)=a|x-25|+b.从表中任意取 两组值代入可求得Q(x)=125-|x-25|(1x30,xN*).,(3)由(2)知Q(x)=125-|x-25| = 所以f(x)=P(x)·Q(x)=,当1x25时,y=x+ 在1,10上是减函数,在10,25) 上是增函数,所以当x=10时,f(x)取得最小值,f(x)min= 121;,当25x30时,y= -x为减函数,所以当x=30时,f(x)取得最小值f(x)min=124. 综上所述,当x=10时,f(x)取得最小值f(x)min=121. 所以该服装的日销售收入的最小值为121百元.,【方法总结】数据拟合问题的三种求解策略 (1)直接法:若由题中条件能明显确定需要用的数学模型,或题中直接给出了需要用的数学模型,则可直接代入表中的数据,问题即可获解. (2)列式比较法:若题所涉及的是最优化方案问题,则可根据表格中的数据先列式,然后进行比较.,(3)描点观察法:若根据题设条件不能直接确定需要用哪种数学模型,则可根据表中的数据在直角坐标系中进行描点,作出散点图,然后观察这些点的位置变化情况,确定所需要用的数学模型,问题即可顺利解决.,【拓展延伸】数据拟合过程中假设的作用 一般情况下数学建模,是离不开假设的,假设的作用主要表现在以下几个方面:,(1)进一步明确模型中需要考虑的因素和它们在问题中的作用,通常初步接触一个问题,会觉得围绕它的因素非常多,经仔细分析筛选,发现有的因素并无实质联系,有的因素是无关紧要的,排除这些因素,问题则越发清晰明朗,在假设时对这些因素就不需考虑.,(2)降低解题难度,经过适当的假设就都可以有能力建立数学模型,并且得到相应的解. (3)一般情况下,是先在最简单的情形下组建模型,然后通过不断地调整假设使模型尽可能地接近实际,从而得到更满意的解.,【补偿训练】1.北京某企业常年生产一种出口产品,根据需求预测:自从举办奥运会以来,前8年在正常情况下,该产品产量将平稳增长.已知2009年为第一年,前4年年产量f(x)(万件)如下表所示:,(1)画出20092012年该企业年产量的散点图. (2)建立一个能基本反映(误差小于0.1)这一时期该企业年产量变化的函数模型,并求之. (3)2016年(即x=8)因受到某国对我国该产品反倾销的影响,年产量应减少30%,试根据所建立的函数模型,确定2016年的年产量为多少?,【解析】(1)如图所示.,(2)由散点图知,可选用一次函数模型.设f(x)=ax+b,由 已知得 解得a=1.5,b=2.5,所以f(x)=1.5x+ 2.5.检验:f(2)=5.5,|5.58-5.5|=0.080.1; f(4)=8.5,|8.44-8.5|=0.060.1,所以一次函数模型 f(x)=1.5x+2.5能